27.2 相似三角形----人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·长春期中）如图，平行于正多边形一边的直线，正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似图形；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分多边形与原多边形都是等边三角形，故相似，符合题意；
B、阴影部分是一个矩形，原多边形是一个正方形，故不相似，不符合题意；
C、阴影部分是一个不规则五边形，原多边形是一个正五边形，故不相似，不符合题意；
D、阴影部分是一个不规则六边形，原多边形是一个正六边形，故不相似，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据多边形相似的判定方法逐项判断即可。
2．（2021九上·宁波期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
3．（2021九上·内江期中）如图，在 中， 分别是 边上的点， ，若 ，则 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可得BC的值.
4．（2021九上·达州期中）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高 米的小红同学沿着旗杆在地面的影子 由 向 走去，当她走到点 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得 ， ，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为 米，由同一时刻物高与影长成比例可得： ，
解得：
经检验： 符合题意.
故答案为：C.
【分析】设旗杆的高度为h米，由同一时刻物高与影长成比例可列出方程，求解即可.
5．（2021九上·舞钢期末）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵ ，
当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵ ，
又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.
6．（2021九上·北京月考）如图，在 中，D、E两点分别在 、 边上， ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】先求出再计算求解即可。
7．（2021九上·永年月考）如图，在平面直角坐标系中，
的顶点A，B分别在y轴、x轴上，
，
，斜边
轴．若反比例函数
的图象经过
的中点D，则k的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作
轴于E，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
点
是
的中点，
，
．
反比例函数
的图象经过点D，
．
故答案为：B．
【分析】先求出
，再求出
，最后计算求解即可。
8．（2021九上·宁波月考）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk= ，
∴k4+ k2－1=0，
解得： 或 （舍去），
∴S2= k2S1= S1，S3= k2S2= k4S1= ，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，EH=m(1+ k2)，FM=，FK= km(1+ k2)，根据FK+MK=FM可求出k2，根据S2= k2S1，S3= k2S2= k4S1分别表示出S2、S3，据此解答.
二、填空题
9．（2021九上·普陀月考）已知两个相似三角形的对应高之比是9：16，那么这两个三角形的周长比是 ．
【答案】9：16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵对应高之比是9：16，
∴相似比＝9：16，
∴对应周长之比是9：16．
故答案是：9：16．
【分析】相似三角形对应高的比、周长比都等于相似比，据此解答即可.
10．（2021九上·鄞州期中）如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件： .
【答案】∠ABD＝∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等.
故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）.
【分析】由于啷个三角形中已经具有∠DAB=∠BAC，根据三角形相似的判定定理SAS可以添加AD∶AB=AB∶AC，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可以添加∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC.
11．（2020·上海模拟）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为 米
【答案】2.4
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴ ，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m，
∴OC=0.5m，
∴ ，
∴DG=1.8m，
∵OE=0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)．
【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
12．（2021九上·绿园期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积比为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意得：AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】先求出△AOB∽△COD，再利用相似三角形的性质求解即可。
13．（2021九上·永吉期末）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交于点R测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河宽PQ＝ m．
【答案】90
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，
故＝
∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，
∴＝，
解得：PQ＝90（m），
故答案为：90．
【分析】先求出则△PQR∽△PST，再利用相似三角形的性质求出＝，最后计算求解即可。
14．（2021九上·皇姑期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为 ．
【答案】5或
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1所示，当∠DPF=90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∴∠HPF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2OD，∠BAD=∠OHD=90°，AD=BC=40，
∴OH∥AB，
∴△DHO∽△DAB，
∴，
∴，，
由折叠的性质可得：，
∴∠HOP=45°，
∴∠HOP=∠HPO=45°，
∴OH=PH=15，
∴PD=HD-PH=5；
如图2所示，当∠PFD=90°时，
