27.2.2 相似三角形的性质----人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·高邑期中）如图所示， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合 ， ，可求出。
2．（2021九上·湖州月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且 ＝ ＝ ，则△ADE周长与△ABC的周长比是（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴△ADE周长与△ABC的周长比= .
故答案为：B.
【分析】先证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可解答.
3．（2021九上·西安期中）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，结合△ADE的面积可得△ABC的面积，然后根据S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE进行计算.
4．（2021九上·合浦期中）如图， 与 是位似图形，点 为位似中心，已知 ，则 与 的面积比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△DEF位似，BO：OE＝2：1，
.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
5．（2021九上·和平期末）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中①号“E”字的高度BC长为b，当测试距离为3m时，②号“E”字的高度DF长为（ ）
A．5b B．3b C．b D．b
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：CB∥DF，
∴△ADF∽△ABC，
∴，
∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝b，
∴
∴DF＝b ，
故答案为：C．
【分析】先证明△ADF∽△ABC，可得，最后将数据代入计算即可。
6．（2021九上·和平期末）如图，点D，E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，且∠ACB＝120°，则下列结论中正确的是（ ）
A．CD2＝AD BE B．BC2＝BE BD
C．AC2＝AD AE D．AC BC＝AE BD
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质逐项判断即可。
7．（2021九上·和平期末）如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（ ）cm．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，AD与EH交点为P，
∵四边形EFGH是正方形，
∴AP＝AD﹣PD＝（6﹣x）cm，
∵EHBC，
∴，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x＝4，
∴正方形的边长为4．
故答案为：D．
【分析】设正方形的边长为xcm，AD与EH交点为P，先证明△AEH∽△ABC，可得，再将数据代入计算即可。
8．（2021九上·湖州月考）如图，△ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ）
A．m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD
B．m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD
C．m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD
D．m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD
【答案】D
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴ ，
∵BD：DC=n，则BD：BC=n：(n+1)，
∴S△ABD=S△ABC，
∴，
∴当m=1，n=1，即当D为BC中点，E为AB中点，，
A、当m>1，n>1时， S△AEF和S△ABD同时增大，则 或，即 2S△AEF＞S△ABD 或 2S△AEFB、当m<1，n<1时， S△AEF和S△ABD同时减小，则 或，即 2S△AEF＞S△ABD 或 2S△AEFC、当 m＞1，n＜1时，S△AEF增大而S△ABD减小，，即 2S△AEF＞S△ABD ，错误；
D、当m＜1，n＞1时， S△AEF减小而S△ABD增大，则，即2S△AEF＜S△ABD ，正确.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的性质得出，再根据等高三角形的面积关系得出S△ABD=S△ABC，则可推出，结合当m=1，n=1，，然后根据分式的性质分别进行分析，即可判断.
二、填空题
9．（2021九上·松江月考）两个相似三角形的对应中线的比为 ，那么它们的周长比是 .
【答案】3：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为3：4，
∴其相似比等于3：4，
∴它们的周长比是3：4．
故答案为3：4．
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比可得结果。
10．（2021九上·西安期中）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝28°，∠D＝140°，则∠BAD的度数为 .
【答案】168°
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝28°+140°=168°.
故答案为：168°.
【分析】由相似三角形的对应角相等可得∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，然后根据∠BAD=∠DAC+∠BAC进行计算.
11．（2021九上·余杭月考）如图，已知△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，AB＝9，BC＝16，则BD＝ .
【答案】12
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴ ，
∴ ，
∴BD=12（负值舍去），
故答案为：12.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，然后将已知条件代入进行计算.
