第26章 二次函数----华师大版九年级下册单元试卷
一、单选题
1．（2021九上·集贤期末）抛物线顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线顶点坐标是
故答案为：B．
【分析】根据抛物线求顶点坐标即可。
2．（2021九上·瑞安月考）抛物线y=-（x-1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为（ ）
A．y=-（x+1）2 B．y=-（x-3）2
C．y=-（x-1）2+2 D．y=-（x-1）2-2
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=-（x-1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为y=-（x-1-2）2=-（x-3）2
故答案为：B.
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减，得出抛物线y=-（x-1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为y=-（x-1-2）2，得出即可得出答案.
3．（2021九上·芜湖月考）我们把“将抛物线向右平移2个单位或．向上平移1个单位”这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后得到的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的表达式不可能是（ ）．
A．y=x2－1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：A、y=x2-1向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故A不符合题意；
B、y=x2+6x+5=（x+3）2-4无法经过两次简单变换后得到y=x2+1，故B符合题意；
C、y=x2+4x+4=（x+2）2向右平移2个单位得到y=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C不符合题意；
D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1向右平移2个单位得到y=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平移变换规律：左加右减，上加下减，逐项进行判断，即可得出答案.
4．（2021九上·农安期末）由二次函数可知（ ）
A．其图象的开口向上 B．其顶点坐标为
C．其图象的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-3（x+4）2-2，
∴图象开口向下，对称轴为直线x=-4，顶点是（-4，-2），
当x＞3时，y随x的增大而减小，
故答案为：C．
【分析】根据 二次函数 的图象与性质对每个选项一一判断即可。
5．（2021九上·皇姑期末）如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0；
小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．
下列判断正确的是（ ）．
A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错
C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵点，
当时，则，整理得，
∵，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2；
当时，则，整理得，
∵，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1；
当时，则，整理得，
∵，
∴点M的个数为0；
∴小明错，小云对，小朵错
故答案为：C．
【分析】把M的坐标代入抛物线解析式，即可得出关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断。
6．（2021九上·温岭期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1A．4a-2b+c=0
B．当x< 时，y随x增大而增大
C．当x> 时，y随x增大而减小
D．a【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵图象与x轴的交点为（-2，0），∴当x=-2时，y=4a-2b+c=0，正确；
B、 ∵图象与x轴的另一个交点是（-2，0），且1-，∴当x< 时，y随x增大而增大，正确；
C、∵对称轴x大于且小于0，∴当x>-，图象的增减趋势不确定，错误；
D、∵图象的开口向下，∴a<0，∵x=-=>-，∴<1，∴b>a，∵a<0，∴对称轴x=-<0，∴b<0，∴a故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标由一个是（-2，0），则可得出4a-2b+c=0，即可判断A；根据抛物线与x轴的两个交点坐标，得出对称轴x>-，结合图象即可判断B；由于对称轴x大于且小于0，则可得出图象的增减趋势不确定，即可判断C；根据图象开口得出a<0，结合对称轴的位置得出b>a，b<0，从而得出a7．（2021九上·浙江期中）将二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣2 B． 或﹣2 C． 或﹣3 D． 或﹣3
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点坐标为 ，
当y=0时， ，解得 ，
则抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴的交点为 ， ，
把抛物线y＝﹣x2＋2x＋3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
如图，当直线 过点B时，直线 与该图象恰好有三个公共点，
∴ ，解得： ；
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该图象恰好有三个公共点，即 有相等的实数解，整理得： ，
，解得 ，
∴b的值为-3或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标，令y=0，求出x，得A（-1，0）、B（3，0），求出抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方时对应的函数解析式，画出对应的图象，由图象可知：当直线过点B或与抛物线相切时，两者有3个交点，据此求解.