∴∠OFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=30，
∴，
∴，
∴∠DAO=∠ODA，
由折叠的性质可知：AO=EO=25，∠PEO=∠DAO=∠ODA，
又∵∠OFE=∠BAD=90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴，
∴，
∴，
∵∠PFD=∠BAD，∠PDF=∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
∴，
∴，
∴综上所述，当△PDF为直角三角形，则PD的长为5或，
故答案为：5或．
【分析】分两种情况：当∠DPF=90°时，过点O作OH⊥AD于H，由平行线分线段乘比例可得出，，由折叠的性质可得：，可求出OH=PH=15，PD=HD-PH=5；当∠PFD=90°时，由勾股定理和矩形的性质得出，通过证明△OFE∽△BAD，得出，可求出OF的长，通过证明△PDF∽△BDA，得出，可求出PD的长。
15．（2021九上·黄浦期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠DBC＝45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 ，那么 的值是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接 ，过点A作 ，如下图：
由对称的性质可得， ， ，∴ ，
在 中， ，∴
∴ ，即
∴
∵ ，∴可设 ，
由题意可得：四边形 为矩形，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，即
又∵
∴
又∵
∴
∴ ，即 ， ，
∴
∴
答案：
【分析】先求出 ， ，再利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
三、作图题
16．（2021九上·绿园期末）图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．要求：①所画三角形都与相似，且相似比不等于1．②所画的两个三角形不全等．
【答案】解：根据题意，
，，；
如图所示：
∵，，，
∴；
∴∽；
∵，，，
∴，
∴∽；
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定方法求解即可。
四、解答题
17．（2021九上·高邑期中）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，
求证：△ABC∽△ADE
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
∵∠AED=∠C，
∴△ABC∽△ADE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据∠1=∠2，可得 ∠DAE=∠BAC， 再结合 ∠AED=∠C， 即可证明 △ABC∽△ADE．
18．（2021九上·永年期中）如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝2.5m，人高EF＝1.5m，求树高CD．
【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，
∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴
∴ ，
解得：CH=3.78米，
∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．
答：故树高DC为5.28米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先求出 AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米， 再证明 △AEG∽△CEH， 最后计算求解即可。
五、综合题
19．（2021九上·和平期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．
（1）求菱形ABCD的面积及周长；
（2）点M是射线DA上一个动点，作射线BM，交射线CA于点E．将射线BM绕点B逆时针旋转后交射线CA于点N，旋转角为∠MBN，且∠MBN＝，连接MN．
①如图2，当点N与点O重合时，求△AMN的周长；
②当AE＝BE时，请直接写出AM的长为 ▲ ；
③BN＝时，请直接写出AM的长为 ▲ ．
【答案】（1）解：如图1中，四边形是菱形，
，，，
，
菱形的周长为40，菱形的面积；
（2）解：①如图2中．
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
②；
③或2
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）②如图3中，设．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
③如图中，当点N在点O的右侧时，
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如图中，当点N在点O的左侧时，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述，的长为或2．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；
（2）①先证明，利用相似三角形的性质求出OE，再利用平行线分线段成比例定理求出AM可得结论；
②设AE=BE=x，利用勾股定理求出x，再利用平行线分线段成比例定理求出AM即可；
③分两种情况：当点N在点O的右侧时，当点N在点O的左侧时，分别利用相似三角形的性质求出AE、EC，再利用平行线分线段成比例定理求解即可。
1 / 127.2 相似三角形----人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·长春期中）如图，平行于正多边形一边的直线，正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·宁波期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·内江期中）如图，在 中， 分别是 边上的点， ，若 ，则 等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2021九上·达州期中）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高 米的小红同学沿着旗杆在地面的影子 由 向 走去，当她走到点 处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得 ， ，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
5．（2021九上·舞钢期末）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·北京月考）如图，在 中，D、E两点分别在 、 边上， ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·永年月考）如图，在平面直角坐标系中，
的顶点A，B分别在y轴、x轴上，
，
，斜边
轴．若反比例函数
的图象经过
的中点D，则k的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2021九上·宁波月考）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
二、填空题
9．（2021九上·普陀月考）已知两个相似三角形的对应高之比是9：16，那么这两个三角形的周长比是 ．
10．（2021九上·鄞州期中）如图，D为△ABC的边AC上的一点，若要使△ABD与△ACB相似，可添加一个条件： .
