26.3 实践与探索----华师大版九年级下册同步试卷

26.3 实践与探索----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·陆川期中）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0 的解集是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为：（-1，0），
从图象看，不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＞5或x＜-1，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称性可得与x轴的另一个交点的坐标，然后根据图象，找出图象在x轴下方部分所对应的x的范围即可.
2．（2021·厦门模拟）二次函数 的图象与x轴交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=32-4×2×1=1＞0，
∴二次函数y=2x2+3x+1的图象与x轴有两个不同交点，
故答案为：C.
【分析】先求出△=b2-4ac的值，当△＞0，二次函数图象与x轴有两个不同交点；当△=0，二次函数图象与x轴只有一个交点；当△＜0，二次函数图象与x轴无交点，据此判断即可.
3．（2021九上·香洲期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示，则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）
x …… 0 4 ……
y …… 0.32 ﹣2 0.32 ……
A．0或4 B．1或5 C． 或4﹣ D． 或 ﹣2
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由抛物线经过点 得到 ，
所以二次函数解析式为 ，
因为抛物线经过点 、 ，
所以抛物线的对称轴为直线 ，
而抛物线经过点 ， ，
所以抛物线经过点 ， ，
方程 变形为 ，
所以方程 的根理解为函数值为 所对应的自变量的值，
所以方程 的根为 ， ．
故答案为：C．
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线 ，再求出抛物线经过点 ， ，最后求解即可。
4．（2021九上·龙江期末）如图，已知抛物线
与直线
交于
，
两点，则关于x的不等式
的解集是（　　）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可知当x=-3和x=1时，
再结合图像可知当
时，
．
故答案为：C．
【分析】结合图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
5．（2021九上·淮北月考）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【知识点】轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由知，当时，即
解得：
作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图象由的图像关于x轴对称得到
当时对应的解析式为
即，整理得：
综上所述或
故答案是：A．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再画出草图，然后联立抛物线和一次函数的解析式，再利用根的判别式判断即可。
6．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　）
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件需要降价x元，每天获得的利润为W，根据题意得
W=（128-x-100）（100+5x）=-5（x-4）2+2880，
∵-5＜0，
∴当x=4时，W最大值=2880.
故答案为：B.
【分析】设每件需要降价x元，每天获得的利润为W，根据W=每一件的利润×销售量，列出W与x之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
7．（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（　　）
A．1m B．2m
C．（2 ﹣4）m D．（ ﹣2）m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，
设y=a（x-2）（x+2），
∴2=a（0-2）（0+2），
∴a=-，
∴y=-（x-2）（x+2），
当水面下降1米时，y=-1，
∴-1=-（x-2）（x+2），
解得x=±，
∴水平宽度增加：（2-4）m.
故答案为：C.
【分析】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.
8．（2021九上·长兴月考）学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据题意：
GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，OH＝6，B（6，16），Q（10，15），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+16，
把Q（10，15）代入解析式得：15＝a（10﹣6）2+16，
解得：a＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】如图以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，然后写出顶点B及Q的坐标，利用顶点式求出抛物线解析式即可.
9．（2021·无锡）设 ， 分别是函数 ， 图象上的点，当 时，总有 恒成立，则称函数 ， 在 上是“逼近函数”， 为“逼近区间”.则下列结论：
①函数 ， 在 上是“逼近函数”；②函数 ， 在 上是“逼近函数”；③ 是函数 ， 的“逼近区间”；④ 是函数 ， 的“逼近区间”.其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：①∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
∴函数 ， 在 上不是“逼近函数”；
②∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
函数 ， 在 上是“逼近函数”；
③∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
∴ 是函数 ， 的“逼近区间”；
④∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
∴ 不是函数 ， 的“逼近区间”.
故答案为：A
【分析】 根据当 时，总有 恒成立， 则称函数 ， 在 上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，据此逐一判断即可.