8．（2021九上·瑶海月考）如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0；④8a+c＞0；⑤ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1．
其中正确的命题有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵开口向上，∴a＞0，对称轴在y轴的左侧，b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，c＜0，∴abc＜0，∴①符合题意；
② =﹣1，b=2a，②不符合题意；
③当x=1时，y=0，∴a+b+c=0，③符合题意；
④当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴8a+c＞0，④符合题意；
⑤∵对称轴为x=﹣1，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣3，0），（1，0），∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1，⑤符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断得到答案即可。
二、填空题
9．（2021九上·温州月考）二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是 .
【答案】（0，3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意可令x=0，则有y=3，
∴二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是（0，3）；
故答案为：（0，3）.
【分析】令x=0，求出y的值，据此可得二次函数图象与y轴的交点坐标.
10．（2021九上·芜湖月考）将抛物线y=x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 ．
【答案】y=－x2－1
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，
∴ 新抛物线的解析式为y=-x2-1.
【分析】根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数，得出翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，即可得出答案.
11．（2021九上·永吉期末）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，则线段AB的长为 ．
【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当y＝0时，＝0，
解得：x＝5或1，
∴点A（5，0）和点B（1，0），
∴线段AB的长＝5-1＝4．
故答案为：4．
【分析】先求出x＝5或1，再求出点A（5，0）和点B（1，0），最后计算求解即可。
12．（2021九上·密山期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是 ．
【答案】1<3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象得：对称轴是直线x=1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c>0的解集即是y>0的解集，
∴-1＜x＜3；
故填：-1＜x＜3．
【分析】结合函数图象，根据函数值大的图象在上方的原则求解即可。
13．（2021九上·建华期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在1时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是 ．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2．
故答案为：．
【分析】先求出-3=4a，再求出a=-，最后计算求解即可。
14．（2021九上·萧山月考）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D.若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y＝﹣x2+4x﹣3＝0，
即x2﹣4x-3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0）.
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣（x﹣4）2+1，
当y＝x+m与C2相切时，
令y＝x+m＝y＝﹣（x﹣4）2+1，
即x2﹣7x+15+m＝0，△＝72﹣5×（15+m）＝0，
解得 ，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m，m＝﹣3，
当 时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点.
故答案为： .
【分析】先求出点A、B坐标，然后求出C2解析式，分别求出y＝x+m与C2相切时的m值及y＝x+m2过点B时m值，结合图形即可求解.
15．（2021九上·嘉兴期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0，②a+c＞0，③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该图象上，则y1＜y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）。
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵对称轴x=-=1，∴b=-2a>0，∵图象与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，故 ① 错误；当x=1+时，y=a(1+)2-2a(1+)+c=a+c，∵当x=1+时，不能确定y的值，即不能确定a+c的值，故 ② 错误；观察图象可知，离对称轴越远，函数值越小，∵-1到1的距离大于2到1的距离，∴y1＜y2， 故 ③ 正确；设x10，m-x1≥0，m-x2<0，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0 ，若m≥x2，则p<0，m-x1>0，m-x2≥0，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0 ，故 ④ 正确；
综上，正确是 ③④ .
故答案为 ③④ .
【分析】 ① 根据抛物线的开口方向判断a的符号，结合对称轴x=1判断b的符号，根据图象与y轴的交点在x轴位置判断c的符号，从而可判abc的符号； ② 当x=1+时，y=a+c，由于当x=1+时，不能确定y的值，即不能确定a+c的值； ③观察图象可知，离对称轴越远，函数值越小，再比较-1到1的距离与2到1的距离的大小，即可作答； ④ 设x1三、作图题
16．（2021九上·下城期末）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解；
②当x满足什么条件时， .
【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴将点 代入的解析式为 ，
得 ，
解得： .
∴抛物线的解析式为： 即： .
（2）解：函数的图象如下图所示：
①方程 ，即：在函数 中y=-3时， ， .
所以方程 的解是 ， ；
②当 时，即函数图象在x轴上面的图象，此时对应自变量的范围： 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（2，-3）代入二次函数式进行求解即可；
（2） ① 由（1）及图象直接求解即可； ②根据图象，找出图象 时的部分，读出此时x的范围即可.