12．（2021九上·铁西期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC，点N在边AD上，ND＝2，点M在边BC上，BM＝1，点E在DC的延长线上，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线MN于点F，当AE＝EF时，DE的长为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点F作FG⊥DG交DC延长线于G，过点N作NL⊥FG交BC于H，交FG于L，
∴∠NLG=∠G=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，∠D=∠BCD=90°，，
∴四边形NLGD是矩形，
∴LG=ND=2，∠DNL=90°，NL=DG，
∴四边形NHCD是矩形，
∴HH=CD=6，CH=ND=2，
∴；
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEG=90°，
又∵∠FEG+∠EFG=90°，
∴∠EFG=∠AED，
又∵AE=EF，∠D=∠G=90°，
∴△EFG≌△AEF（AAS），
∴FG=DE，，
∴，
设，则，，
∵∠NHM=∠NLF=90°，∠MNH=∠FNL，
∴△NMH∽△NFL，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】过点F作FG⊥DG交DC延长线于G，过点N作NL⊥FG交BC于H，交FG于L，先利用“AAS”证明△EFG≌△AEF，再利用全等三角形的性质可得FG=DE，，设，则，，再根据△NMH∽△NFL，可得，再将数据代入计算可得DE的长。
13．（2021九上·安吉期末）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H，K都在矩形边上），则AD长是 .
【答案】
【知识点】七巧板；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图1，
∵由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，
设E1F1=F1G1=F1C1=LE1=H1G1=H1M=LA1=x，A1B1=B1C1=，
∴2×（2x）2=（）2
解之：x=1
∴A1L=EF=FN=NG=2
在Rt△H1E1L中
，
如图2，
∴FG=GH=2+2=4，HK=1，
∵矩形ABCD，等腰直角三角形NGO
∴∠A=∠B=∠NGO=90°，
∵∠FGA+∠AFG=90°，∠FGA+∠BGH=90°，
∴∠AFG=∠BGH
在△AFG和△BGH中
∴△AFG≌△BGH（AAS）
∴AF=BG=x，AG=BH=y
∴x2+y2=16；
同理可证∠DFE=∠AGF，∠CKH=∠BGH，
∴△DEF∽△AFG，△BGH∽△CKH，
∴，
解之：
∵DF+AF=CH+BH
∴
∴
∴；
在Rt△AFG中
x2+y2=16即
解之：
∴.
故答案为：.
【分析】利用七巧板的组成，设E1F1=F1G1=F1C1=LE1=H1G1=H1M=LA1=x，利用勾股定理求出x的值，可得到A1L=EF=FN=NG=2，利用勾股定理求出H1L的长，可得到JN，SN，SO的长及FG，GH，HK的长；再利用矩形和等腰直角三角形的性质可证得∠A=∠B=∠NGO，利用余角的性质可得到∠AFG=∠BGH，利用AAS证明△AFG≌△BGH，利用全等三角形的对应边相等可证得AF=BG=x，AG=BH=y；利用勾股定理得到x2+y2=16；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DEF∽△AFG，△BGH∽△CKH，利用相似三角形的对应边成比例可表示出DF，CH的长，由此可表示出AD的长，同时可用含y的代数式表示出x的值；然后利用勾股定理可得到关于y的方程，解方程求出y的值，代入计算求出AD的长.
三、解答题
14．（2021九上·铁西期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC＝8，D、E分别是AB、AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C=180°．求AE的长．
【答案】解：∵BDE+C=180°
BDE+ADE=180°
∴C=ADE
∵A=A
∴
∴
∴
∴AE=5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 C=ADE ，再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
15．（2021九上·和平期末）如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
【答案】解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。
四、综合题
16．（2021九上·铁西期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OAB绕点O逆时针旋转，得到△ODE，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，且点E在y轴正半轴上，OD与CB相交于点F，反比例函数y
（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）点F的坐标为 ；k＝ ；
（2）连接FG，求证：△OCF∽△FBG；
（3）点M在直线OD上，点N是平面内一点，当四边形GFMN是正方形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】（1）（1，2）；2
（2）证明：由（1）得反比例函数解析式为 ，
∵CF=1，BC=4，
∴BF=BC-CF=3，
∵G在AB上，且G在反比例函数 的函数图象上，
∴点G的坐标为（4， ），
∴，
∴，
又∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCF=∠FBG=90°，
∴△OCF∽△FBG；
（3）点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，B点坐标为（4，2），
∴OC=AB=2，BC=OA=4，∠OAB=∠OCB=90°，
