27.3 位似----人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021·婺城模拟）视力表用来测量一个人的视力.如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
2．（2021·顺平模拟）如图，在网格图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（ ）
A．O点 B．E点 C．G点 D．F点
3．（2021·巴南模拟）如图， 与 是位似图形，点O是位似中心，且 的面积为4.若 ，则 的面积为（ ）.
A．8 B．12 C．20 D．36
4．（2021九上·荷塘期末）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，以点为位似中心，相似比为，把缩小，得到，则点的对应点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2021九上·新邵期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，若与的位似比为，则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是( )
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
7．（2021九上·二道期末）如图，在△ABC外取一点O，连结AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到△DEF，有下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为2：1； ④△ABC与△DEF的面积比为2：1．以上说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．（2021九上·西安期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（6，4），以原点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比1：2缩小，则点B的对应点B′的坐标是 .
9．（2020九上·伊川期中）如图， 与 是位似图形， 点O是位似中心， 若 ， .则 .
10．（2021九上·和平期末）在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，位似中心是原点O．已知A与D是对应顶点．且A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为 ．
11．（2021九上·大东期末）线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是 ．
12．（2021九上·皇姑期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若OA＝3，AC＝7，则 ．
13．（2017八下·黑龙江期末）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是 ．
三、作图题
14．（2021九上·金塔期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形， 与 是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
⑴画出位似中心点O；
⑵直接写出 与 的位似比；
⑶以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A'B'C'关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出 △A″B″C″ 各顶点的坐标.
四、解答题
15．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故答案为：D.
【分析】根据位似变换的特点并结合题意可求解.
2．【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图，点A的对应点为G点．
故答案为：C．
【分析】连接AD并延长使A1D=2AD，据此判断即可.
3．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 和 是位似图形，
∴ ，
∴
∴
∵ 的面积为4，
∴ 的面积为
故答案为：D.
【分析】易得△ABC∽△DEF，然后由相似三角形的面积之比等于相似比的平方就可求出△DEF的面积.
4．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，相似比为，把缩小，A（4，2）
则A点的对应点A1可以在第一象限，也可以在第三象限
当A1在第一象限时，其坐标为（，）即（2，1）
同理当A1在第三象限时，其坐标为（-2，-1）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：A点的对应点A1可以在第一象限，也可以在第三象限，然后给点A的横纵坐标分别乘以或-就可得到对应点A1的坐标.
5．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
如图，可知
故答案为：B.
【分析】由图形可得：△ABC与△A′B′C′位于位似中心O的两侧，且对应线段之比为1：2，据此解答.
6．【答案】A
【知识点】轴对称图形；位似变换；图形的旋转
【解析】【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
【解答】A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
【点评】考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．
对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．
旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：在△ABC外取一点O，连结AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到△DEF，
∴DE∥AB，且DE=，DF∥AC，且DF=，EF∥BC，且EF= ，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∵BE，AD，CF的延长线交于O，
∴△DEF和△ABC位似；
与是位似图形，故①符合题意；
与是相似图形，故②符合题意；
∵DE=， DF=， EF= ，
∴DE+DF+EF=，
∴，
∴，
的周长与的周长比为，故③符合题意；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴与的面积比为，故④不符合题意；
∴正确的个数是3个．
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定与性质对每个说法一一判断即可。
8．【答案】（3，2）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：已知点A（2，1），B（6，4），以原点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比1：2缩小，
所以点B的对应点B′的坐标是（6× ，4× ），即（3，2）.
故答案为：（3，2）.
【分析】将点B的横、纵坐标分别乘以就可得到点B′的坐标.
9．【答案】18
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解： △ABC与△A'B'C' 是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，
，
∴S△A'B'C'=18.
经检验：S△A'B'C'=18. 符合题意.
故答案为：
【分析】根据题意得出△ABC∽△A'B'C'，得出，再把S△ABC=8代入，即可求出S△A'B'C'=18.
