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1.2 30°、45°、60°角的三角函数值----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．（2021九上·攸县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解.
2．（2021九上·泰山期中） 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．（2021九上·信都期中）若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 tan30° ，
这个点的位置可能落在段①
故答案为：A
【分析】根据tan30° ， 判断求解即可。
4．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
5．（2021九上·合肥月考）已知锐角α满足tan（α+10°）=1， 则锐用α的度数为（ ）
A．20° B．35° C．45° D．50°
【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵tan（α+10°）=1，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
6．（2021·休宁模拟）如图，一块含有 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 重合， 角的顶点 在反比例函数 的图象上，顶点 在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A．12 B．-12 C．3 D．-3
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
∴△CAO∽△DOB，
∴ ： = ，
∵ 角的顶点 在反比例函数 的图象上，
∴tan30°=OB：OA= ，
∴ ： =3：1，
∵点 在反比例函数 的图象上，顶点 在反比例函数 的图象上，
∴ = ， = =2，
∴ ：2 =3：1，
∴ =12，
∵反比例函数 的图象在第二象限，
∴k= -12，
故答案为：B．
【分析】在反比例函数中求K的值，一定是利用图象上一点的横纵坐标的乘积来求。有图象知，只有一个点A过反比例函数，因此过点A做AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，这属于K字型相似，由此可证△CAO∽△DOB，再根据30°角，可求出正切值，也就是OB:OA=，面积比就是3:1。根据, = =2，再根据比值=3:1，可求得|k|=12，再根据图象在第二象限，k＜0，所以k=-12。
二、填空题
7．（2021九上·奉贤期中）已知α是锐角，如果
，那么α＝ ．
【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是锐角，
，
∴ ，
故答案为：30 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。
8．（2021九上·泰安期中）
锐角A满足2sin(A-15°)= ，则∠A=
【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 2sin（A-15°）= ，
∴sin（A-15°）=，
∴∠A-15°=45°，
∴∠A=60°.
【分析】根据sin45°=，得出∠A-15°=45°，即可得出∠A=60°.
9．（2021·铜仁）如图，将边长为1的正方形 绕点 顺时针旋转 到 的位置，则阴影部分的面积是 ；
【答案】
【知识点】正方形的性质；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图， 交 于点 ，连接
根据题意，得： ，
∵
∴
∴
∵正方形 绕点 顺时针旋转 到
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
故答案为： .
【分析】如图， 交 于点 ，连接 ，证明，可得，根据旋转的性质可得 ， ， ，由，可得，由阴影部分的面积 ，据此计算即可.
10．（2021·原州模拟）如图，直线l为y= x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）.
【答案】2n﹣1，0
【知识点】点的坐标；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；探索图形规律；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线l为y= x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，∴当x=1时，y= ，
即B1（1， ），
∴tan∠A1OB1= ，
∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，
∴OB1=2OA1=2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：2n﹣1，0.
【分析】根据直线 l为y= x， 点A (1， 0)，A1B1⊥x轴，解直角三角形求得OB1的长度，得出A2 (21，0)，同理求得A3 (22， 0)，A4 (23，0) ....由此总结出规律得出An的坐标为 (2n﹣1， 0)即可.
三、计算题
11．（2021九上·皇姑期末）计算：2cos30°×tan30°sin45°﹣tan60°．
【答案】解：2cos30°×tan30°+sin45°﹣tan60°
=2××+×-
=1+1-
=2-．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
四、解答题
12．（2021九上·哈尔滨月考）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
13．（2019·兴县模拟）小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从 出发，沿 方向以6海里/时的速度驶向港口，乙船从港口 出发，沿南偏东60°方向，以15海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发．
（1）出发后 小时两船与港口 的距离相等；
（2）出发几小时后乙船在甲船的正东方向 （结果精确到0.1小时，参考数据：
【答案】（1）
（2）解：设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处，
连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E，则点E在点P的正南方向，
在Rt△CEP中，∠CPE=45°，
∴PE=PC cos45°，
在Rt△PED中，∠EPD=60°，
∴PE=PD cos60°，
∴PC cos45°=PD cos60°．
∴（81-6y）cos45°=15y cos60°，
解得：y≈4.9．
答：出发后约4.9小时乙船在甲船的正东方向．
【知识点】特殊角的三角函数值；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等，
根据题意得： ，
解这个方程得： ，
答：出发后 小时两船与港口P的距离相等；
【分析】（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等，转化为方程的问题解决．（2）过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向，则得到相等关系，C、D两点到在南北方向上经过的距离相等，因而根据方程就可以解决．
五、综合题
14．（2021九上·衢江期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β） .利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°） 2 .