四、解答题
17．（2021九上·铁西期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+c（c是常数）的图象与x轴只有一个交点，求c的值及这个交点的坐标．
【答案】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将抛物线与x轴的交点个数问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可。
18．（2021九上·临江期末） 已知二次函数y＝x2﹣mx+2m﹣4
证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点
【答案】证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】令y=0得出一元二次方程x2-mx+2m-4=0，求出根的判别式△≥0，得出方程有实数根，即可证出该函数图象与x轴总有交点.
19．（2018九上·思明期中）已知二次函数y＝x2+bx+c.
(Ⅰ)若二次函数的图象经过(3，﹣2)，且对称轴为x＝1，求二次函数的解析式；
(Ⅱ)如图，在(Ⅰ)的条件下，过定点的直线y＝﹣kx+k﹣4(k≤0)与(1)中的抛物线交于点M，N，且抛物线的顶点为P，若△PMN的面积等于3，求k的值；
(Ⅲ)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.
【答案】解：(Ⅰ)根据题意得， ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣5…①；
(Ⅱ)如图1，
∵y＝﹣kx+k﹣4＝﹣k(x﹣1)﹣4…②，
联立①②并整理得：x2﹣(2﹣k)x﹣k﹣1＝0，
则xM+xN＝2﹣k，xM xN＝﹣k﹣1，
xN﹣xM＝ ＝ ；
∴当x＝1时，y＝﹣4，即该直线所过定点G坐标为(1，﹣4)，
∵y＝x2﹣2x﹣5＝(x﹣1)2﹣6，
∴点P(1，﹣6)，
△PMN的面积S＝S△PGN﹣S△PGM＝ GP(xN﹣xM)＝xN﹣xM＝ ＝3，
解得：k＝±2(舍去2)，故k＝﹣2；
(Ⅲ)抛物线的表达式为：y＝x2+bx+b2，
抛物线的对称轴为x＝﹣ ；
①当b+3≤﹣ (即b≤﹣2)时，
则x＝b+3时，函数取得最小值，
即(b+3)2+b(b+3)+b2＝21，
解得：b＝﹣4或1(舍去1)；
②当b≥﹣ (即b≥0)时，
则x＝b时，函数取得最小值，
即b2+b2+b2＝21，解得：b＝ (舍去负值)；
③当﹣2＜b＜0时，
则 ﹣ b2+b2＝21，解得：b＝±2 (舍去)；
综上，b＝﹣4或 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+16或y＝x2+ x+7.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意得， ，解得： ，即可求解；(Ⅱ)△PMN的面积S＝S△PGN﹣S△PGM＝ GP(xN﹣xM)＝xN﹣xM＝ ＝3，即可求解；(Ⅲ)分b+3≤﹣ (即b≤﹣2)、b≥﹣ (即b≥0)、﹣2＜b＜0三种情况，分别求解即可.
五、综合题
20．（2021九上·瑞安月考）某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个。已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元.
（1）求线下和网上的销售量分别是多少.
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量。调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个.
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？
【答案】（1）解：设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个
x=30
∴线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个.
（2）解：①总纯利润=34×24+34×（20-7）=1258（元）
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润
∵
∴当时，网上销售量为20+2×5=30个
有最大值
设线下的销售量m个，则
∵k=24，随着m的增大而增大
∵线下增加的销售量不超过原来线下销售量的
∴m个
∴当m=40时，有最大值
∴当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大.
【知识点】二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设线下的销售量为x个，网上的销售量为（50-x）个，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）①总利润=线下销售的纯利润+网上销售的纯利润，列出算式进行计算，即可得出答案；
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，利用利润=每个蛋糕的利润×销售量得出W网=（20-x）（20+2x），得出当网上销售量为30个时，W网有最大值，设线下的销售量m个，得出W线=24m，再求出当m=40时，W线有最大值，即可得出答案.