10．【答案】9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，
∵△DEF的周长为3，
∴△ABC的周长为：9．
故答案为：9．
【分析】先根据点A、D的坐标求出相似三角形的相似比，再利用相似三角形周长之比等于相似比求解即可。
11．【答案】(0，0)或(，4)
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：①当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时，延长CA、BD交于点O，则位似中心的坐标是（0，0），
②当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P，
则点P为位似中心，
∵线段AB、CD是位似图形，
∴AB∥CD，
∴△PAB∽△PDC，
∴，即，
∴AP，
∴位似中心点P的坐标是(，4)，即(，4)，
综上所述，位似中心点的坐标是(0，0)或(，4)，
故答案为：(0，0)或(，4)．
【分析】分两种情况：①当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时，延长CA、BD交于点O，则位似中心的坐标是（0，0），②当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P，则点P为位似中心，再求出点P的坐标即可。
12．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
【分析】根据位似图形的性质可得。
13．【答案】-2.5
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】过点B、B′分别作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B′EC=90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B. C. B′在一条直线上，
∴∠BCD=∠B′CE，
∴△BCD∽△B′CE，
，
又 ，
.
又∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是( 1，0)，
∴CE=3，
，
，
∴点B的横坐标为： 2.5.
故答案为： 2.5.
【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标.
14．【答案】解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接CC′、AA′、AA′并延长，交点即为旋转中心；
（2）根据图形可得OA′=6，OA=12，据此可得位似比；
（3）分别连接B′O、A′O、C′O并延长，使OA′′=OA′，OB′′=OB′，OC′′=OC′，然后顺次连接可得△A′′B′′C′′，进而可得各点的坐标.
15．【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
1 / 127.3 位似----人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021·婺城模拟）视力表用来测量一个人的视力.如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是（ ）
A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故答案为：D.
【分析】根据位似变换的特点并结合题意可求解.
2．（2021·顺平模拟）如图，在网格图中，以D为位似中心，把ΔABC放大到原米的2倍，则点A的对应点为（ ）
A．O点 B．E点 C．G点 D．F点
【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：如图，点A的对应点为G点．
故答案为：C．
【分析】连接AD并延长使A1D=2AD，据此判断即可.
3．（2021·巴南模拟）如图， 与 是位似图形，点O是位似中心，且 的面积为4.若 ，则 的面积为（ ）.
A．8 B．12 C．20 D．36
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵ 和 是位似图形，
∴ ，
∴
∴
∵ 的面积为4，
∴ 的面积为
故答案为：D.
【分析】易得△ABC∽△DEF，然后由相似三角形的面积之比等于相似比的平方就可求出△DEF的面积.
4．（2021九上·荷塘期末）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，以点为位似中心，相似比为，把缩小，得到，则点的对应点的坐标为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点为位似中心，相似比为，把缩小，A（4，2）
则A点的对应点A1可以在第一象限，也可以在第三象限
当A1在第一象限时，其坐标为（，）即（2，1）
同理当A1在第三象限时，其坐标为（-2，-1）.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：A点的对应点A1可以在第一象限，也可以在第三象限，然后给点A的横纵坐标分别乘以或-就可得到对应点A1的坐标.
5．（2021九上·新邵期末）如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，若与的位似比为，则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
如图，可知
故答案为：B.
【分析】由图形可得：△ABC与△A′B′C′位于位似中心O的两侧，且对应线段之比为1：2，据此解答.
6．观察下图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是( )
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．位似
【答案】A
【知识点】轴对称图形；位似变换；图形的旋转
【解析】【分析】观察本题中图案的特点，根据对称、平移、旋转、位似的定义作答．
【解答】A、图形的方向发生了改变，不符合平移的定义，本题图案不包含平移变换，故本选项符合题意；
B、有8条对称轴，本题图案包含轴对称变换，故本选项不符合题意；
C、将图形绕着中心点旋转22.5°的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换，故本选项不符合题意；
D、符合位似图形的定义，本题图案包含位似变换，故本选项不符合题意．
故选A．
【点评】考查图形的四种变换方式：对称、平移、旋转、位似．
对称有轴对称和中心对称，轴对称的特点是一个图形绕着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；中心对称的特点是一个图形绕着一点旋转180°后与另一个图形完全重合，它是旋转变换的一种特殊情况．
平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．
旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．
位似的特点是几个相似图形的对应点所在的直线交于一点．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
7．（2021九上·二道期末）如图，在△ABC外取一点O，连结AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到△DEF，有下列说法：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为2：1； ④△ABC与△DEF的面积比为2：1．以上说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：在△ABC外取一点O，连结AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，得到△DEF，
∴DE∥AB，且DE=，DF∥AC，且DF=，EF∥BC，且EF= ，
∴，
∴△DEF∽△ABC，
∵BE，AD，CF的延长线交于O，
∴△DEF和△ABC位似；
与是位似图形，故①符合题意；
与是相似图形，故②符合题意；
∵DE=， DF=， EF= ，
∴DE+DF+EF=，
∴，
∴，
的周长与的周长比为，故③符合题意；
∵相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴与的面积比为，故④不符合题意；
∴正确的个数是3个．
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定与性质对每个说法一一判断即可。
二、填空题
8．（2021九上·西安期中）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），B（6，4），以原点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比1：2缩小，则点B的对应点B′的坐标是 .