二、填空题
10．（2021九上·密山期末）抛物线与x轴正半轴交点的坐标为　 　．
【答案】（6，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当y＝0时，x2﹣6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（6，0），
∴抛物线与x轴正半轴的交点坐标为（6，0）．
故答案为：（6，0）．
【分析】将y=0代入抛物线求出x的值即可得到抛物线与x轴的交点坐标。
11．如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是　 　．（精确到0.1）
【答案】x1=0.8，x2=3.2合理即可
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小．
12．（2021九上·农安期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　 　m.
【答案】4-4
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
【分析】先建立平面直角坐标系，再求出抛物线的解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
13．（2021八上·平阳期中）两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了　 　m，
恰好把水喷到F处进行灭火．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：看图可得：A(0， 21.2)，B(0， 9.2)，C(0， 6.2)，D(0，1.2)，
∵点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，
∴E(20， 9.2)，
设AE的直线解析式为y = kx+b，
，
解得，
∴y=-x+21.2，
∵A、E、F在同一条直线上，
∴6.2=-x+21.2，
∴x=25，
∴F（25，6.2），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴，
∴解得，
∴y=-x2+x+，
水流抛物线向上平移5cm，设向左退了m米，
∴D（0，1.4），
设平移后的抛物线为y=-(x+m)2+(x+m)+1.2+0.4，
∵平移后的抛物线经过F点，
∴6.2=-(25+m)2+(25+m)+1.2+0.4，
解得m=-10.
故答案为：-10.
【分析】观察图形，标出各点的坐标，利用待定系数法求出直线AE的解析式，则可求出F点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，水流抛物线向上平移5cm，设向左退了m米，然后根据对抛物线进行几何变换把平移后的抛物线表示出来，再把F点坐标代入其中求解即可.
14．（2021九上·衢州期末）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2 ，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4 ，此时最大深度（液面到最低点的距离）为10.以EF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 　 　；将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，此时杯体内液体的最大深度为 　 　.
【答案】y＝ x2＋9；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
A（0，0），B（0，9），C（ 2 ，19），D（2 ，19），
设抛物线的解析式为：y＝ax2＋9，
将D（2 ，19）代入得：
19＝a×(2 )2＋9，
解得：a＝ ，
∴y＝ x2＋9.
将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
A（0，0），F（ ，0），E（ ，0），B（0，9），C（ 2 ，19），D（2 ，19），
由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD l，
∵l经过点F（ ，0），且∠EFH＝30°，
∴设直线l的解析式为：y＝ x＋b，
将F（ ，0）代入，解得b＝ 1，
∴y＝ x 1，
又∵GD l，
∴kGD＝kl＝ ，
∴设直线GD的解析式为y＝ x＋p，
将D（2 ，19）代入，解得p＝17，
∴y＝ x＋17，
令x=0，y=17
∴M（0，17），
∵NF= ，
∴AN=AFtan30°= × =1
∴N（0， 1），
过点M作MP⊥l于点P，
∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°，
∴∠ANF＝60°，
∴MP＝MN sin60°
＝[17 （ 1）]×
＝9 .
过抛物线最低点Q作QL l，L为QL于MP的交点，
设直线QL的解析式为y＝ x＋q，
由 得：5x2 2 x＋54 6q＝0，
∵只有一个交点Q，
∴Δ＝0，
∴12 20（54 6q）＝0，
∴q＝ ，
∴ML＝（17 ）×sin60°
＝ .
故答案为：y＝ x2＋9， .
【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，易得A（0，0），B（0，9），C（-2，19），D（2，19），利用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2＋9，将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，表示出A、E、F、B、C、D的坐标，求出直线l、直线GD的解析式，得到点M、N的坐标，过点M作MP⊥l于点P，求出MP，过抛物线最低点Q作QL l，L为QL于MP的交点，设直线QL的解析式为y＝x＋q，联立抛物线解析式可得关于x的一元二次方程，然后根据Δ＝0可求出q，进而求出ML.
