1.4 解直角三角形----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．（2021·杭州）在 中， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2020九上·太和期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·八步期末）如图，在 中， ， ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·惠民期末）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（ ）米．
A．asin40° B．acos40° C．atan40° D．
5．（2021九上·东平月考）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度
为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A．
B．
C．
D．
7．（2021九上·东昌府期中）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算 时，构造出如图所示的图形：在Rt ACD中， ， ，延长 到 ， ，连接 ，得 ．根据此图可求得 的结果（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2020九上·包河期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为 ．
9．（2021九上·铁西期末）如图，在中，是边上的高，，，，则的长为 ．
10．（2021九上·宝山期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝ ，tanα＝2，那么点A的坐标是 ．
11．（2021八下·爱辉期末）如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平面 下方，测得 米， ，露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点 到水平面 的距离为 米．
三、解答题
12．（2021九上·沂源期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．
13．（2021九上·铁东期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，tan∠DBC＝ ，AB＝4 ，求AD的长．
14．（2021九上·泰山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2 ．解这个直角三角形．
15．（2021·临海模拟）临海大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），小明测得桥面宽度 米， ，求点 到桥面 的距离.（结果精确到0.1米，参考数据： ）
四、综合题
16．（2021九上·成都月考）如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点， ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2 ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G.
（1）求∠DCB的度数；
（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为3 ，求点F的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵在 中， ，
∴设AC=4x，AB=5x，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】利用锐角三角函数，结合图形计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
又 ，
AB=6.
故答案为：C.
【分析】由锐角三角函数sinA=可求解.
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴tanC=tan40°= ，
∴AB=atan40°．
故答案为：C
【分析】先求出tanC=tan40°= ，再求解即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，
∴梯子底端到墙角的距离=梯子长度×cos40 =5cos40 .
故答案为：B.
【分析】根据梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，求解即可。
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为x，CE=x-10，
在Rt△EFC， = =
即
，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= ，
∴tan22.5°= = = ，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD= ，根据tan22.5°= 即可得出答案。
8．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
，
， ， ，
故答案：
【分析】利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
9．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×ACAC3，
∴AD3，
在Rt△ADB中，BD，
∴BC＝CD+BD＝，
故答案为：．
【分析】利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
10．【答案】（1，2）
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过A作AB⊥x轴，
在Rt△OAB中，OA＝ ，tanα＝ ＝2，
∴AB＝2OB，
∵OA2＝OB2+AB2，
∴5＝OB2+4OB2，
∴OB＝1，AB＝2，
∴A（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【分析】先求出AB＝2OB，再求出OB＝1，AB＝2，最后求点的坐标即可。
11．【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长 ，相交于点 ，连接 ，交 于点 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
米（等腰三角形的三线合一），
在 中， 米，
同理可得： 米，
由题意得： （米），
设 米，则 米，
，
解得 （米），
，
在 中， 米，
则 （米），
即点 到水平面 的距离为 米，
故答案为： ．
【分析】延长 ，相交于点 ，连接 ，交 于点 ，设 米，则 米，解直角三角形求出BM、MN的值，即可得出点 到水平面 的距离。
12．【答案】解：∵∠C=90°，∠ADC="45°，AC=5，
∴ AC=CD=5， AD=
∵ SinB= ，
∴ AB=AC/(SinB)=13，
∵∠C=90°， CD=5，
∴ BC=12，
∴ BD=7，
过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，
∵∠BDE=∠ADC=45°，
∴ BE=DE=7÷ = ，
∴ AE=AD+DE= ，
∴tan = ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出 AB=AC/(sinB)=13，再利用勾股定理求出BC，利用线段的和差求出BD的长，过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，再利用AE=AD+DE求出AE的长，最后利用正切的定义求解即可。
13．【答案】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AB＝4 = BC
∴BC=AC=
∵tan∠DBC＝ =
∴CD=3
∴AD=AC-CD=1．
【知识点】解直角三角形；线段的计算
【解析】【分析】先根据∠C＝90°，∠A＝45°，得出△ABC是等腰直角三角形，再根据tan∠DBC的值得出CD=3，即可得出AD的长．
14．【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2 ，
∴AB＝ ＝4，
∵tanA＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数可得 tanA＝ ， 最后利用特殊角的三角函数值求解即可。
15．【答案】解：作OC⊥AB于C，
∵临海大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴OA=OB，
∴AC=BC= （米），
∵ ，
∴ （米）
点 到桥面 的距离约为52.3米
【知识点】轴对称图形；解直角三角形
【解析】【分析】作OC⊥AB于C， 易证OA=OB，利用等腰三角形的性质可求出AC，BC的长，利用解直角三角形求出OC的长.
