26.2 二次函数的图像与性质----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·绿园期末）若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（2021九上·攸县期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象有最低点，其坐标是（1，2）
B．图象有最高点，其坐标是（﹣1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
3．（2021九上·富裕期末）把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
4．（2021九上·铁西期末）若函数y＝﹣x2﹣4x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当3＜x2＜x1时，下列判断正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法比较y1，y2的大小
5．（2021九上·铁西期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4a+2b+c＞0 C．2a﹣b＞0 D．3a+c＜0
6．（2021九上·北京月考）二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·平原月考）若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或
8．（2021九上·上思期中）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1.
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2021九上·哈尔滨月考）二次函数 的最大值为 ．
10．（2021九上·攸县期末）将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为 .
11．（2021九上·舟山月考）二次函数y＝x2+4x+5有最 值，值为 ．
12．（2021九上·农安期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线的顶点为E，且经过点A、B，若△为等腰直角三角形，则a的值是 ．
13．（2021九上·平原月考）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，x的取值范围是 ．
14．（2021九上·海淀期中）已知 ， 为抛物线 （ ）上任意两点，其中 ．若对于 ，都有 ，则a的取值范围是 ．
15．（2021九上·长沙开学考）如图，已知二次函数 （a≠0（的图象，且关于x的一元二次方程 没有实数根，有下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有 .
三、计算题
16．（2020九上·巢湖月考）已知抛物线的顶点为(2，3)，且经过点(3，1)，求此抛物线对应的函数解析式。
四、解答题
17．（2021九上·防城期中）如图，请根据图中信息，求出这个二次函数解析式：
18．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x1+x2=﹣ ，x1 x2= ）
（1）求m的取值范围；
（2）若OA=3OB，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故答案为：B
【分析】先求出a=1，再求出b=4，最后比较大小即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、由于a＝﹣1＜0，所以开口向下，有最大值，故A选项不符合题意；
B、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知顶点为（1，2），故B选项不符合题意；
C、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，故C不符合题意；
D、二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 根据二次函数的性质并结合题意即可求解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，
故答案为：D
【分析】根据解析式平移的特征：左加右减，上加下减的原则求解即可。
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，
∵3＜x2＜x1，两点都在对称轴右侧，a＜0，
∴在对称轴右侧侧y随x的增大而减小，
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，再根据抛物线的性质求解即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下知，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
当时，，则，故B选项不符合题意；
∵对称轴为，
∴，即，故C选项不符合题意；
当时，，
，
，
，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再根据抛物线的性质逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，所以A选项不符合题意；
∵对称轴位于x轴正半轴，
∴ ，a＞0，
∴b＜0，所以B选项不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，所以C选项不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质，再结合函数图象求解即可。
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝（x 3）2＋2m，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3，
①当3＜m时，
在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y＝（m 3）2＋2m＝m2 4m＋9为最小值，
∵m2 4m＋9＝5，
解得m＝2，不合题意；
②当m≤3≤m＋2时，
∴x＝3，y＝（x 3）2＋2m＝2m为最小值，
∴2m＝5，解得，m＝；
③当3＞m＋2，即m＜1，
在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝m＋2时，y＝（m＋2 3）2＋2m＝m2＋1为最小值，
∴m2＋1＝5．解得，m1＝2（舍去），m2＝ 2；
综上，m的值为或 2．
故答案为：B．
【分析】先求出图象开口向上，对称轴为直线x＝3，再分类讨论，利用函数图象与性质求解即可。
8．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b=﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，根据对称轴公式得出b=﹣2a，代 ① 化简即可判断 ① ；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，结合抛物线的对称轴为直线x=1，推出抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则可得出当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即可判断②；正确；观察图象可得当x=1时，二次函数有最大值，可得ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，即可判断③；观察图象可得x=3时，一次函数值比二次函数值大，从而得出9a+3b+c＜﹣3+c，结合b=﹣2a，则可推出a＜﹣1，即可判断④.
9．【答案】2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵a=-1<0
∴当x=0时，该函数有最大值，即最大值为： =2．
故填：2．
【分析】先求出a=-1<0，再计算求解即可。
10．【答案】y＝3（x＋2）2＋1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得抛物线的表达式是y＝3（x＋2）2＋1，
故答案为：y＝3（x＋2）2＋1.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
11．【答案】小；1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： y＝x2+4x+5
=(x+2)2+1，
∵a>0，∴函数有最小值1.
故答案为：小，1.