三、解答题
15．（2021九上·任城期中）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
【答案】解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．
则有y＝（80+10x）（100﹣10x）
＝﹣100x2+200x+8000．
当x＝﹣ ＝1时，可使y有最大值．
则x＝1时，y＝8100，
答：每张床位每天应提高10元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张床位提高x个10元，每天收入为y元，根据题意列出函数解析式y＝（80+10x）（100﹣10x），再利用二次函数的性质求解即可。
16．（2021九上·肇源期中）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4
m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．
【答案】解：如图：
由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（-12，0）代入得出，0=a（-12+6）2+4，
解得： ，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是： ．
故答案为： ．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】先求出 0=a（-12+6）2+4， 再求出 ， 最后求解即可。
17．（2021九上·大石桥期中）某幢建筑物，从5米高的窗口 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点 离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点 离墙距离 ．（结果保留根号）
【答案】解：由题意可得：点 ，抛物线的顶点 ，点 的纵坐标为 ，
∴可设该抛物线的解析式为： ，
把点 代入，得：
解得： ，
∴该抛物线的解析式为： ，
∴当 时，有
解得： ， （不合题意，舍去）
∴水流落地点 离墙距离 （米）．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】先根据题意求出抛物线的解析式，再将y=0代入计算即可。
四、综合题
18．（2021九上·芜湖月考）如图，抛物线y＝－x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，连接CD．
（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把A（3，0），B（－1，0）代入y＝－x2+bx+c，
解得b=2，c=3.∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3
则C点为（0，3）.又A（3，0），代入y＝kx+b1，
得k=-1，b1=3.∴直线AC的解析式为y＝-x+3.
（2）解：当P点与B点重合时，连接PC，此时DP=DA.则△ACP的面积是△ACD面积的2倍，即P为（－1，0）
过B点作BP∥AC交抛物线于点P，
即为所求，此时直线BP的解析式为y=－x－1.
与抛物线解析式y＝－x2+2x+3联立，
解得x=－1，y=0；
或者x=4，y=－5.
所以（4，－5）为所求.
综上，点P的坐标为（－1，0）或（4，－5）
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为y＝－(x-1)2+4
把x=1代入直线AC解析式y＝－x+3，得AC与抛物线对称轴的交点M（1，2），如图所示.
则△MAB是等腰直角三角形，符合题意.M点即为所求Q点的一种情况.
当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），m＜0.
因为线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，
过A1作直线DQ的垂线于E点，则△ADQ≌△QEA1.
∴AD=QE=2，DQ=EA1=－m.
∴A1（1－m，m－2）.
∵点A1恰好落在抛物线y＝－x2+2x+3上，
代入，解得m=－3(舍去m=2).∴Q（1，－3）
综上，Q点坐标为（1，2）或（1，－3）
【知识点】旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当P点与B点重合时， △ACP的面积是△ACD面积的2倍，得出P的坐标为（－1，0）， 当P点与B点不重合时，过B点作BP∥AC交抛物线于点P，求出直线BP的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组，求出方程组的解，即可得出点P的坐标；
（3）先求出AC和对称轴的交点M的坐标，得出△MAB是等腰直角三角形，得出M点即为所求Q点的坐标，当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），求出A1（1－m，m－2），再把点A1的坐标代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得出Q点的坐标.
1 / 126.3 实践与探索----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·陆川期中）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0 的解集是（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（2021·厦门模拟）二次函数 的图象与x轴交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
3．（2021九上·香洲期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示，则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）
x …… 0 4 ……
y …… 0.32 ﹣2 0.32 ……
A．0或4 B．1或5 C． 或4﹣ D． 或 ﹣2
4．（2021九上·龙江期末）如图，已知抛物线
与直线
交于
，
两点，则关于x的不等式
的解集是（　　）
A．或
B．或
C．
D．
5．（2021九上·淮北月考）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
6．某店销售一款运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价（　　）
A．3元 B．4元 C．5元 D．8元
7．（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（　　）
A．1m B．2m
C．（2 ﹣4）m D．（ ﹣2）m
8．（2021九上·长兴月考）学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
9．（2021·无锡）设 ， 分别是函数 ， 图象上的点，当 时，总有 恒成立，则称函数 ， 在 上是“逼近函数”， 为“逼近区间”.则下列结论：
①函数 ， 在 上是“逼近函数”；②函数 ， 在 上是“逼近函数”；③ 是函数 ， 的“逼近区间”；④ 是函数 ， 的“逼近区间”.其中，正确的有（　　）
A．②③ B．①④ C．①③ D．②④
二、填空题
10．（2021九上·密山期末）抛物线与x轴正半轴交点的坐标为　 　．
11．如图，是二次函数y=ax2+bx﹣c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是　 　．（精确到0.1）
12．（2021九上·农安期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　 　m.