21．（2021九上·炎陵期末）如图，直线y1=kx+b与函数y2=的图象相交于点A(-1，6)，与x轴交于点C，且∠ACO=45°，点D是线段AC上一点.
（1）求k的值与一次函数的解析式.
（2）若直线与反比例函数的另一支交于B点，直接写出y1＜y2自变量x的取值范围，并求出△AOB的面积.
（3）若S△COD：S△AOC=2：3，求点D的坐标.
【答案】（1）解：∵反比例函数经过点A(-1，6) ，
∴k=-1×6==-6.
如图1，作AE⊥x轴，交x轴于点E，
∴E(-1，0)，EA=6，
∵∠ACO=45°，
∴CE=AE=6，
∴C(5，0) ，
∴，
∴，
∴直线y1`=-x+5；
（2）解：，
得x1=-1，x2=6，
故B(6，-1).
如图2，由图象可知，当y1＜y2时，-16 ，
S△AOB==；
（3）解：如图1，作DF⊥x轴，交x轴于点F.
∵S△COD：S△AOC=2：3，
∴DF：AE=2：3.
设点D(x，-x+5)，
即有(-x+5)：6=2：3，
∴x=1，
∴D（1，4）.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 将A（ 1，6）代入y2＝(x＜0)求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（ 1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得CE＝AE＝6，即C（5，0），然后根据待定系数法即可求一次函数解析式；
（2）将y1、y2的解析式联立解方程组可求得B点的坐标，求y1＜y2自变量x的取值范围，就是求一次函数图象在反比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，据此即可得出答案；然后根据三角形面积公式可求得△AOB的面积；
（3）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可得DF：AE＝2：3，设点D（x， x＋5）．即有（ x＋5）：6＝2：3，解方程求得x的值，则点D坐标可求解.
1 / 1第26章 二次函数----华师大版九年级下册单元试卷
一、单选题
1．（2021九上·集贤期末）抛物线顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·瑞安月考）抛物线y=-（x-1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为（ ）
A．y=-（x+1）2 B．y=-（x-3）2
C．y=-（x-1）2+2 D．y=-（x-1）2-2
3．（2021九上·芜湖月考）我们把“将抛物线向右平移2个单位或．向上平移1个单位”这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后得到的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的表达式不可能是（ ）．
A．y=x2－1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17
4．（2021九上·农安期末）由二次函数可知（ ）
A．其图象的开口向上 B．其顶点坐标为
C．其图象的对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
5．（2021九上·皇姑期末）如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0；
小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2．
下列判断正确的是（ ）．
A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错
C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
6．（2021九上·温岭期中）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，0）、（x1，0），且1A．4a-2b+c=0
B．当x< 时，y随x增大而增大
C．当x> 时，y随x增大而减小
D．a7．（2021九上·浙江期中）将二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y＝x＋b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A． 或﹣2 B． 或﹣2 C． 或﹣3 D． 或﹣3
8．（2021九上·瑶海月考）如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0；④8a+c＞0；⑤ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1．
其中正确的命题有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2021九上·温州月考）二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是 .
10．（2021九上·芜湖月考）将抛物线y=x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 ．
11．（2021九上·永吉期末）若抛物线与x轴的两个交点分别为点A和点B，则线段AB的长为 ．
12．（2021九上·密山期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是 ．
13．（2021九上·建华期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在1时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是 ．
14．（2021九上·萧山月考）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D.若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是 .
15．（2021九上·嘉兴期中）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0，②a+c＞0，③若点（﹣1，y1）和（2，y2）在该图象上，则y1＜y2，④设x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两根，若am2+bm+c＝p，则p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）。
三、作图题
16．（2021九上·下城期末）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：
①直接写出方程 的解；
②当x满足什么条件时， .