【分析】先把函数化成顶点式，对于二次函数y=a(x-h)2+k， 当a>0时，图象张口向上，对称轴x=h， 顶点为（h，k） ，有最小值k；当a<0时，图象张口向下，对称轴x=h， 顶点为（h，k） ，有最大值k.
12．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线，且A、B关于直线对称，
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∴AB=6，DE=AB=3，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9，
∴A(0，-6)，E(-3，-9)，
把A、E的坐标代入得：
，解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意和二次函数的性质，可得出抛物线的对称轴，从而得出AB的长，即可得出点A的坐标，再根据△ABE为等腰直角三角形，即可得出E到AB的距离，从而得出点E的坐标，再根据点A在抛物线上，即可求出a的值。
13．【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，
则其与x轴的另一个交点坐标为，
设抛物线的解析式为，
当x=0时，y=-3，
，
解得，
，
∴，
解得，
∵抛物线开口向上，在直线y=-3下方，
结合图象得：当时，．
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
14．【答案】a≥1或a≤-1
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵ ， 为抛物线 （ ）上任意两点，
∴ ， ，
∵对于 ，都有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 恒成立，
∴要使 恒成立则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
15．【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2 4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0， ＝1，c＜0，
∴b＝ 2a＜0，
∴abc＞0，②错误；
∵方程ax2＋bx＋c m＝0没有实数根，
∴m＜ 3，③正确；
∵a＞0，b＝ 2a，
∴3a＋b＝a＞0，④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数判断 ① ；由抛物线开口方向判断a的正负性，结合对称轴方程判断b的正负性，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的正负性，最后判断abc的正负性，即可判断 ② ；当 二次函数 的图象向上移动多于3个单位时，抛物线与x轴无交点，则得m<-3时， 没有实数根，则可判断③ ；由于b+2a=0，结合a>0，即可判断 ④ .
16．【答案】解：设抛物线对应的函数解析式是y=a(x-2)2+3，
把(3，1)代入得ax(3-2)2+3=1，解得a=-2，
所以抛物线解析式为y=-2(x-2)2+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】 根据抛物线的顶点为(2，3)，可设抛物线的解析式是y=a(x-2)2+3，利用待定系数法求二次函数的解析式，把点 (3，1)代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求解.
17．【答案】解：由图可知，图象过(-1， 0)、(2， 0)、(0， -2)三点，
设这个二次函数解析式为y=ax2 +bx+c(a≠0)，把以上三点代入解析式得：
解得：
∴这个二次函数解析式为y=x2-x+2；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】观察图象得出抛物线经过（-1， 0）、（2， 0）、（0， 2）三点， 设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c代入抛物线的解析式得出关于a，b，c的方程组，解方程组得出a，b，c的值，即可得出答案.
18．【答案】（1）解：令y=0，则有﹣x2﹣2x+m+1=0，即：x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣（m+1）=0，∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，∴x1 x2=﹣（m+1），x1+x2=﹣2，△=4+4（m+1）＞0，∴m＞﹣2∵x1＜0，x2＞0，
∴x1 x2＜0，
∴﹣（m+1）＜0，∴m＞﹣1，即m＞﹣1
（2）解：∵A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，
∴OA=﹣x1，OB=x2，
∵OA=3OB，
∴﹣x1=3x2，①
由（1）知，x1+x2=﹣2，②
x1 x2=﹣（m+1），③
联立①②③得，x1=﹣3，x2=1，m=2，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3
（3）解：存在点Q，
理由：如图，
连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，（∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，）
连接BQ，
由（2）知，抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；x1=﹣3，
∴抛物线的对称轴PD为x=﹣1，C（0，3），A（﹣3，0），
∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，
当x=﹣1时，y=2，
∴Q（﹣1，2），
∴点Q（﹣1，2）使得△BQC的周长最短
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）表示出抛物线与x轴的两个交点，利用△＞0，以及两个交点的符号，求出m的范围。
（2）根据OA=3OB以及x1+x2=﹣2，x1 x2=﹣（m+1），解出m的值，表示出函数的解析式。
（3）利用待定系数法，求出直线AC，连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短。
1 / 126.2 二次函数的图像与性质----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·绿园期末）若点、都在二次函数的图象上，则a与b的大小关系（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
故答案为：B
【分析】先求出a=1，再求出b=4，最后比较大小即可。
2．（2021九上·攸县期末）对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象有最低点，其坐标是（1，2）
B．图象有最高点，其坐标是（﹣1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、由于a＝﹣1＜0，所以开口向下，有最大值，故A选项不符合题意；
B、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知顶点为（1，2），故B选项不符合题意；
C、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，故C不符合题意；
D、二次函数y＝﹣（x﹣1）2＋2可知对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 根据二次函数的性质并结合题意即可求解.