13．（2021八上·平阳期中）两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F处出现火灾，此时A，E，F在同一直线上．跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E，F．若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了　 　m，
恰好把水喷到F处进行灭火．
14．（2021九上·衢州期末）图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD呈抛物线状（杯体厚度不计），点B是抛物线的顶点，AB＝9，EF＝2 ，点A是EF的中点，当高脚杯中装满液体时，液面CD＝4 ，此时最大深度（液面到最低点的距离）为10.以EF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式 　 　；将高脚杯绕点F缓缓倾斜倒出部分液体，当∠EFH＝30°时停止，此时液面为GD，此时杯体内液体的最大深度为 　 　.
三、解答题
15．（2021九上·任城期中）某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费80元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高10元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以10元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天应提高多少元？
16．（2021九上·肇源期中）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4
m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是 ，求选取点B为坐标原点时的抛物线解析式．
17．（2021九上·大石桥期中）某幢建筑物，从5米高的窗口 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示），如果抛物线的最高点 离墙1米，此时高度为10米．如图，在所示的平面直角坐标系中，求水流落地点 离墙距离 ．（结果保留根号）
四、综合题
18．（2021九上·芜湖月考）如图，抛物线y＝－x2+bx+c与x轴交于A，B两点，其中A（3，0），B（－1，0），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A、C，连接CD．
（1）分别求抛物线和直线AC的解析式；
（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ACD面积的2倍，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且点A1恰好落在该抛物线上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为：（-1，0），
从图象看，不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＞5或x＜-1，
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称性可得与x轴的另一个交点的坐标，然后根据图象，找出图象在x轴下方部分所对应的x的范围即可.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵b2-4ac=32-4×2×1=1＞0，
∴二次函数y=2x2+3x+1的图象与x轴有两个不同交点，
故答案为：C.
【分析】先求出△=b2-4ac的值，当△＞0，二次函数图象与x轴有两个不同交点；当△=0，二次函数图象与x轴只有一个交点；当△＜0，二次函数图象与x轴无交点，据此判断即可.
3．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由抛物线经过点 得到 ，
所以二次函数解析式为 ，
因为抛物线经过点 、 ，
所以抛物线的对称轴为直线 ，
而抛物线经过点 ， ，
所以抛物线经过点 ， ，
方程 变形为 ，
所以方程 的根理解为函数值为 所对应的自变量的值，
所以方程 的根为 ， ．
故答案为：C．
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线 ，再求出抛物线经过点 ， ，最后求解即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意可知当x=-3和x=1时，
再结合图像可知当
时，
．
故答案为：C．
【分析】结合图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
5．【答案】A
【知识点】轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由知，当时，即
解得：
作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图象由的图像关于x轴对称得到
当时对应的解析式为
即，整理得：
综上所述或
故答案是：A．
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再画出草图，然后联立抛物线和一次函数的解析式，再利用根的判别式判断即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件需要降价x元，每天获得的利润为W，根据题意得
W=（128-x-100）（100+5x）=-5（x-4）2+2880，
∵-5＜0，
∴当x=4时，W最大值=2880.
故答案为：B.
【分析】设每件需要降价x元，每天获得的利润为W，根据W=每一件的利润×销售量，列出W与x之间的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可求出结果.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，
设y=a（x-2）（x+2），
∴2=a（0-2）（0+2），
∴a=-，
∴y=-（x-2）（x+2），
当水面下降1米时，y=-1，
∴-1=-（x-2）（x+2），
解得x=±，
∴水平宽度增加：（2-4）m.