【答案】（3，2）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：已知点A（2，1），B（6，4），以原点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比1：2缩小，
所以点B的对应点B′的坐标是（6× ，4× ），即（3，2）.
故答案为：（3，2）.
【分析】将点B的横、纵坐标分别乘以就可得到点B′的坐标.
9．（2020九上·伊川期中）如图， 与 是位似图形， 点O是位似中心， 若 ， .则 .
【答案】18
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解： △ABC与△A'B'C' 是位似图形，
∴△ABC∽△A'B'C'，
，
∴S△A'B'C'=18.
经检验：S△A'B'C'=18. 符合题意.
故答案为：
【分析】根据题意得出△ABC∽△A'B'C'，得出，再把S△ABC=8代入，即可求出S△A'B'C'=18.
10．（2021九上·和平期末）在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF位似，位似中心是原点O．已知A与D是对应顶点．且A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），若△DEF的周长为3，则△ABC的周长为 ．
【答案】9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵A，D的坐标分别是A（9，18），D（3，6），
∴△ABC与△DEF的相似比为：3：1，
∵△DEF的周长为3，
∴△ABC的周长为：9．
故答案为：9．
【分析】先根据点A、D的坐标求出相似三角形的相似比，再利用相似三角形周长之比等于相似比求解即可。
11．（2021九上·大东期末）线段AB、CD在平面直角坐标系中的网格位置，如图所示，O为坐标原点，A、B、C、D均在格点上，线段AB、CD是位似图形，位似中心的坐标是 ．
【答案】(0，0)或(，4)
【知识点】相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：①当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时，延长CA、BD交于点O，则位似中心的坐标是（0，0），
②当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P，
则点P为位似中心，
∵线段AB、CD是位似图形，
∴AB∥CD，
∴△PAB∽△PDC，
∴，即，
∴AP，
∴位似中心点P的坐标是(，4)，即(，4)，
综上所述，位似中心点的坐标是(0，0)或(，4)，
故答案为：(0，0)或(，4)．
【分析】分两种情况：①当点A和点C为对应点，点B和点D为对应点时，延长CA、BD交于点O，则位似中心的坐标是（0，0），②当点A和点D为对应点，点B和点C为对应点时，连接AD、BC交于点P，则点P为位似中心，再求出点P的坐标即可。
12．（2021九上·皇姑期末）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若OA＝3，AC＝7，则 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以点O为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
【分析】根据位似图形的性质可得。
13．（2017八下·黑龙江期末）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是 ．
【答案】-2.5
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】过点B、B′分别作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B′EC=90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B. C. B′在一条直线上，
∴∠BCD=∠B′CE，
∴△BCD∽△B′CE，
，
又 ，
.
又∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是( 1，0)，
∴CE=3，
，
，
∴点B的横坐标为： 2.5.
故答案为： 2.5.
【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标.
三、作图题
14．（2021九上·金塔期末）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形， 与 是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
⑴画出位似中心点O；
⑵直接写出 与 的位似比；
⑶以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A'B'C'关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出 △A″B″C″ 各顶点的坐标.
【答案】解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求；
A″（6，0）；B″（3，-2）； C″（4，-4）.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接CC′、AA′、AA′并延长，交点即为旋转中心；
（2）根据图形可得OA′=6，OA=12，据此可得位似比；
（3）分别连接B′O、A′O、C′O并延长，使OA′′=OA′，OB′′=OB′，OC′′=OC′，然后顺次连接可得△A′′B′′C′′，进而可得各点的坐标.
四、解答题
15．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，，，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接，，可证得以下结论：
①和为等腰三角形，则，（180°-∠ ▲ ）；
②四边形为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接，，如图，
①∵，
∴
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠，∠
∴∠，∠
②∵，
∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵
∴，，三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：，
又，且
∴
即：当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．
故答案为：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
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