第二十七章 相似----人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·淮北月考）已知x：y=5：2，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·嘉兴期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021九上·皇姑期末）在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E
C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D
4．（2021九上·安吉期末）如图，在中，点D，E分别在的边AB，AC上，如果添加一个条件，不一定能使与相似，那么这个条件可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·皇姑期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的面积是1，则四边形BCED的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021九上·大东期末）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB
C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
7．（2021九上·永年月考）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8．（2021九上·义乌期中）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离AE为 ，在△ABC中，BC＝2，AB＝ ，将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，A′C交直线l2于点D，则CD的长度为（ ）
A． B． C． D． ﹣
二、填空题
9．（2021九上·宁波月考）已知a＝4，b＝9，则这两个数a，b的比例中项为 .
10．（2021九上·宝安期中）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=4m，AB在阳光下的影长BC=3m，在同一时刻阳光下DE的影长EF=4m，则DE的长为
米．
11．（2021九上·北京月考）如图， 中，点D在边 上，且 ，若 ， ，则 的长为 ．
12．（2021九上·铁西期末）如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 ．
13．（2021九上·北京月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是 ．
14．（2021九上·醴陵期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则 .
三、作图题
15．（2021九上·农安期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①， ．
（2）如图②，在上找一点F，使．
（3）如图③，在上找一点M，连结、，使．
四、解答题
16．（2021九上·凌海期中）在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值．
17．（2021九上·长清期中）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
18．（2021九上·玉屏期中）两棵树的高度分别是 16.6米， 13.6米，两棵树的根部之间的距离AC=7米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树 的距离等于多少时，小强的眼睛与树 、 的顶部 、 恰好在同一条直线上，请说明理由．
五、综合题
19．（2021九上·铁西期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是AB边上的一个动点，连接CE，点F在边AB的延长线上，且BF＝BE，连接DF交CE于点G，连接BG．
（1）当点E是AB的中点时，求CE的长；
（2）在（1）的条件下，求BG的长；
（3）当BG时，请直接写出线段AF的长．
20．（2021九上·淮北月考）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF=∠ABC
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG=EF；
（3）求证：；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由合比性质得，，故A不符合题意；
B、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质得，再由反比性质得，故B符合题意；
C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质得，再由反比性质得，故C不符合题意；
D、由分比性质，得，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
∴EC=2.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，列比例式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出△ABC∽△DEF，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
D、＝，且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
B、∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ABC，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠A，，
∴△ADE∽△ABC，故C不符合题意；
D、∵∠A=∠A，，
△ADE不一定相似△ABC，故D符合题意；
故答案为：D. 【分析】图形中隐含公共角∠A=∠A，利用有两组对应角对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∵△ADE的面积是1
∴四边形BCED的面积是3
故答案为：C．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质可得==，再利用割补法可得四边形BCED的面积是3。
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
C.∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D.∵BC2＝BD AB，
∴，
添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项求解即可。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE∥BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE=A'E=A'C=AC，
∴，
即
∴ED=2
【分析】先求出△ACB∽△AED，再求出AE=A'E=A'C=AC，最后计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥l2，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝ ，AB＝ ，
∴BE＝ ＝2，
∵BC＝2，
∴CE＝4，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
过D作DH⊥AC于H，
∴∠DHC＝∠AHD＝90°，
∵将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，
∴∠DCH＝60°，
设CH＝x，则DH＝ x，
∴AH＝AC﹣CH＝ ﹣x，
∵直线l1∥l2，
∴∠DAB＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠AHD＝90°，
∴△ACE∽△DAH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴CH＝ ，
∴CD＝2CH＝ .
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得BE、AC，过D作DH⊥AC于H，则∠DHC＝∠AHD＝90°，由旋转的性质可得∠DCH＝60°，设CH＝x，则DH＝x，AH＝ -x，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ACE，证明△ACE∽△DAH，根据相似三角形的性质可得x，进而可得CH、CD.
9．【答案】±6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设c是a，b的比例中项，
∴c2=ab，
又∵a=4，b=9，
∴c2=ab=36，
解得：c=±6.
故答案为：±6.