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正 ABC沿直线滚动设当 ABC滚动240°时，C点的位置在 ，当 ABC滚动480°时，A点的位置在 .
①求tan∠ 的值；
②试确定 的度数.
【答案】（1） sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
（2）过点 作 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，如图
是等边三角形
，
② tan（α+β）
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°，然后结合特殊角的三角函数值进行计算；
（2）①过点B作BD⊥l于D，过C′作C′E⊥l 于E，过A′作A′F⊥l 于F′，由等边三角形的性质可得AD=CD=1，由勾股定理求出BD，进而得到AE、AF，然后根据三角函数的概念进行解答；
②易得tan(∠CAC′+∠CAA′)=，根据①的结果求出其值，然后结合特殊角的三角函数值进行解答.
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1.2 30°、45°、60°角的三角函数值----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．（2021九上·攸县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．1
2．（2021九上·泰山期中） 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
3．（2021九上·信都期中）若数轴上tan30°的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2021九上·永年月考）点关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·合肥月考）已知锐角α满足tan（α+10°）=1， 则锐用α的度数为（ ）
A．20° B．35° C．45° D．50°
6．（2021·休宁模拟）如图，一块含有 的直角三角板的直角顶点和坐标原点 重合， 角的顶点 在反比例函数 的图象上，顶点 在反比例函数 的图象上，则 的值为（ ）
A．12 B．-12 C．3 D．-3
二、填空题
7．（2021九上·奉贤期中）已知α是锐角，如果
，那么α＝ ．
8．（2021九上·泰安期中）
锐角A满足2sin(A-15°)= ，则∠A=
9．（2021·铜仁）如图，将边长为1的正方形 绕点 顺时针旋转 到 的位置，则阴影部分的面积是 ；
10．（2021·原州模拟）如图，直线l为y= x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；……，按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）.
三、计算题
11．（2021九上·皇姑期末）计算：2cos30°×tan30°sin45°﹣tan60°．
四、解答题
12．（2021九上·哈尔滨月考）先化简，再求值： ，其中 ．
13．（2019·兴县模拟）小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口81海里处．甲船从 出发，沿 方向以6海里/时的速度驶向港口，乙船从港口 出发，沿南偏东60°方向，以15海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发．
（1）出发后 小时两船与港口 的距离相等；
（2）出发几小时后乙船在甲船的正东方向 （结果精确到0.1小时，参考数据：
五、综合题
14．（2021九上·衢江期末）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β） .利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°） 2 .
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正 ABC沿直线滚动设当 ABC滚动240°时，C点的位置在 ，当 ABC滚动480°时，A点的位置在 .
①求tan∠ 的值；
②试确定 的度数.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠A＝30°，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值可求解.