故答案为：C.
【分析】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据题意：
GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，
根据题意，OH＝6，B（6，16），Q（10，15），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+16，
把Q（10，15）代入解析式得：15＝a（10﹣6）2+16，
解得：a＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】如图以GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，然后写出顶点B及Q的坐标，利用顶点式求出抛物线解析式即可.
9．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：①∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
∴函数 ， 在 上不是“逼近函数”；
②∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
函数 ， 在 上是“逼近函数”；
③∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
∴ 是函数 ， 的“逼近区间”；
④∵ ， ，
∴ ，当 时， ，
∴ 不是函数 ， 的“逼近区间”.
故答案为：A
【分析】 根据当 时，总有 恒成立， 则称函数 ， 在 上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，据此逐一判断即可.
10．【答案】（6，0）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当y＝0时，x2﹣6x＝0，
解得：x1＝0，x2＝6，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（6，0），
∴抛物线与x轴正半轴的交点坐标为（6，0）．
故答案为：（6，0）．
【分析】将y=0代入抛物线求出x的值即可得到抛物线与x轴的交点坐标。
11．【答案】x1=0.8，x2=3.2合理即可
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx=c的两个根可能是：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
故答案为：x1=0.8，x2=3.2合理即可．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点的位置估算出两根的大小．
12．【答案】4-4
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
【分析】先建立平面直角坐标系，再求出抛物线的解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：看图可得：A(0， 21.2)，B(0， 9.2)，C(0， 6.2)，D(0，1.2)，
∵点B和点E、点C和点F的离地高度分别相同，
∴E(20， 9.2)，
设AE的直线解析式为y = kx+b，
，
解得，
∴y=-x+21.2，
∵A、E、F在同一条直线上，
∴6.2=-x+21.2，
∴x=25，
∴F（25，6.2），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∴，
∴解得，
∴y=-x2+x+，
水流抛物线向上平移5cm，设向左退了m米，
∴D（0，1.4），
设平移后的抛物线为y=-(x+m)2+(x+m)+1.2+0.4，
∵平移后的抛物线经过F点，
∴6.2=-(25+m)2+(25+m)+1.2+0.4，
解得m=-10.
故答案为：-10.
【分析】观察图形，标出各点的坐标，利用待定系数法求出直线AE的解析式，则可求出F点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，水流抛物线向上平移5cm，设向左退了m米，然后根据对抛物线进行几何变换把平移后的抛物线表示出来，再把F点坐标代入其中求解即可.
14．【答案】y＝ x2＋9；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；锐角三角函数的定义；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
A（0，0），B（0，9），C（ 2 ，19），D（2 ，19），
设抛物线的解析式为：y＝ax2＋9，
将D（2 ，19）代入得：
19＝a×(2 )2＋9，
解得：a＝ ，
∴y＝ x2＋9.
将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
由题意得：
A（0，0），F（ ，0），E（ ，0），B（0，9），C（ 2 ，19），D（2 ，19），
由题可知，直线l与x轴的夹角为30°，GD l，
∵l经过点F（ ，0），且∠EFH＝30°，
∴设直线l的解析式为：y＝ x＋b，
将F（ ，0）代入，解得b＝ 1，
∴y＝ x 1，
又∵GD l，
∴kGD＝kl＝ ，
∴设直线GD的解析式为y＝ x＋p，
将D（2 ，19）代入，解得p＝17，
∴y＝ x＋17，
令x=0，y=17
∴M（0，17），
∵NF= ，
∴AN=AFtan30°= × =1
∴N（0， 1），
过点M作MP⊥l于点P，
∵∠EFH＝30°，∠FAN＝90°，
∴∠ANF＝60°，
∴MP＝MN sin60°
＝[17 （ 1）]×
＝9 .