3．（2021九上·富裕期末）把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+3 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2+3
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3，
故答案为：D
【分析】根据解析式平移的特征：左加右减，上加下减的原则求解即可。
4．（2021九上·铁西期末）若函数y＝﹣x2﹣4x+m（m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当3＜x2＜x1时，下列判断正确的是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．无法比较y1，y2的大小
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，
∵3＜x2＜x1，两点都在对称轴右侧，a＜0，
∴在对称轴右侧侧y随x的增大而减小，
∴y1＜y2．
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2，再根据抛物线的性质求解即可。
5．（2021九上·铁西期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴的正半轴交于点C．下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．4a+2b+c＞0 C．2a﹣b＞0 D．3a+c＜0
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下知，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故A选项不符合题意；
当时，，则，故B选项不符合题意；
∵对称轴为，
∴，即，故C选项不符合题意；
当时，，
，
，
，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用抛物线的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再根据抛物线的性质逐项判断即可。
6．（2021九上·北京月考）二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，所以A选项不符合题意；
∵对称轴位于x轴正半轴，
∴ ，a＞0，
∴b＜0，所以B选项不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，所以C选项不符合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，所以D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与性质，再结合函数图象求解即可。
7．（2021九上·平原月考）若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝（x 3）2＋2m，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3，
①当3＜m时，
在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y＝（m 3）2＋2m＝m2 4m＋9为最小值，
∵m2 4m＋9＝5，
解得m＝2，不合题意；
②当m≤3≤m＋2时，
∴x＝3，y＝（x 3）2＋2m＝2m为最小值，
∴2m＝5，解得，m＝；
③当3＞m＋2，即m＜1，
在自变量x的值满足m≤x≤m＋2的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝m＋2时，y＝（m＋2 3）2＋2m＝m2＋1为最小值，
∴m2＋1＝5．解得，m1＝2（舍去），m2＝ 2；
综上，m的值为或 2．
故答案为：B．
【分析】先求出图象开口向上，对称轴为直线x＝3，再分类讨论，利用函数图象与性质求解即可。
8．（2021九上·上思期中）如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：
①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1.
其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，
∴b=﹣2a，
∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，
∴当x=﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以②正确；
∵x=1时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；
∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，
∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c＜﹣3+c，
而b=﹣2a，
∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，根据对称轴公式得出b=﹣2a，代 ① 化简即可判断 ① ；抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，结合抛物线的对称轴为直线x=1，推出抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则可得出当x=﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即可判断②；正确；观察图象可得当x=1时，二次函数有最大值，可得ax2+bx+c≤a+b+c，即ax2+bx≤a+b，即可判断③；观察图象可得x=3时，一次函数值比二次函数值大，从而得出9a+3b+c＜﹣3+c，结合b=﹣2a，则可推出a＜﹣1，即可判断④.
二、填空题
9．（2021九上·哈尔滨月考）二次函数 的最大值为 ．
【答案】2
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵a=-1<0
∴当x=0时，该函数有最大值，即最大值为： =2．
故填：2．
【分析】先求出a=-1<0，再计算求解即可。
10．（2021九上·攸县期末）将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为 .
【答案】y＝3（x＋2）2＋1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝3x2先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得抛物线的表达式是y＝3（x＋2）2＋1，
故答案为：y＝3（x＋2）2＋1.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
11．（2021九上·舟山月考）二次函数y＝x2+4x+5有最 值，值为 ．
【答案】小；1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： y＝x2+4x+5
=(x+2)2+1，
∵a>0，∴函数有最小值1.
故答案为：小，1.
【分析】先把函数化成顶点式，对于二次函数y=a(x-h)2+k， 当a>0时，图象张口向上，对称轴x=h， 顶点为（h，k） ，有最小值k；当a<0时，图象张口向下，对称轴x=h， 顶点为（h，k） ，有最大值k.