由旋转的性质可得，∠D=∠OAB=∠OCF=90°，DE=AB=2，OD=OA=4，
又∵∠COF=∠DOE，
∴△COF∽△DOE，
∴，
∴，
∴F点的坐标为（1，2），
∵点F在反比例函数
上，
∴，
∴，
故答案为：（1，2）；2；
（3）设直线OF的解析式为
，
∴，
∴直线OF的解析式为
，
设M的坐标为（m，2m），
∵F坐标为（1，2），G点坐标为（4，
），
∴，
∵四边形GFMN是正方形，
∴，
∴，
解得
或
，
∴点M的坐标为（
，5）或（
，-1）．
又∵点F的坐标为（1，2），G点坐标为（4，
）
由正方形的性质可得：当M的坐标为（
，5），N的坐标为（
，
）；
当M的坐标为（
，-1），N的坐标为（
，
）；
【分析】（1）由旋转性质先证明△COF∽△DOE，再利用相似三角形的性质可得
，再将数据代入计算求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点G的坐标，再利用勾股定理逆定理可得∠OFG=90°，即可得到∠OFC=90°-∠BFG=∠BGF，即可证明△OCF∽△FBG；
（3）设M的坐标为（m，2m），再利用勾股定理可得
，最后利用正方形的性质可得MF=FG，所以
，求出m的值即可。
1 / 127.2.2 相似三角形的性质----人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·高邑期中）如图所示， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·湖州月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且 ＝ ＝ ，则△ADE周长与△ABC的周长比是（ ）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
3．（2021九上·西安期中）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（2021九上·合浦期中）如图， 与 是位似图形，点 为位似中心，已知 ，则 与 的面积比是（ ）
A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1
5．（2021九上·和平期末）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中①号“E”字的高度BC长为b，当测试距离为3m时，②号“E”字的高度DF长为（ ）
A．5b B．3b C．b D．b
6．（2021九上·和平期末）如图，点D，E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，且∠ACB＝120°，则下列结论中正确的是（ ）
A．CD2＝AD BE B．BC2＝BE BD
C．AC2＝AD AE D．AC BC＝AE BD
7．（2021九上·和平期末）如图，在△ABC中，BC＝12cm，高AD＝6cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（ ）cm．
A．2 B．2.5 C．3 D．4
8．（2021九上·湖州月考）如图，△ABC中，点D为边BC上的点，点E、F分别是边AB、AC上两点，且EF∥BC，若AE：EB＝m，BD：DC＝n，则（ ）
A．m＞1，n＞1，则2S△AEF＞S△ABD
B．m＜1，n＜1，则2S△AEF＞S△ABD
C．m＞1，n＜1，则2S△AEF＜S△ABD
D．m＜1，n＞1，则2S△AEF＜S△ABD
二、填空题
9．（2021九上·松江月考）两个相似三角形的对应中线的比为 ，那么它们的周长比是 .
10．（2021九上·西安期中）如图，△ABC∽△DAC，∠B＝28°，∠D＝140°，则∠BAD的度数为 .
11．（2021九上·余杭月考）如图，已知△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，AB＝9，BC＝16，则BD＝ .
12．（2021九上·铁西期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC，点N在边AD上，ND＝2，点M在边BC上，BM＝1，点E在DC的延长线上，连接AE，过点E作EF⊥AE交直线MN于点F，当AE＝EF时，DE的长为 ．
13．（2021九上·安吉期末）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板拼成如图2所示的造型恰好放入矩形ABCD中（其中点E，F，G，H，K都在矩形边上），则AD长是 .
三、解答题
14．（2021九上·铁西期末）如图，在△ABC中，AB=10，AC＝8，D、E分别是AB、AC上的点，且AD＝4，∠BDE+∠C=180°．求AE的长．
15．（2021九上·和平期末）如图，小丁家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间地面的D处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点E射进房间地面的F处，AB⊥BD于点B，CE⊥BD于点O，小丁测得OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，求围墙AB的高为多少米．
四、综合题
16．（2021九上·铁西期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA，OC分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OAB绕点O逆时针旋转，得到△ODE，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，且点E在y轴正半轴上，OD与CB相交于点F，反比例函数y
（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）点F的坐标为 ；k＝ ；
（2）连接FG，求证：△OCF∽△FBG；
（3）点M在直线OD上，点N是平面内一点，当四边形GFMN是正方形时，请直接写出点N的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合 ， ，可求出。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴△ADE周长与△ABC的周长比= .