过抛物线最低点Q作QL l，L为QL于MP的交点，
设直线QL的解析式为y＝ x＋q，
由 得：5x2 2 x＋54 6q＝0，
∵只有一个交点Q，
∴Δ＝0，
∴12 20（54 6q）＝0，
∴q＝ ，
∴ML＝（17 ）×sin60°
＝ .
故答案为：y＝ x2＋9， .
【分析】以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，易得A（0，0），B（0，9），C（-2，19），D（2，19），利用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2＋9，将高脚杯绕点F倾斜后，仍以A为原点，直线EF为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系，表示出A、E、F、B、C、D的坐标，求出直线l、直线GD的解析式，得到点M、N的坐标，过点M作MP⊥l于点P，求出MP，过抛物线最低点Q作QL l，L为QL于MP的交点，设直线QL的解析式为y＝x＋q，联立抛物线解析式可得关于x的一元二次方程，然后根据Δ＝0可求出q，进而求出ML.
15．【答案】解：设每张床位提高x个10元，每天收入为y元．
则有y＝（80+10x）（100﹣10x）
＝﹣100x2+200x+8000．
当x＝﹣ ＝1时，可使y有最大值．
则x＝1时，y＝8100，
答：每张床位每天应提高10元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张床位提高x个10元，每天收入为y元，根据题意列出函数解析式y＝（80+10x）（100﹣10x），再利用二次函数的性质求解即可。
16．【答案】解：如图：
由题意可得出：y=a（x+6）2+4，
将（-12，0）代入得出，0=a（-12+6）2+4，
解得： ，
∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是： ．
故答案为： ．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】先求出 0=a（-12+6）2+4， 再求出 ， 最后求解即可。
17．【答案】解：由题意可得：点 ，抛物线的顶点 ，点 的纵坐标为 ，
∴可设该抛物线的解析式为： ，
把点 代入，得：
解得： ，
∴该抛物线的解析式为： ，
∴当 时，有
解得： ， （不合题意，舍去）
∴水流落地点 离墙距离 （米）．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】先根据题意求出抛物线的解析式，再将y=0代入计算即可。
18．【答案】（1）解：把A（3，0），B（－1，0）代入y＝－x2+bx+c，
解得b=2，c=3.∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3
则C点为（0，3）.又A（3，0），代入y＝kx+b1，
得k=-1，b1=3.∴直线AC的解析式为y＝-x+3.
（2）解：当P点与B点重合时，连接PC，此时DP=DA.则△ACP的面积是△ACD面积的2倍，即P为（－1，0）
过B点作BP∥AC交抛物线于点P，
即为所求，此时直线BP的解析式为y=－x－1.
与抛物线解析式y＝－x2+2x+3联立，
解得x=－1，y=0；
或者x=4，y=－5.
所以（4，－5）为所求.
综上，点P的坐标为（－1，0）或（4，－5）
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为y＝－(x-1)2+4
把x=1代入直线AC解析式y＝－x+3，得AC与抛物线对称轴的交点M（1，2），如图所示.
则△MAB是等腰直角三角形，符合题意.M点即为所求Q点的一种情况.
当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），m＜0.
因为线段AQ绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，
过A1作直线DQ的垂线于E点，则△ADQ≌△QEA1.
∴AD=QE=2，DQ=EA1=－m.
∴A1（1－m，m－2）.
∵点A1恰好落在抛物线y＝－x2+2x+3上，
代入，解得m=－3(舍去m=2).∴Q（1，－3）
综上，Q点坐标为（1，2）或（1，－3）
【知识点】旋转的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当P点与B点重合时， △ACP的面积是△ACD面积的2倍，得出P的坐标为（－1，0）， 当P点与B点不重合时，过B点作BP∥AC交抛物线于点P，求出直线BP的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组，求出方程组的解，即可得出点P的坐标；
（3）先求出AC和对称轴的交点M的坐标，得出△MAB是等腰直角三角形，得出M点即为所求Q点的坐标，当Q点在x轴下方时，设Q为（1，m），求出A1（1－m，m－2），再把点A1的坐标代入抛物线的解析式，求出m的值，即可得出Q点的坐标.
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