2．【答案】D
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】 tan30° ，
这个点的位置可能落在段①
故答案为：A
【分析】根据tan30° ， 判断求解即可。
4．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：，
∴点的坐标为
点关于y轴对称的点的坐标是
故答案为：C
【分析】先求出点的坐标为，再根据关于y轴对称的特点求解即可。
5．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵tan（α+10°）=1，且 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】如图，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠AOC+∠BOD=90°，∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
∴△CAO∽△DOB，
∴ ： = ，
∵ 角的顶点 在反比例函数 的图象上，
∴tan30°=OB：OA= ，
∴ ： =3：1，
∵点 在反比例函数 的图象上，顶点 在反比例函数 的图象上，
∴ = ， = =2，
∴ ：2 =3：1，
∴ =12，
∵反比例函数 的图象在第二象限，
∴k= -12，
故答案为：B．
【分析】在反比例函数中求K的值，一定是利用图象上一点的横纵坐标的乘积来求。有图象知，只有一个点A过反比例函数，因此过点A做AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，这属于K字型相似，由此可证△CAO∽△DOB，再根据30°角，可求出正切值，也就是OB:OA=，面积比就是3:1。根据, = =2，再根据比值=3:1，可求得|k|=12，再根据图象在第二象限，k＜0，所以k=-12。
7．【答案】30
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是锐角，
，
∴ ，
故答案为：30 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可。
8．【答案】60°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 2sin（A-15°）= ，
∴sin（A-15°）=，
∴∠A-15°=45°，
∴∠A=60°.
【分析】根据sin45°=，得出∠A-15°=45°，即可得出∠A=60°.
9．【答案】
【知识点】正方形的性质；特殊角的三角函数值；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图， 交 于点 ，连接
根据题意，得： ，
∵
∴
∴
∵正方形 绕点 顺时针旋转 到
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
故答案为： .
【分析】如图， 交 于点 ，连接 ，证明，可得，根据旋转的性质可得 ， ， ，由，可得，由阴影部分的面积 ，据此计算即可.
10．【答案】2n﹣1，0
【知识点】点的坐标；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；探索图形规律；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线l为y= x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，∴当x=1时，y= ，
即B1（1， ），
∴tan∠A1OB1= ，
∴∠A1OB1=60°，∠A1B1O=30°，
∴OB1=2OA1=2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故答案为：2n﹣1，0.
【分析】根据直线 l为y= x， 点A (1， 0)，A1B1⊥x轴，解直角三角形求得OB1的长度，得出A2 (21，0)，同理求得A3 (22， 0)，A4 (23，0) ....由此总结出规律得出An的坐标为 (2n﹣1， 0)即可.
11．【答案】解：2cos30°×tan30°+sin45°﹣tan60°
=2××+×-
=1+1-
=2-．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
12．【答案】解：原式
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
13．【答案】（1）
（2）解：设出发后y小时乙船在甲船的正东方向，
此时甲、乙两船的位置分别在点C，D处，
连接CD，过点P作PE⊥CD，垂足为E，则点E在点P的正南方向，
在Rt△CEP中，∠CPE=45°，
∴PE=PC cos45°，
在Rt△PED中，∠EPD=60°，
∴PE=PD cos60°，
∴PC cos45°=PD cos60°．
∴（81-6y）cos45°=15y cos60°，
解得：y≈4.9．
答：出发后约4.9小时乙船在甲船的正东方向．
【知识点】特殊角的三角函数值；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等，
根据题意得： ，
解这个方程得： ，
答：出发后 小时两船与港口P的距离相等；
【分析】（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等，转化为方程的问题解决．（2）过点P作PE⊥CD，垂足为E．则点E在点P的正南方向，则得到相等关系，C、D两点到在南北方向上经过的距离相等，因而根据方程就可以解决．
14．【答案】（1） sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
（2）过点 作 于 ，过 作 于 ，过 作 于 ，如图
是等边三角形
，
② tan（α+β）
【知识点】等边三角形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°，然后结合特殊角的三角函数值进行计算；
（2）①过点B作BD⊥l于D，过C′作C′E⊥l 于E，过A′作A′F⊥l 于F′，由等边三角形的性质可得AD=CD=1，由勾股定理求出BD，进而得到AE、AF，然后根据三角函数的概念进行解答；
②易得tan(∠CAC′+∠CAA′)=，根据①的结果求出其值，然后结合特殊角的三角函数值进行解答.
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