26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2020九上·泰兴期中）二次函数y＝2x2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0）
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵y＝2x2，
∴顶点坐标为（0，0），
故答案为：D.
【分析】根据y=ax2的顶点坐标为（0，0）可求解.
2．（2021九上·东光期中）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：对称轴为直线： ，
其中， ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。
3．（2019九上·台安月考）下列关于函数 的图象及其性质的说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．顶点是原点
C．对称轴是y轴 D．函数有最小值是0
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：A、由a=- ＜0可知图象开口向下，故此选项正确；
B、 的顶点坐标为（0，0），故此选项正确；
C、 的对称轴是直线x=0，即y轴，故此选项正确；
D、 的函数有最大值0，故此选项错误；
故答案为：D.
【分析】根据a的值确定抛物线的开口方向，当a＞0，开口向上，函数有最小值；当a＜0开口向下，函数有最大值，可对A，D作出判断；形如y=ax2（a≠0）的顶点坐标是原点，对称轴为y轴，可对B，C作出判断。
4．（2021九上·密山期末）已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小
∴
故答案为：C
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系可得：二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小，再求解即可。
二、填空题
5．（2021九上·江州期中）已知抛物线y=(m－1) x 2开口向下，则m的取值范围是 .
【答案】m<1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由 题意可知：m-1＜0，
∴m＜1；
故答案为：m＜1.
【分析】 抛物线y=a x 2，当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，据此解答即可.
6．（2021九上·南宁月考）如图所示，在同一坐标系中，作出① ；② ；③ 的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） .
【答案】①③②
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①y=3x2，②③y=x2中，二次项系数a分别为3、 、1，
∵3＞1＞ ，
∴抛物线②y= x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄.
故依次填：①③②.
【分析】根据a的绝对值越大，开口越小可判断求解.
7．（2021九上·密山期末）已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝ ．
【答案】1或0
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：Ⅰ.若m≠0，因为图象关于y轴对称，
所以x＝，
即=0，
解得m＝1．
Ⅱ.当m＝0时，此时函数为y＝2，这个函数也关于y轴对称，
故答案为1或0．
【分析】分两种情况：当m≠0时，利用对称轴公式可得=0，求出m的值；当m＝0时，函数图象符合题意，即可得到答案。
8．（2021九上·中山期中）已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2＋a图象上的两点，比较：y1 y2．
【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋a，
∴图象开口向上，对称轴为y轴，
∴A（﹣2，y1）与（2，y1）关于y轴对称
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，且5＞2
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【分析】有函数解析式可得函数的对称轴为y轴，再利用函数的性质求解即可。
9．（2021九上·奉贤期中）如果抛物线 的最低点是原点，那么实数 的取值范围是 ．
【答案】m＞－1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】 抛物线 的最低点是原点，且该抛物线是二次函数
开口向上，
【分析】根据图象由最低点，即可得到。
10．（2021九上·互助期中）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】 ≤a≤3
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，
观察图象可知 ≤a≤3，
故答案为： ≤a≤3．
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时a的值，即可解决问题。
三、解答题
11．（2019九上·乐山月考）某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200kg，出油率为50％（即每100kg花生可加工成花生油50kg）.现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg.其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的 .求新品种花生亩产量的增长率.
【答案】解：设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200(1+x) 50%(1+ x)=132，
解得x =0.2=20%,x = 3.2(不合题意,舍去)，
答：新品种花生亩产量的增长率为20%.
【知识点】二次函数y=ax^2的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】设新品种亩产量的增长率为x，根据题意列出等量关系，得到答案即可。
四、综合题
12．（2021九上·上思期中）已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大.
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴.
【答案】（1）解：由y＝（k＋2） 是二次函数，且当x＞0时，
y随x的增大而增大，得
解得k＝2；
（2）解：y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】(1)根据二次函数y=ax2（a≠0）的次数是2，列出关于k的方程，结合二次函数图象的性质，得出k+2>0，即可；
(2)根据二次函数y=ax2（a≠0）图象的性质，可得顶点坐标、对称轴，即可解答.
13．（2021九上·农安期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B．
（1）点B的纵坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值；
（3）当时，若．求m的值；
（4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）m2
（2）解：把A（m，-2m+3）代入y=x2，得-2m+3=m2．
解得m1=-3，m2=1；
（3）解：根据题意知：|-2m+3-m2|=2．
①-2m+3-m2=2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意；
②-2m+3-m2=-2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意．
综上所述，m的值为或；
（4）-3＜m≤-1或m＞1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m，
∴将x=m代入y=x2，得y=m2．
即点B的纵坐标为m2．
故答案为：m2；
（4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（-3，9）或（1，1）．
设AB=d，
当-3＜m＜0时，d=-2m+3-m2=-（m+1）2+4时，对称轴是直线m=-1且抛物线开口向下，
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1．
【分析】（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，再解方程即可；
（3）根据等量关系AB=2和浪点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
（4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答即可。
1 / 126.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2020九上·泰兴期中）二次函数y＝2x2的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，0）
2．（2021九上·东光期中）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2019九上·台安月考）下列关于函数 的图象及其性质的说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．顶点是原点
C．对称轴是y轴 D．函数有最小值是0
4．（2021九上·密山期末）已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2021九上·江州期中）已知抛物线y=(m－1) x 2开口向下，则m的取值范围是 .
6．（2021九上·南宁月考）如图所示，在同一坐标系中，作出① ；② ；③ 的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） .