11．（2020·上海模拟）如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，已知栏杆AB的长为3.5米，OA的长为3米，点C到AB的距离为0.3米，支柱OE的高为0.6米，那么栏杆端点D离地面的距离为 米
12．（2021九上·绿园期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积比为 ．
13．（2021九上·永吉期末）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直于PS的直线b的交于点R测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，则河宽PQ＝ m．
14．（2021九上·皇姑期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝30，BC＝40，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将△OPA沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点F．若△PDF为直角三角形，则PD的长为 ．
15．（2021九上·黄浦期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠DBC＝45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 ，那么 的值是 ．
三、作图题
16．（2021九上·绿园期末）图①、图②、图③均是由14个小正方形组成的的网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点的三角形称为格点三角形．如图①，即为格点三角形，只用无刻度的直尺，请在图②、图③中各画一个格点三角形．要求：①所画三角形都与相似，且相似比不等于1．②所画的两个三角形不全等．
四、解答题
17．（2021九上·高邑期中）如图，已知∠1=∠2，∠AED=∠C，
求证：△ABC∽△ADE
18．（2021九上·永年期中）如图，直立在B处的标杆AB＝2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD＝8m，FB＝2.5m，人高EF＝1.5m，求树高CD．
五、综合题
19．（2021九上·和平期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12．
（1）求菱形ABCD的面积及周长；
（2）点M是射线DA上一个动点，作射线BM，交射线CA于点E．将射线BM绕点B逆时针旋转后交射线CA于点N，旋转角为∠MBN，且∠MBN＝，连接MN．
①如图2，当点N与点O重合时，求△AMN的周长；
②当AE＝BE时，请直接写出AM的长为 ▲ ；
③BN＝时，请直接写出AM的长为 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似图形；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分多边形与原多边形都是等边三角形，故相似，符合题意；
B、阴影部分是一个矩形，原多边形是一个正方形，故不相似，不符合题意；
C、阴影部分是一个不规则五边形，原多边形是一个正五边形，故不相似，不符合题意；
D、阴影部分是一个不规则六边形，原多边形是一个正六边形，故不相似，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据多边形相似的判定方法逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 ，
因为 ，所以A选项中的三角形与△ABC相似.
故答案为：A.
【分析】由图形可得∠ACB＝135°，AC＝ ，BC＝2，然后分别求出各选项中三角形最大的角的度数，据此即可判断.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： .
故答案为：B.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质可得BC的值.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为 米，由同一时刻物高与影长成比例可得： ，
解得：
经检验： 符合题意.
故答案为：C.
【分析】设旗杆的高度为h米，由同一时刻物高与影长成比例可列出方程，求解即可.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵ ，
当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵ ，
又∠A=∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故答案为：C.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
故答案为：D
【分析】先求出再计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作
轴于E，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
点
是
的中点，
，
．
反比例函数
的图象经过点D，
．
故答案为：B．
【分析】先求出
，再求出
，最后计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk= ，
∴k4+ k2－1=0，
解得： 或 （舍去），
∴S2= k2S1= S1，S3= k2S2= k4S1= ，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，EH=m(1+ k2)，FM=，FK= km(1+ k2)，根据FK+MK=FM可求出k2，根据S2= k2S1，S3= k2S2= k4S1分别表示出S2、S3，据此解答.
9．【答案】9：16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵对应高之比是9：16，
∴相似比＝9：16，
∴对应周长之比是9：16．
故答案是：9：16．
【分析】相似三角形对应高的比、周长比都等于相似比，据此解答即可.
10．【答案】∠ABD＝∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：要使△ABC与△ABD相似，还需具备的一个条件是∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC等.
故答案为：∠ABD＝∠C（答案不唯一）.
【分析】由于啷个三角形中已经具有∠DAB=∠BAC，根据三角形相似的判定定理SAS可以添加AD∶AB=AB∶AC，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可以添加∠ABD＝∠C或∠ADB＝∠ABC.
