1.3 三角函数的计算----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．（2020九上·安丘期末）已知 ，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·龙口期末）用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020九上·张店期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在 高的天桥两端分别修建了 长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角 ，下列按键顺序正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（2020九上·蓬莱期末）已知sinα＝ ，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（ ）
A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS
5．（2020九上·宽城期末）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点 出发，沿表面爬到 的中点 处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2019·雁塔模拟）如果3sinα＝ +1，则∠α＝ .（精确到0.1度）
8．（2019·山西模拟）如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
9．（2021八下·海珠期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ．（角度精确到1′）
10．（2017八上·康巴什期中）如图，点P、Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A出发，沿线段AB运动，点Q从顶点B出发，沿线段BC运动，且它们的速度都为1CM/S，连接AQ、CP交于点M，在P、Q运动的过程中，假设运动时间为t秒，则当t= 秒时，△PBQ为直角三角形.
三、计算题
11．已知下列各锐角的三角函数值，求这些锐角的大小（精确到1″）
（1）sinα=0.5018．（2）cosA=0.6531．（3）tanβ=0.3750．
四、解答题
12．（2019·呼和浩特）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西 方向，距离甲地 ，丙地位于乙地北偏东 方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点 ，可抽象成右图所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长 （结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
13．（2019·通辽）两栋居民楼之间的距离 ，楼 和 均为10层，每层楼高为 ．上午某时刻，太阳光线 与水平面的夹角为30°，此刻楼 的影子会遮挡到楼 的第几层？（参考数据： ， ）
14．（2019·达州）某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为 ，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好 ， ， ．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是 ．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到 ．参考数据： . ）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】∵cosA=0.2659，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，cos，0.2659，∴按下的第一个键是2ndF．
故答案为：D．
【分析】根据计算器求锐角的方法即可得出结论。
2．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“=”即可得到结果．
故答案为：A．
【分析】利用计算器的使用步骤得到结论。
3．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m，
∴sin ，
∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A ．
故答案为：A．
【分析】首先在在Rt△ABC中求出sin∠A，然后根据计算器的用法即可得到结论。
4．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，
故答案为：D．
【分析】根据利用科学计算器由三角函数值求角度的使用方法，容易进行选择.
5．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过C点作CD垂直AB于D，∠ADC=90°，在直角三角形ADC中，tanA==
故答案为：D
【分析】直接过点C做CD垂直AB，在直角三角形ADC中，根据正切函数的定义，分析即可求出tanA .
6．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；计算器—三角函数；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形 ，则线段 为所求的最短路程．
设 ．
，
即 ．
为弧 中点，
，
，
最短路线长为 ．
故答案为： ．
【分析】将圆锥侧面展开，得到扇形，由题意分析线段 为所求的最短路程。根据三视图上的长度，可求。在直角三角形AFB中，利用特殊角三角函数值，即可求出BF。
7．【答案】65.5°.
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵3sinα
∴sinα
解得，∠α≈65.5°，
故答案为：65.5°.
【分析】根据计算器可以计算出∠α的度数，从而可以解答本题.
8．【答案】(4，2)
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为： .
【分析】首先构建直角三角形，已知 tanα＝ ，即CF与OC的比值。即可求出CF，即y值。
9．【答案】13；22°36′；67°24
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由勾股定理可知：AB＝ ＝13，
∴sin∠A＝ ，
∴∠A≈22°36′，
∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′；
故答案为：13，22°36′，67°24′．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用计算器计算三角函数值即可。
10．【答案】 秒或 秒
【知识点】三角形三边关系；计算器—三角函数
【解析】【解答】假设运动时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=(4 t)cm，
当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4 t=2t，t= ，
当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2(4 t)，t= ，
∴当t= 秒或 秒时，△PBQ为直角三角形.
故答案为： 秒或 秒.