7．（2021九上·密山期末）已知函数y＝mx2+（m2﹣m）x+2的图象关于y轴对称，则m＝ ．
8．（2021九上·中山期中）已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2＋a图象上的两点，比较：y1 y2．
9．（2021九上·奉贤期中）如果抛物线 的最低点是原点，那么实数 的取值范围是 ．
10．（2021九上·互助期中）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y＝ax2的图象与正方形的边有公共点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
11．（2019九上·乐山月考）某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200kg，出油率为50％（即每100kg花生可加工成花生油50kg）.现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg.其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的 .求新品种花生亩产量的增长率.
四、综合题
12．（2021九上·上思期中）已知 是二次函数，且当x>0时，y随着x的增大而增大.
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴.
13．（2021九上·农安期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A作y轴的平行线交二次函数的图象于点B．
（1）点B的纵坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）当点A落在二次函数的图象上时，求m的值；
（3）当时，若．求m的值；
（4）当线段的长度随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：∵y＝2x2，
∴顶点坐标为（0，0），
故答案为：D.
【分析】根据y=ax2的顶点坐标为（0，0）可求解.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：对称轴为直线： ，
其中， ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：A、由a=- ＜0可知图象开口向下，故此选项正确；
B、 的顶点坐标为（0，0），故此选项正确；
C、 的对称轴是直线x=0，即y轴，故此选项正确；
D、 的函数有最大值0，故此选项错误；
故答案为：D.
【分析】根据a的值确定抛物线的开口方向，当a＞0，开口向上，函数有最小值；当a＜0开口向下，函数有最大值，可对A，D作出判断；形如y=ax2（a≠0）的顶点坐标是原点，对称轴为y轴，可对B，C作出判断。
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小
∴
故答案为：C
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系可得：二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小，再求解即可。
5．【答案】m<1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：由 题意可知：m-1＜0，
∴m＜1；
故答案为：m＜1.
【分析】 抛物线y=a x 2，当a＞0时，抛物线开口向上，当a＜0时，抛物线开口向下，据此解答即可.
6．【答案】①③②
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①y=3x2，②③y=x2中，二次项系数a分别为3、 、1，
∵3＞1＞ ，
∴抛物线②y= x2的开口最宽，抛物线①y=3x2的开口最窄.
故依次填：①③②.
【分析】根据a的绝对值越大，开口越小可判断求解.
7．【答案】1或0
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：Ⅰ.若m≠0，因为图象关于y轴对称，
所以x＝，
即=0，
解得m＝1．
Ⅱ.当m＝0时，此时函数为y＝2，这个函数也关于y轴对称，
故答案为1或0．
【分析】分两种情况：当m≠0时，利用对称轴公式可得=0，求出m的值；当m＝0时，函数图象符合题意，即可得到答案。
8．【答案】＜
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2＋a，
∴图象开口向上，对称轴为y轴，
∴A（﹣2，y1）与（2，y1）关于y轴对称
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，且5＞2
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【分析】有函数解析式可得函数的对称轴为y轴，再利用函数的性质求解即可。
9．【答案】m＞－1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】 抛物线 的最低点是原点，且该抛物线是二次函数
开口向上，
【分析】根据图象由最低点，即可得到。
10．【答案】 ≤a≤3
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
当抛物线经过（1，3）时，a＝3，
当抛物线经过（3，1）时，a＝ ，
观察图象可知 ≤a≤3，
故答案为： ≤a≤3．
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时a的值，即可解决问题。
11．【答案】解：设新品种花生亩产量的增长率为x，
根据题意得200(1+x) 50%(1+ x)=132，
解得x =0.2=20%,x = 3.2(不合题意,舍去)，
答：新品种花生亩产量的增长率为20%.
【知识点】二次函数y=ax^2的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】设新品种亩产量的增长率为x，根据题意列出等量关系，得到答案即可。
12．【答案】（1）解：由y＝（k＋2） 是二次函数，且当x＞0时，
y随x的增大而增大，得
解得k＝2；
（2）解：y＝4x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【分析】(1)根据二次函数y=ax2（a≠0）的次数是2，列出关于k的方程，结合二次函数图象的性质，得出k+2>0，即可；
(2)根据二次函数y=ax2（a≠0）图象的性质，可得顶点坐标、对称轴，即可解答.
13．【答案】（1）m2
（2）解：把A（m，-2m+3）代入y=x2，得-2m+3=m2．
解得m1=-3，m2=1；
（3）解：根据题意知：|-2m+3-m2|=2．
①-2m+3-m2=2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意；
②-2m+3-m2=-2，
解得m1=，m2=，
∵m＜0，
∴m=，符合题意．
综上所述，m的值为或；
（4）-3＜m≤-1或m＞1
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：（1）根据题意知，点B的横坐标是m，
∴将x=m代入y=x2，得y=m2．
即点B的纵坐标为m2．
故答案为：m2；
（4）由（2）知，当点A、B重合时，点A的坐标是（-3，9）或（1，1）．
设AB=d，
当-3＜m＜0时，d=-2m+3-m2=-（m+1）2+4时，对称轴是直线m=-1且抛物线开口向下，
∴线段AB的长度随m的增大而增大时，-3＜m≤-1．
当m＞1时，根据题意知，线段AB的长度随m的增大而增大时，m＞1．
综上所述，m的取值范围是-3＜m≤-1或m＞1．
【分析】（1）根据平行线的性质知，点B与点A的横坐标相同，所以把x=m代入抛物线解析式，即可求得点B的纵坐标；
（2）把点A代入二次函数解析式，列出方程，再解方程即可；
（3）根据等量关系AB=2和浪点间的距离公式列出方程，解方程即可求得m的值；
（4）利用两点间的距离公式列出二次函数解析式，由二次函数的性质解答即可。
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