11．【答案】2.4
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，
则DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴ ，
∵栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC，
∴CD=AB=3.5m，OD=OA=3m，CH=0.3m，
∴OC=0.5m，
∴ ，
∴DG=1.8m，
∵OE=0.6m，
∴栏杆D端离地面的距离为1.8+0.6=2.4(m)．
【分析】过D作DG⊥AB于G，过C作CH⊥AB于H，则DG∥CH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意得：AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【分析】先求出△AOB∽△COD，再利用相似三角形的性质求解即可。
13．【答案】90
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据题意得出：QR∥ST，
则△PQR∽△PST，
故＝
∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，
∴＝，
解得：PQ＝90（m），
故答案为：90．
【分析】先求出则△PQR∽△PST，再利用相似三角形的性质求出＝，最后计算求解即可。
14．【答案】5或
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1所示，当∠DPF=90°时，过点O作OH⊥AD于H，
∴∠HPF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=2OD，∠BAD=∠OHD=90°，AD=BC=40，
∴OH∥AB，
∴△DHO∽△DAB，
∴，
∴，，
由折叠的性质可得：，
∴∠HOP=45°，
∴∠HOP=∠HPO=45°，
∴OH=PH=15，
∴PD=HD-PH=5；
如图2所示，当∠PFD=90°时，
∴∠OFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=30，
∴，
∴，
∴∠DAO=∠ODA，
由折叠的性质可知：AO=EO=25，∠PEO=∠DAO=∠ODA，
又∵∠OFE=∠BAD=90°，
∴△OFE∽△BAD，
∴，
∴，
∴，
∵∠PFD=∠BAD，∠PDF=∠BDA，
∴△PDF∽△BDA，
∴，
∴，
∴综上所述，当△PDF为直角三角形，则PD的长为5或，
故答案为：5或．
【分析】分两种情况：当∠DPF=90°时，过点O作OH⊥AD于H，由平行线分线段乘比例可得出，，由折叠的性质可得：，可求出OH=PH=15，PD=HD-PH=5；当∠PFD=90°时，由勾股定理和矩形的性质得出，通过证明△OFE∽△BAD，得出，可求出OF的长，通过证明△PDF∽△BDA，得出，可求出PD的长。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接 ，过点A作 ，如下图：
由对称的性质可得， ， ，∴ ，
在 中， ，∴
∴ ，即
∴
∵ ，∴可设 ，
由题意可得：四边形 为矩形，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴ ，即
又∵
∴
又∵
∴
∴ ，即 ， ，
∴
∴
答案：
【分析】先求出 ， ，再利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
16．【答案】解：根据题意，
，，；
如图所示：
∵，，，
∴；
∴∽；
∵，，，
∴，
∴∽；
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】分类讨论，结合图形，利用相似三角形的判定方法求解即可。
17．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
∵∠AED=∠C，
∴△ABC∽△ADE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据∠1=∠2，可得 ∠DAE=∠BAC， 再结合 ∠AED=∠C， 即可证明 △ABC∽△ADE．
18．【答案】解：过E作EH⊥CD交CD于H点，交AB于点G，如下图所示：
由已知得，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF=GB=DH=1.5米，EG=FB=2.5米，GH=BD=8米，
∴AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米，
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，
∴
∴ ，
解得：CH=3.78米，
∴DC=CH+DH=3.78+1.5=5.28米．
答：故树高DC为5.28米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先求出 AG=AB﹣GB=2.4﹣1.5=0.9米， 再证明 △AEG∽△CEH， 最后计算求解即可。
19．【答案】（1）解：如图1中，四边形是菱形，
，，，
，
菱形的周长为40，菱形的面积；
（2）解：①如图2中．
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
②；
③或2
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）②如图3中，设．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：；
③如图中，当点N在点O的右侧时，
在中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
如图中，当点N在点O的左侧时，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
综上所述，的长为或2．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可；
（2）①先证明，利用相似三角形的性质求出OE，再利用平行线分线段成比例定理求出AM可得结论；
②设AE=BE=x，利用勾股定理求出x，再利用平行线分线段成比例定理求出AM即可；
③分两种情况：当点N在点O的右侧时，当点N在点O的左侧时，分别利用相似三角形的性质求出AE、EC，再利用平行线分线段成比例定理求解即可。
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