四、解答题
17．（2021九上·铁西期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+c（c是常数）的图象与x轴只有一个交点，求c的值及这个交点的坐标．
18．（2021九上·临江期末） 已知二次函数y＝x2﹣mx+2m﹣4
证明：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点
19．（2018九上·思明期中）已知二次函数y＝x2+bx+c.
(Ⅰ)若二次函数的图象经过(3，﹣2)，且对称轴为x＝1，求二次函数的解析式；
(Ⅱ)如图，在(Ⅰ)的条件下，过定点的直线y＝﹣kx+k﹣4(k≤0)与(1)中的抛物线交于点M，N，且抛物线的顶点为P，若△PMN的面积等于3，求k的值；
(Ⅲ)当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式.
五、综合题
20．（2021九上·瑞安月考）某蛋糕店有线下和网上两种销售方式，每天共销售50个。已知线下和网上销售的纯利润分别为24元/个，20元/个，每天的总纯利润为1120元.
（1）求线下和网上的销售量分别是多少.
（2）该店为了扩大业务，增加了销售量。调查发现，线下销售的每个蛋糕的纯利润保持不变；网上销售在原来的基础上每降低1元的纯利润，销售量增加2个.
①该店当天线下和网上销售量均为34个，求当天的总纯利润？
②若线下增加的销售量不超过原来线下销售量的，该店每天生产多少个蛋糕，可使当天的总纯利润最大？
21．（2021九上·炎陵期末）如图，直线y1=kx+b与函数y2=的图象相交于点A(-1，6)，与x轴交于点C，且∠ACO=45°，点D是线段AC上一点.
（1）求k的值与一次函数的解析式.
（2）若直线与反比例函数的另一支交于B点，直接写出y1＜y2自变量x的取值范围，并求出△AOB的面积.
（3）若S△COD：S△AOC=2：3，求点D的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线顶点坐标是
故答案为：B．
【分析】根据抛物线求顶点坐标即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：y=-（x-1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为y=-（x-1-2）2=-（x-3）2
故答案为：B.
【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减，得出抛物线y=-（x-1）2向右平移2个单位，平移后的抛物线的表达式为y=-（x-1-2）2，得出即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：A、y=x2-1向上平移1个单位得到y=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故A不符合题意；
B、y=x2+6x+5=（x+3）2-4无法经过两次简单变换后得到y=x2+1，故B符合题意；
C、y=x2+4x+4=（x+2）2向右平移2个单位得到y=x2，再向上平移1个单位得到y=x2+1，故C不符合题意；
D、y=x2+8x+17=（x+4）2+1向右平移2个单位得到y=（x+2）2+1，再向右平移2个单位得到y=x2+1，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平移变换规律：左加右减，上加下减，逐项进行判断，即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=-3（x+4）2-2，
∴图象开口向下，对称轴为直线x=-4，顶点是（-4，-2），
当x＞3时，y随x的增大而减小，
故答案为：C．
【分析】根据 二次函数 的图象与性质对每个选项一一判断即可。
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵点，
当时，则，整理得，
∵，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2；
当时，则，整理得，
∵，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1；
当时，则，整理得，
∵，
∴点M的个数为0；
∴小明错，小云对，小朵错
故答案为：C．
【分析】把M的坐标代入抛物线解析式，即可得出关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断。
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：A、∵图象与x轴的交点为（-2，0），∴当x=-2时，y=4a-2b+c=0，正确；
B、 ∵图象与x轴的另一个交点是（-2，0），且1-，∴当x< 时，y随x增大而增大，正确；
C、∵对称轴x大于且小于0，∴当x>-，图象的增减趋势不确定，错误；
D、∵图象的开口向下，∴a<0，∵x=-=>-，∴<1，∴b>a，∵a<0，∴对称轴x=-<0，∴b<0，∴a故答案为：C.