【分析】设c是a，b的比例中项，根据比例中项的概念可得c2=ab，据此求解.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∴DE=.
【分析】根据同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等， 列出比例，求出DE的长，即可求解.
11．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ．
∵AC= ，AD=1，
∴ ，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
12．【答案】15
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AC∥EF∥BD，CF＝6，
，
∴DF=9，
∴CD=DF+CF=9+6=15．
故答案是：15．
【分析】先求出DF=9，再代入计算求解即可。
13．【答案】（8，0）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），所以位似中心的坐标为（8，0）．
故答案为（8，0）．
【分析】先求出直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），再求解即可。
14．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，由平行线的性质可得∠DCE＝∠CAO，结合已知条件可得∠DCE＝∠DCB，证明△CDE≌△CDB，得到DE＝DB，根据点B、C的坐标可得CD＝3，OD＝n，OB＝4，DE＝DB＝4-n，OE＝2n-4，证明△AOE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质求解即可.
15．【答案】（1）
（2）解：如图②，点F即为所求；
（3）解：如图③，点M即为所求．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴，
∵AB=1，CD=2，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F；
（3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答即可。
16．【答案】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴EA∥FG，
∴ = ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在 中，
，
，
∴CB=GB，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB= BC，
∴ = = =( －1)．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；平行线分线段成比例
【解析】【分析】先求出 ∠ACB=90°， 再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
17．【答案】解：相似，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°
∵AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQD+∠PQC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PQC，
∴△ADQ∽△QCP．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】在 △ADQ和△QCP 中，已经有 ∠D＝∠C＝90°，若得出△ADQ∽△QCP需要得出∠DAQ＝∠PQC 即可。
18．【答案】解：设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F，
连接O、D、E得 和
设OE=x，OF=6+x，
∵ ，
∴ 即 =
解得x=24．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先求出 OE=x，OF=6+x， 再求出 = ，最后解方程求解即可。
19．【答案】（1）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，
∴，是等边三角形，
，
∵E是AB的中点
∴，
在中，
（2）解：四边形是菱形
在与中，
在中，
（3）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图，延长交于点H，连接，连接，
四边形是菱形
，，
是等边三角形
是等边三角形
中，
中，
BG
【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质与已知条件可得三角形ABC为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质可得CE⊥AB，利用勾股定理可求出结论；
（2）通过证明，可得G点为CE的中点，利用勾股定理可求出结论；
（3）延长BG交CD于点H，连接AC，AH，利用相似三角形的性质可得点H为AD的中点，利用菱形的性质与已知条件可得三角形ADC为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质可得AH⊥CD，利用勾股定理可求BH，则GH可得，利用比例式求得线段BF的长，则AF=AB+BF。
20．【答案】（1）证明：在△ABC中，∠ABC=2∠C，是的角平分线
设，，则
，
∠AEF=∠ABC=
又
△ABG∽△ECF；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
是的角平分线，
即
是的中线，
又
在与中
由（1）可知设，，
（3）证明：如图，过点G作交于点I，
，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合，即可证明△ABG∽△ECF；
（2）在上截取，连接， 再利用角平分线的性质可得DB=DC，再利用线段的和差可得GB=HC，再利用“SSS”证明，再利用全等三角形的性质求解即可；
（3）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再利用等量代换可得。
1 / 1第二十七章 相似----人教版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2021九上·淮北月考）已知x：y=5：2，则下列各式中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、由合比性质得，，故A不符合题意；
B、由反比性质，得y：x=2：5．由分比性质得，再由反比性质得，故B符合题意；
C、由反比性质，得y：x=2：5．由合比性质得，再由反比性质得，故C不符合题意；
D、由分比性质，得，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据比例式的性质逐项判断即可。
2．（2021九上·嘉兴期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴，即，
∴EC=2.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质，列比例式计算即可.