故答案为：B.
【分析】先证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的周长比等于相似比，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，结合△ADE的面积可得△ABC的面积，然后根据S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE进行计算.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△DEF位似，BO：OE＝2：1，
.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：CB∥DF，
∴△ADF∽△ABC，
∴，
∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝b，
∴
∴DF＝b ，
故答案为：C．
【分析】先证明△ADF∽△ABC，可得，最后将数据代入计算即可。
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先证明，再利用相似三角形的性质逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，AD与EH交点为P，
∵四边形EFGH是正方形，
∴AP＝AD﹣PD＝（6﹣x）cm，
∵EHBC，
∴，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x＝4，
∴正方形的边长为4．
故答案为：D．
【分析】设正方形的边长为xcm，AD与EH交点为P，先证明△AEH∽△ABC，可得，再将数据代入计算即可。
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴ ，
∵BD：DC=n，则BD：BC=n：(n+1)，
∴S△ABD=S△ABC，
∴，
∴当m=1，n=1，即当D为BC中点，E为AB中点，，
A、当m>1，n>1时， S△AEF和S△ABD同时增大，则 或，即 2S△AEF＞S△ABD 或 2S△AEFB、当m<1，n<1时， S△AEF和S△ABD同时减小，则 或，即 2S△AEF＞S△ABD 或 2S△AEFC、当 m＞1，n＜1时，S△AEF增大而S△ABD减小，，即 2S△AEF＞S△ABD ，错误；
D、当m＜1，n＞1时， S△AEF减小而S△ABD增大，则，即2S△AEF＜S△ABD ，正确.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的性质得出，再根据等高三角形的面积关系得出S△ABD=S△ABC，则可推出，结合当m=1，n=1，，然后根据分式的性质分别进行分析，即可判断.
9．【答案】3：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为3：4，
∴其相似比等于3：4，
∴它们的周长比是3：4．
故答案为3：4．
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比可得结果。
10．【答案】168°
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝28°+140°=168°.
故答案为：168°.
【分析】由相似三角形的对应角相等可得∠B＝∠DAC＝28°，∠D＝∠BAC＝140°，然后根据∠BAD=∠DAC+∠BAC进行计算.
11．【答案】12
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，∠ABD＝∠DBC，
∴ ，
∴ ，
∴BD=12（负值舍去），
故答案为：12.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得，然后将已知条件代入进行计算.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点F作FG⊥DG交DC延长线于G，过点N作NL⊥FG交BC于H，交FG于L，
∴∠NLG=∠G=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6，∠D=∠BCD=90°，，
∴四边形NLGD是矩形，
∴LG=ND=2，∠DNL=90°，NL=DG，
∴四边形NHCD是矩形，
∴HH=CD=6，CH=ND=2，
∴；
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEG=90°，
又∵∠FEG+∠EFG=90°，
∴∠EFG=∠AED，
又∵AE=EF，∠D=∠G=90°，
∴△EFG≌△AEF（AAS），
∴FG=DE，，
∴，
设，则，，
∵∠NHM=∠NLF=90°，∠MNH=∠FNL，
∴△NMH∽△NFL，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】过点F作FG⊥DG交DC延长线于G，过点N作NL⊥FG交BC于H，交FG于L，先利用“AAS”证明△EFG≌△AEF，再利用全等三角形的性质可得FG=DE，，设，则，，再根据△NMH∽△NFL，可得，再将数据代入计算可得DE的长。
13．【答案】
【知识点】七巧板；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图1，
∵由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，
设E1F1=F1G1=F1C1=LE1=H1G1=H1M=LA1=x，A1B1=B1C1=，
∴2×（2x）2=（）2
解之：x=1
∴A1L=EF=FN=NG=2
在Rt△H1E1L中
，
如图2，
∴FG=GH=2+2=4，HK=1，
∵矩形ABCD，等腰直角三角形NGO
∴∠A=∠B=∠NGO=90°，
∵∠FGA+∠AFG=90°，∠FGA+∠BGH=90°，
∴∠AFG=∠BGH
在△AFG和△BGH中
∴△AFG≌△BGH（AAS）
∴AF=BG=x，AG=BH=y
∴x2+y2=16；
同理可证∠DFE=∠AGF，∠CKH=∠BGH，
∴△DEF∽△AFG，△BGH∽△CKH，
∴，
解之：
∵DF+AF=CH+BH
∴
∴
∴；
在Rt△AFG中
x2+y2=16即
解之：
∴.