12．（2021九上·农安期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线的顶点为E，且经过点A、B，若△为等腰直角三角形，则a的值是 ．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点为E，且经过点A、B，
∴抛物线的对称轴是直线，且A、B关于直线对称，
过E作EF⊥x轴于F，交AB于D，
∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，
∴AB=6，DE=AB=3，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=AB=BC=OC=6，EF=6+3=9，
∴A(0，-6)，E(-3，-9)，
把A、E的坐标代入得：
，解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意和二次函数的性质，可得出抛物线的对称轴，从而得出AB的长，即可得出点A的坐标，再根据△ABE为等腰直角三角形，即可得出E到AB的距离，从而得出点E的坐标，再根据点A在抛物线上，即可求出a的值。
13．（2021九上·平原月考）已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则当时，x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，
则其与x轴的另一个交点坐标为，
设抛物线的解析式为，
当x=0时，y=-3，
，
解得，
，
∴，
解得，
∵抛物线开口向上，在直线y=-3下方，
结合图象得：当时，．
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
14．（2021九上·海淀期中）已知 ， 为抛物线 （ ）上任意两点，其中 ．若对于 ，都有 ，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥1或a≤-1
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵ ， 为抛物线 （ ）上任意两点，
∴ ， ，
∵对于 ，都有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 恒成立，
∴要使 恒成立则 ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
15．（2021九上·长沙开学考）如图，已知二次函数 （a≠0（的图象，且关于x的一元二次方程 没有实数根，有下列结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确结论的序号有 .
【答案】①③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2 4ac＞0，①正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，
∴a＞0， ＝1，c＜0，
∴b＝ 2a＜0，
∴abc＞0，②错误；
∵方程ax2＋bx＋c m＝0没有实数根，
∴m＜ 3，③正确；
∵a＞0，b＝ 2a，
∴3a＋b＝a＞0，④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数判断 ① ；由抛物线开口方向判断a的正负性，结合对称轴方程判断b的正负性，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的正负性，最后判断abc的正负性，即可判断 ② ；当 二次函数 的图象向上移动多于3个单位时，抛物线与x轴无交点，则得m<-3时， 没有实数根，则可判断③ ；由于b+2a=0，结合a>0，即可判断 ④ .
三、计算题
16．（2020九上·巢湖月考）已知抛物线的顶点为(2，3)，且经过点(3，1)，求此抛物线对应的函数解析式。
【答案】解：设抛物线对应的函数解析式是y=a(x-2)2+3，
把(3，1)代入得ax(3-2)2+3=1，解得a=-2，
所以抛物线解析式为y=-2(x-2)2+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】 根据抛物线的顶点为(2，3)，可设抛物线的解析式是y=a(x-2)2+3，利用待定系数法求二次函数的解析式，把点 (3，1)代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求解.
四、解答题
17．（2021九上·防城期中）如图，请根据图中信息，求出这个二次函数解析式：
【答案】解：由图可知，图象过(-1， 0)、(2， 0)、(0， -2)三点，
设这个二次函数解析式为y=ax2 +bx+c(a≠0)，把以上三点代入解析式得：
解得：
∴这个二次函数解析式为y=x2-x+2；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】观察图象得出抛物线经过（-1， 0）、（2， 0）、（0， 2）三点， 设这个二次函数解析式为y=ax2+bx+c代入抛物线的解析式得出关于a，b，c的方程组，解方程组得出a，b，c的值，即可得出答案.
18．如图，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，与y轴交于点C，顶点为P．（提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x1+x2=﹣ ，x1 x2= ）
（1）求m的取值范围；
（2）若OA=3OB，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴PD上，存在点Q使得△BQC的周长最短，试求出点Q的坐标．
【答案】（1）解：令y=0，则有﹣x2﹣2x+m+1=0，即：x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣（m+1）=0，∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，∴x1 x2=﹣（m+1），x1+x2=﹣2，△=4+4（m+1）＞0，∴m＞﹣2∵x1＜0，x2＞0，
∴x1 x2＜0，
∴﹣（m+1）＜0，∴m＞﹣1，即m＞﹣1
（2）解：∵A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，
∴OA=﹣x1，OB=x2，
∵OA=3OB，
∴﹣x1=3x2，①
由（1）知，x1+x2=﹣2，②
x1 x2=﹣（m+1），③
联立①②③得，x1=﹣3，x2=1，m=2，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3
（3）解：存在点Q，
理由：如图，
连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，（∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，）
连接BQ，
由（2）知，抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；x1=﹣3，
∴抛物线的对称轴PD为x=﹣1，C（0，3），A（﹣3，0），
∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，
当x=﹣1时，y=2，
∴Q（﹣1，2），
∴点Q（﹣1，2）使得△BQC的周长最短
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）表示出抛物线与x轴的两个交点，利用△＞0，以及两个交点的符号，求出m的范围。
（2）根据OA=3OB以及x1+x2=﹣2，x1 x2=﹣（m+1），解出m的值，表示出函数的解析式。
（3）利用待定系数法，求出直线AC，连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短。
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