3．（2021九上·皇姑期末）在下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．＝且∠B＝∠E
C．＝＝ D．＝且∠A＝∠D
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
B、＝，且∠B＝∠E，不是两边成比例且夹角相等，不能得出△ABC∽△DEF，故此选项符合题意；
C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
D、＝，且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可。
4．（2021九上·安吉期末）如图，在中，点D，E分别在的边AB，AC上，如果添加一个条件，不一定能使与相似，那么这个条件可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
B、∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ABC，故B不符合题意；
C、∵∠A=∠A，，
∴△ADE∽△ABC，故C不符合题意；
D、∵∠A=∠A，，
△ADE不一定相似△ABC，故D符合题意；
故答案为：D. 【分析】图形中隐含公共角∠A=∠A，利用有两组对应角对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.
5．（2021九上·皇姑期末）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的面积是1，则四边形BCED的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴==，
∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，
∵△ADE的面积是1
∴四边形BCED的面积是3
故答案为：C．
【分析】先证明△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质可得==，再利用割补法可得四边形BCED的面积是3。
6．（2021九上·大东期末）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B．∠ADC＝∠ACB
C．AC2＝AD AB D．BC2＝BD AB
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
B.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
C.∵AC2＝AD AB，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；
D.∵BC2＝BD AB，
∴，
添加∠A＝∠A，不能推出△ACD∽△ABC，故本选项符合题意．
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项求解即可。
7．（2021九上·永年月考）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA=∠DEA′=90°，AE=A′E，
∴DE∥BC
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
∴AE=A'E=A'C=AC，
∴，
即
∴ED=2
【分析】先求出△ACB∽△AED，再求出AE=A'E=A'C=AC，最后计算求解即可。
8．（2021九上·义乌期中）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离AE为 ，在△ABC中，BC＝2，AB＝ ，将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，A′C交直线l2于点D，则CD的长度为（ ）
A． B． C． D． ﹣
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵AE⊥l2，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝ ，AB＝ ，
∴BE＝ ＝2，
∵BC＝2，
∴CE＝4，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
过D作DH⊥AC于H，
∴∠DHC＝∠AHD＝90°，
∵将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，
∴∠DCH＝60°，
设CH＝x，则DH＝ x，
∴AH＝AC﹣CH＝ ﹣x，
∵直线l1∥l2，
∴∠DAB＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠AHD＝90°，
∴△ACE∽△DAH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴CH＝ ，
∴CD＝2CH＝ .
故答案为：C.
【分析】由勾股定理可得BE、AC，过D作DH⊥AC于H，则∠DHC＝∠AHD＝90°，由旋转的性质可得∠DCH＝60°，设CH＝x，则DH＝x，AH＝ -x，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ACE，证明△ACE∽△DAH，根据相似三角形的性质可得x，进而可得CH、CD.
二、填空题
9．（2021九上·宁波月考）已知a＝4，b＝9，则这两个数a，b的比例中项为 .
【答案】±6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：设c是a，b的比例中项，
∴c2=ab，
又∵a=4，b=9，
∴c2=ab=36，
解得：c=±6.
故答案为：±6.
【分析】设c是a，b的比例中项，根据比例中项的概念可得c2=ab，据此求解.
10．（2021九上·宝安期中）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=4m，AB在阳光下的影长BC=3m，在同一时刻阳光下DE的影长EF=4m，则DE的长为
米．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∴DE=.
【分析】根据同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等， 列出比例，求出DE的长，即可求解.
11．（2021九上·北京月考）如图， 中，点D在边 上，且 ，若 ， ，则 的长为 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ．
∵AC= ，AD=1，
∴ ，
∴AB=3，
∴BD=AB-AD=3-1=2．
故答案为2
【分析】利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。
12．（2021九上·铁西期末）如图，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的长等于 ．
【答案】15
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AC∥EF∥BD，CF＝6，
，
∴DF=9，
∴CD=DF+CF=9+6=15．
故答案是：15．
【分析】先求出DF=9，再代入计算求解即可。
13．（2021九上·北京月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是 ．
【答案】（8，0）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），所以位似中心的坐标为（8，0）．
故答案为（8，0）．
【分析】先求出直线AA′与直线BB′的交点坐标为（8，0），再求解即可。
14．（2021九上·醴陵期末）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则 .
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：.
故答案为：.