故答案为：.
【分析】利用七巧板的组成，设E1F1=F1G1=F1C1=LE1=H1G1=H1M=LA1=x，利用勾股定理求出x的值，可得到A1L=EF=FN=NG=2，利用勾股定理求出H1L的长，可得到JN，SN，SO的长及FG，GH，HK的长；再利用矩形和等腰直角三角形的性质可证得∠A=∠B=∠NGO，利用余角的性质可得到∠AFG=∠BGH，利用AAS证明△AFG≌△BGH，利用全等三角形的对应边相等可证得AF=BG=x，AG=BH=y；利用勾股定理得到x2+y2=16；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DEF∽△AFG，△BGH∽△CKH，利用相似三角形的对应边成比例可表示出DF，CH的长，由此可表示出AD的长，同时可用含y的代数式表示出x的值；然后利用勾股定理可得到关于y的方程，解方程求出y的值，代入计算求出AD的长.
14．【答案】解：∵BDE+C=180°
BDE+ADE=180°
∴C=ADE
∵A=A
∴
∴
∴
∴AE=5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出 C=ADE ，再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
15．【答案】解：∵EO⊥BF，
∴∠FOE＝90°，
∵AB⊥BF，CO⊥BF，
∴，
∴△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，
∴
∵OE＝1m，CE＝1.5m，OF＝1.2m，OD＝12m，
∴
整理得：
解得：AB＝3．
答：围墙AB的高度是3m．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明△ABD∽△COD，△ABF∽△EOF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入计算即可。
16．【答案】（1）（1，2）；2
（2）证明：由（1）得反比例函数解析式为 ，
∵CF=1，BC=4，
∴BF=BC-CF=3，
∵G在AB上，且G在反比例函数 的函数图象上，
∴点G的坐标为（4， ），
∴，
∴，
又∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCF=∠FBG=90°，
∴△OCF∽△FBG；
（3）点N的坐标为（ ， ）或（ ， ）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，B点坐标为（4，2），
∴OC=AB=2，BC=OA=4，∠OAB=∠OCB=90°，
由旋转的性质可得，∠D=∠OAB=∠OCF=90°，DE=AB=2，OD=OA=4，
又∵∠COF=∠DOE，
∴△COF∽△DOE，
∴，
∴，
∴F点的坐标为（1，2），
∵点F在反比例函数
上，
∴，
∴，
故答案为：（1，2）；2；
（3）设直线OF的解析式为
，
∴，
∴直线OF的解析式为
，
设M的坐标为（m，2m），
∵F坐标为（1，2），G点坐标为（4，
），
∴，
∵四边形GFMN是正方形，
∴，
∴，
解得
或
，
∴点M的坐标为（
，5）或（
，-1）．
又∵点F的坐标为（1，2），G点坐标为（4，
）
由正方形的性质可得：当M的坐标为（
，5），N的坐标为（
，
）；
当M的坐标为（
，-1），N的坐标为（
，
）；
【分析】（1）由旋转性质先证明△COF∽△DOE，再利用相似三角形的性质可得
，再将数据代入计算求出点F的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点G的坐标，再利用勾股定理逆定理可得∠OFG=90°，即可得到∠OFC=90°-∠BFG=∠BGF，即可证明△OCF∽△FBG；
（3）设M的坐标为（m，2m），再利用勾股定理可得
，最后利用正方形的性质可得MF=FG，所以
，求出m的值即可。
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