【分析】设运动时间为t秒， △PBQ为直角三角形 ，当∠PQB=90°时，根据三边关系列出数量关系式，求出t；当∠BPQ=90°时，根据角以及三边关系，求出t值。
11．【答案】解：（1）由sinα=0.5018，得
α=sin﹣10.5018=30.12°=30°7.2′≈30°7′12″；
（2）由cosA=0.6531，得
A=cos﹣10.6531=49.22°=49°13.2′≈49°13′12″；
（3）由tanβ=0.3750，得
β=tan﹣10.3750=20.55°=20°33′0″．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）根据sin﹣1，可得α的值，大单位化成小单位乘以进率，不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可得答案；
（2）根据cos﹣1，可得A的值，大单位化成小单位乘以进率，不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可得答案；
（3）根据tan﹣1，可得β的值，大单位化成小单位乘以进率，不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可得答案．
12．【答案】解：过点 作 于点 ，
丙地位于甲地北偏西 方向，距离甲地 ，
在 中， ，
．
．
丙地位于乙地北偏东 方向，
在 中， ，
．
．
答：公路 的长为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 过点 作 于点 ，由题意得∠ACD=30°，在直角三角形ACD中，根据特殊三角函数值，求出AD，CD。在直角三角形BDC中，由题意得∠CBD=23°，利用正切函数，即可求出BD。从而得到AB。
13．【答案】解：设太阳光线 交 于点 ，过 作 于 ，
由题意知， ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，所以在四层的上面，即第五层，
答：此刻楼 的影子会遮挡到楼 的第5层．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意设太阳光线 GB 交 AC 于点 F ，过 F 作 于 H。在直角三角形BHF中，利用正切函数值，可求出BH。即可得FC=13，已知每层楼的高度，故求得此时F点在5楼高度上。
14．【答案】解：作 于F，
在 中， ，
，
在 E中， ，
由勾股定理得， ，
答：AB的长约为 ．
【知识点】勾股定理；计算器—三角函数
【解析】【分析】根据已知三角函数值，以及三角函数的定义，在 中 ，可求出CF。在 中，可求出 DE。即而可得BH、AH。在直角三角形AHB中，利用勾股定理即可求得AB。
1 / 11.3 三角函数的计算----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．（2020九上·安丘期末）已知 ，运用科学计算器求锐角 时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】∵cosA=0.2659，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，cos，0.2659，∴按下的第一个键是2ndF．
故答案为：D．
【分析】根据计算器求锐角的方法即可得出结论。
2．（2020九上·龙口期末）用计算器求 的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“=”即可得到结果．
故答案为：A．
【分析】利用计算器的使用步骤得到结论。
3．（2020九上·张店期末）如图，为方便行人推车过天桥，某市政府在 高的天桥两端分别修建了 长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角 ，下列按键顺序正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在Rt△ABC中，AC=40m，BC=10m，
∴sin ，
∴用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键的顺序为A ．
故答案为：A．
【分析】首先在在Rt△ABC中求出sin∠A，然后根据计算器的用法即可得到结论。
4．（2020九上·蓬莱期末）已知sinα＝ ，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（ ）
A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，
故答案为：D．
【分析】根据利用科学计算器由三角函数值求角度的使用方法，容易进行选择.
5．（2020九上·宽城期末）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过C点作CD垂直AB于D，∠ADC=90°，在直角三角形ADC中，tanA==
故答案为：D
【分析】直接过点C做CD垂直AB，在直角三角形ADC中，根据正切函数的定义，分析即可求出tanA .
6．（2019·东营）如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点 出发，沿表面爬到 的中点 处，则最短路线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；计算器—三角函数；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：如图将圆锥侧面展开，得到扇形 ，则线段 为所求的最短路程．
设 ．
，
即 ．
为弧 中点，
，
，
最短路线长为 ．
故答案为： ．
【分析】将圆锥侧面展开，得到扇形，由题意分析线段 为所求的最短路程。根据三视图上的长度，可求。在直角三角形AFB中，利用特殊角三角函数值，即可求出BF。
二、填空题
7．（2019·雁塔模拟）如果3sinα＝ +1，则∠α＝ .（精确到0.1度）
【答案】65.5°.
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵3sinα
∴sinα
解得，∠α≈65.5°，
故答案为：65.5°.
【分析】根据计算器可以计算出∠α的度数，从而可以解答本题.
8．（2019·山西模拟）如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
【答案】(4，2)
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为： .