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，由平行线的性质可得∠DCE＝∠CAO，结合已知条件可得∠DCE＝∠DCB，证明△CDE≌△CDB，得到DE＝DB，根据点B、C的坐标可得CD＝3，OD＝n，OB＝4，DE＝DB＝4-n，OE＝2n-4，证明△AOE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质求解即可.
三、作图题
15．（2021九上·农安期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）如图①， ．
（2）如图②，在上找一点F，使．
（3）如图③，在上找一点M，连结、，使．
【答案】（1）
（2）解：如图②，点F即为所求；
（3）解：如图③，点M即为所求．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∴，
∵AB=1，CD=2，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）证明△AEB∽△DEC，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点F；
（3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答即可。
四、解答题
16．（2021九上·凌海期中）在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值．
【答案】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴EA∥FG，
∴ = ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在 中，
，
，
∴CB=GB，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB= BC，
∴ = = =( －1)．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；平行线分线段成比例
【解析】【分析】先求出 ∠ACB=90°， 再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
17．（2021九上·长清期中）已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且AQ⊥PQ，△ADQ与△QCP是否相似？并证明你的结论．
【答案】解：相似，证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°
∵AQ⊥PQ，
∴∠AQP＝90°，
∴∠AQD+∠PQC＝90°，
∴∠DAQ＝∠PQC，
∴△ADQ∽△QCP．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】在 △ADQ和△QCP 中，已经有 ∠D＝∠C＝90°，若得出△ADQ∽△QCP需要得出∠DAQ＝∠PQC 即可。
18．（2021九上·玉屏期中）两棵树的高度分别是 16.6米， 13.6米，两棵树的根部之间的距离AC=7米．小强沿着正对这两棵树的方向从右向左前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6米，当小强与树 的距离等于多少时，小强的眼睛与树 、 的顶部 、 恰好在同一条直线上，请说明理由．
【答案】解：设小强的眼睛位置为O，过O点做平行于地面的线段交CD于E，交AB于F，
连接O、D、E得 和
设OE=x，OF=6+x，
∵ ，
∴ 即 =
解得x=24．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先求出 OE=x，OF=6+x， 再求出 = ，最后解方程求解即可。
五、综合题
19．（2021九上·铁西期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，点E是AB边上的一个动点，连接CE，点F在边AB的延长线上，且BF＝BE，连接DF交CE于点G，连接BG．
（1）当点E是AB的中点时，求CE的长；
（2）在（1）的条件下，求BG的长；
（3）当BG时，请直接写出线段AF的长．
【答案】（1）解：如图，连接，
∵四边形是菱形，AB＝2，∠ABC＝60°，
∴，是等边三角形，
，
∵E是AB的中点
∴，
在中，
（2）解：四边形是菱形
在与中，
在中，
（3）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）如图，延长交于点H，连接，连接，
四边形是菱形
，，
是等边三角形
是等边三角形
中，
中，
BG
【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质与已知条件可得三角形ABC为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质可得CE⊥AB，利用勾股定理可求出结论；
（2）通过证明，可得G点为CE的中点，利用勾股定理可求出结论；
（3）延长BG交CD于点H，连接AC，AH，利用相似三角形的性质可得点H为AD的中点，利用菱形的性质与已知条件可得三角形ADC为等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质可得AH⊥CD，利用勾股定理可求BH，则GH可得，利用比例式求得线段BF的长，则AF=AB+BF。
20．（2021九上·淮北月考）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，角平分线BD和中线AE相交于点G、F在CD上，且∠AEF=∠ABC
（1）求证：△ABG∽△ECF；
（2）求证：EG=EF；
（3）求证：；
【答案】（1）证明：在△ABC中，∠ABC=2∠C，是的角平分线
设，，则
，
∠AEF=∠ABC=
又
△ABG∽△ECF；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
是的角平分线，
即
是的中线，
又
在与中
由（1）可知设，，
（3）证明：如图，过点G作交于点I，
，
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明，再结合，即可证明△ABG∽△ECF；
（2）在上截取，连接， 再利用角平分线的性质可得DB=DC，再利用线段的和差可得GB=HC，再利用“SSS”证明，再利用全等三角形的性质求解即可；
（3）先证明，再利用相似三角形的性质可得，再利用等量代换可得。
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