16．【答案】（1）解：在 中，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ；
（2）解：①证明：∵ ， ，且E是AD的中点，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，则 ，
根据轴对称的性质知： ，故 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②过点E作 直线CD于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当点H在点G的右侧时，设 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∴点F的坐标为 ；
当点H在点G的左侧时，设 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点F的坐标为 ；
综上所述：点F的坐标有两个，分别是 ， .
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△OAD中，根据锐角三角函数tan∠OAD=可求得∠OAD的度数，再根据平行四边形的对角相等可求解；
（2）①根据A、D的坐标，易求得E点坐标，即可得AE、OE的长，由此可判定△AOE是等边三角形，由等边三角形的性质和轴对称的性质可得∠OEA＝∠AOE＝∠EOF′＝60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH＝∠OF′E，然后结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
②过E作EM⊥CD交CD于M，根据锐角三角函数sin∠EDM=可求得EM的值，由S△EGH=GH·ME可求得S△EGH的值，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由题意可分两种情况：当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，代入比例式可得关于x的方程，解方程可求解；当点H在G的左侧，设DG=x，DH=x-6，代入比例式可得关于x的方程，解方程可求得x的值，由全等三角形△DEG≌△AEF可得AF=DG，于是由线段的构成OF=AO+AF可求解．
1 / 11.4 解直角三角形----北师大版九年级下册同步测试
一、单选题
1．（2021·杭州）在 中， ，则 的正弦值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由题意画出图形，用勾股定理可表示出AB，再根据锐角三角函数sin∠A=可求解.
2．（2020九上·太和期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图：
∵在 中， ，
∴设AC=4x，AB=5x，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】利用锐角三角函数，结合图形计算求解即可。
3．（2021九上·八步期末）如图，在 中， ， ， ，则 长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
又 ，
AB=6.
故答案为：C.
【分析】由锐角三角函数sinA=可求解.
4．（2020九上·惠民期末）如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（ ）米．
A．asin40° B．acos40° C．atan40° D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴tanC=tan40°= ，
∴AB=atan40°．
故答案为：C
【分析】先求出tanC=tan40°= ，再求解即可。
5．（2021九上·东平月考）一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，
∴梯子底端到墙角的距离=梯子长度×cos40 =5cos40 .
故答案为：B.
【分析】根据梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度，求解即可。
6．（2021九上·北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度
为xm，根据以上条件，可以列出的方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵ ，∴DH=FH，
则FH=CE，
设 为x，CE=x-10，
在Rt△EFC， = =
即
，
故答案为：A
【分析】先求出DH=FH，再利用特殊角的锐角三角函数计算求解即可。
7．（2021九上·东昌府期中）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算 时，构造出如图所示的图形：在Rt ACD中， ， ，延长 到 ， ，连接 ，得 ．根据此图可求得 的结果（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= ，
∴tan22.5°= = = ，
故答案为：C．
【分析】在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD= ，根据tan22.5°= 即可得出答案。
二、填空题
8．（2020九上·包河期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tan∠B的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
，
， ， ，
故答案：
【分析】利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
9．（2021九上·铁西期末）如图，在中，是边上的高，，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，CD＝cosC×ACAC3，
∴AD3，
在Rt△ADB中，BD，
∴BC＝CD+BD＝，
故答案为：．
【分析】利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
10．（2021九上·宝山期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝ ，tanα＝2，那么点A的坐标是 ．
【答案】（1，2）
【知识点】勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：过A作AB⊥x轴，
在Rt△OAB中，OA＝ ，tanα＝ ＝2，
∴AB＝2OB，
∵OA2＝OB2+AB2，
∴5＝OB2+4OB2，
∴OB＝1，AB＝2，
∴A（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【分析】先求出AB＝2OB，再求出OB＝1，AB＝2，最后求点的坐标即可。