【分析】首先构建直角三角形，已知 tanα＝ ，即CF与OC的比值。即可求出CF，即y值。
9．（2021八下·海珠期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则AB＝ ，∠A＝ ，∠B＝ ．（角度精确到1′）
【答案】13；22°36′；67°24
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由勾股定理可知：AB＝ ＝13，
∴sin∠A＝ ，
∴∠A≈22°36′，
∴∠B＝90°﹣∠A＝67°24′；
故答案为：13，22°36′，67°24′．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再利用计算器计算三角函数值即可。
10．（2017八上·康巴什期中）如图，点P、Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A出发，沿线段AB运动，点Q从顶点B出发，沿线段BC运动，且它们的速度都为1CM/S，连接AQ、CP交于点M，在P、Q运动的过程中，假设运动时间为t秒，则当t= 秒时，△PBQ为直角三角形.
【答案】 秒或 秒
【知识点】三角形三边关系；计算器—三角函数
【解析】【解答】假设运动时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=(4 t)cm，
当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4 t=2t，t= ，
当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2(4 t)，t= ，
∴当t= 秒或 秒时，△PBQ为直角三角形.
故答案为： 秒或 秒.
【分析】设运动时间为t秒， △PBQ为直角三角形 ，当∠PQB=90°时，根据三边关系列出数量关系式，求出t；当∠BPQ=90°时，根据角以及三边关系，求出t值。
三、计算题
11．已知下列各锐角的三角函数值，求这些锐角的大小（精确到1″）
（1）sinα=0.5018．（2）cosA=0.6531．（3）tanβ=0.3750．
【答案】解：（1）由sinα=0.5018，得
α=sin﹣10.5018=30.12°=30°7.2′≈30°7′12″；
（2）由cosA=0.6531，得
A=cos﹣10.6531=49.22°=49°13.2′≈49°13′12″；
（3）由tanβ=0.3750，得
β=tan﹣10.3750=20.55°=20°33′0″．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）根据sin﹣1，可得α的值，大单位化成小单位乘以进率，不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可得答案；
（2）根据cos﹣1，可得A的值，大单位化成小单位乘以进率，不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可得答案；
（3）根据tan﹣1，可得β的值，大单位化成小单位乘以进率，不满一度的化成分，不满一分的化成秒，可得答案．
四、解答题
12．（2019·呼和浩特）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西 方向，距离甲地 ，丙地位于乙地北偏东 方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点 ，可抽象成右图所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长 （结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
【答案】解：过点 作 于点 ，
丙地位于甲地北偏西 方向，距离甲地 ，
在 中， ，
．
．
丙地位于乙地北偏东 方向，
在 中， ，
．
．
答：公路 的长为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 过点 作 于点 ，由题意得∠ACD=30°，在直角三角形ACD中，根据特殊三角函数值，求出AD，CD。在直角三角形BDC中，由题意得∠CBD=23°，利用正切函数，即可求出BD。从而得到AB。
13．（2019·通辽）两栋居民楼之间的距离 ，楼 和 均为10层，每层楼高为 ．上午某时刻，太阳光线 与水平面的夹角为30°，此刻楼 的影子会遮挡到楼 的第几层？（参考数据： ， ）
【答案】解：设太阳光线 交 于点 ，过 作 于 ，
由题意知， ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，所以在四层的上面，即第五层，
答：此刻楼 的影子会遮挡到楼 的第5层．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意设太阳光线 GB 交 AC 于点 F ，过 F 作 于 H。在直角三角形BHF中，利用正切函数值，可求出BH。即可得FC=13，已知每层楼的高度，故求得此时F点在5楼高度上。
14．（2019·达州）某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为 ，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好 ， ， ．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是 ．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到 ．参考数据： . ）
【答案】解：作 于F，
在 中， ，
，
在 E中， ，
由勾股定理得， ，
答：AB的长约为 ．
【知识点】勾股定理；计算器—三角函数
【解析】【分析】根据已知三角函数值，以及三角函数的定义，在 中 ，可求出CF。在 中，可求出 DE。即而可得BH、AH。在直角三角形AHB中，利用勾股定理即可求得AB。
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