11．（2021八下·爱辉期末）如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平面 下方，测得 米， ，露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点 到水平面 的距离为 米．
【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，延长 ，相交于点 ，连接 ，交 于点 ，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
米（等腰三角形的三线合一），
在 中， 米，
同理可得： 米，
由题意得： （米），
设 米，则 米，
，
解得 （米），
，
在 中， 米，
则 （米），
即点 到水平面 的距离为 米，
故答案为： ．
【分析】延长 ，相交于点 ，连接 ，交 于点 ，设 米，则 米，解直角三角形求出BM、MN的值，即可得出点 到水平面 的距离。
三、解答题
12．（2021九上·沂源期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，D在BC边上，且∠ADC=45°，AC=5．求∠BAD的正切值．
【答案】解：∵∠C=90°，∠ADC="45°，AC=5，
∴ AC=CD=5， AD=
∵ SinB= ，
∴ AB=AC/(SinB)=13，
∵∠C=90°， CD=5，
∴ BC=12，
∴ BD=7，
过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，
∵∠BDE=∠ADC=45°，
∴ BE=DE=7÷ = ，
∴ AE=AD+DE= ，
∴tan = ．
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【分析】先利用锐角三角函数求出 AB=AC/(sinB)=13，再利用勾股定理求出BC，利用线段的和差求出BD的长，过B 作BE⊥AD交AD的延长线于E ，再利用AE=AD+DE求出AE的长，最后利用正切的定义求解即可。
13．（2021九上·铁东期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，tan∠DBC＝ ，AB＝4 ，求AD的长．
【答案】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AB＝4 = BC
∴BC=AC=
∵tan∠DBC＝ =
∴CD=3
∴AD=AC-CD=1．
【知识点】解直角三角形；线段的计算
【解析】【分析】先根据∠C＝90°，∠A＝45°，得出△ABC是等腰直角三角形，再根据tan∠DBC的值得出CD=3，即可得出AD的长．
14．（2021九上·泰山期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2 ．解这个直角三角形．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2 ，
∴AB＝ ＝4，
∵tanA＝ ，
∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用锐角三角函数可得 tanA＝ ， 最后利用特殊角的三角函数值求解即可。
15．（2021·临海模拟）临海大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），小明测得桥面宽度 米， ，求点 到桥面 的距离.（结果精确到0.1米，参考数据： ）
【答案】解：作OC⊥AB于C，
∵临海大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），
∴OA=OB，
∴AC=BC= （米），
∵ ，
∴ （米）
点 到桥面 的距离约为52.3米
【知识点】轴对称图形；解直角三角形
【解析】【分析】作OC⊥AB于C， 易证OA=OB，利用等腰三角形的性质可求出AC，BC的长，利用解直角三角形求出OC的长.
四、综合题
16．（2021九上·成都月考）如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点， ABCD的顶点A的坐标为（﹣2，0），点D的坐标为（0，2 ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G.
（1）求∠DCB的度数；
（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H.
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为3 ，求点F的坐标.
【答案】（1）解：在 中，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ；
（2）解：①证明：∵ ， ，且E是AD的中点，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，则 ，
根据轴对称的性质知： ，故 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
②过点E作 直线CD于点M，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当点H在点G的右侧时，设 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∴点F的坐标为 ；
当点H在点G的左侧时，设 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍），
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴点F的坐标为 ；
综上所述：点F的坐标有两个，分别是 ， .
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△OAD中，根据锐角三角函数tan∠OAD=可求得∠OAD的度数，再根据平行四边形的对角相等可求解；
（2）①根据A、D的坐标，易求得E点坐标，即可得AE、OE的长，由此可判定△AOE是等边三角形，由等边三角形的性质和轴对称的性质可得∠OEA＝∠AOE＝∠EOF′＝60°，由此可推出OF′∥AE，即∠DEH＝∠OF′E，然后结合已知根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；
②过E作EM⊥CD交CD于M，根据锐角三角函数sin∠EDM=可求得EM的值，由S△EGH=GH·ME可求得S△EGH的值，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由题意可分两种情况：当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，代入比例式可得关于x的方程，解方程可求解；当点H在G的左侧，设DG=x，DH=x-6，代入比例式可得关于x的方程，解方程可求得x的值，由全等三角形△DEG≌△AEF可得AF=DG，于是由线段的构成OF=AO+AF可求解．
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