【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标由一个是（-2，0），则可得出4a-2b+c=0，即可判断A；根据抛物线与x轴的两个交点坐标，得出对称轴x>-，结合图象即可判断B；由于对称轴x大于且小于0，则可得出图象的增减趋势不确定，即可判断C；根据图象开口得出a<0，结合对称轴的位置得出b>a，b<0，从而得出a7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象的几何变换；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线y＝﹣x2＋2x＋3的顶点坐标为 ，
当y=0时， ，解得 ，
则抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴的交点为 ， ，
把抛物线y＝﹣x2＋2x＋3图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 ，顶点坐标为 ，
如图，当直线 过点B时，直线 与该图象恰好有三个公共点，
∴ ，解得： ；
当直线 与抛物线 相切时，直线 与该图象恰好有三个公共点，即 有相等的实数解，整理得： ，
，解得 ，
∴b的值为-3或 .
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得顶点坐标，令y=0，求出x，得A（-1，0）、B（3，0），求出抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方时对应的函数解析式，画出对应的图象，由图象可知：当直线过点B或与抛物线相切时，两者有3个交点，据此求解.
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵开口向上，∴a＞0，对称轴在y轴的左侧，b＞0，抛物线与y轴交于负半轴，c＜0，∴abc＜0，∴①符合题意；
② =﹣1，b=2a，②不符合题意；
③当x=1时，y=0，∴a+b+c=0，③符合题意；
④当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，∴8a+c＞0，④符合题意；
⑤∵对称轴为x=﹣1，抛物线与x轴的交点坐标分别为（﹣3，0），（1，0），∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1，⑤符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断得到答案即可。
9．【答案】（0，3）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：由题意可令x=0，则有y=3，
∴二次函数y＝x2﹣2x+3图象与y轴的交点坐标是（0，3）；
故答案为：（0，3）.
【分析】令x=0，求出y的值，据此可得二次函数图象与y轴的交点坐标.
10．【答案】y=－x2－1
【知识点】二次函数图象的几何变换；轴对称的性质
【解析】【解答】解：根据题意，得翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，
∴ 新抛物线的解析式为y=-x2-1.
【分析】根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数，得出翻折后抛物线的解析式的解析式为-y=x2+1，即可得出答案.
11．【答案】4
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当y＝0时，＝0，
解得：x＝5或1，
∴点A（5，0）和点B（1，0），
∴线段AB的长＝5-1＝4．
故答案为：4．
【分析】先求出x＝5或1，再求出点A（5，0）和点B（1，0），最后计算求解即可。
12．【答案】1<3
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象得：对称轴是直线x=1，其中一个点的坐标为（3，0）
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（-1，0）
利用图象可知：
ax2+bx+c>0的解集即是y>0的解集，
∴-1＜x＜3；
故填：-1＜x＜3．
【分析】结合函数图象，根据函数值大的图象在上方的原则求解即可。
13．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2．
故答案为：．
【分析】先求出-3=4a，再求出a=-，最后计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y＝﹣x2+4x﹣3＝0，
即x2﹣4x-3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0）.
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣（x﹣4）2+1，
当y＝x+m与C2相切时，
令y＝x+m＝y＝﹣（x﹣4）2+1，
即x2﹣7x+15+m＝0，△＝72﹣5×（15+m）＝0，
解得 ，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m，m＝﹣3，
当 时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点.
故答案为： .
【分析】先求出点A、B坐标，然后求出C2解析式，分别求出y＝x+m与C2相切时的m值及y＝x+m2过点B时m值，结合图形即可求解.
15．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵对称轴x=-=1，∴b=-2a>0，∵图象与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，故 ① 错误；当x=1+时，y=a(1+)2-2a(1+)+c=a+c，∵当x=1+时，不能确定y的值，即不能确定a+c的值，故 ② 错误；观察图象可知，离对称轴越远，函数值越小，∵-1到1的距离大于2到1的距离，∴y1＜y2， 故 ③ 正确；设x10，m-x1≥0，m-x2<0，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0 ，若m≥x2，则p<0，m-x1>0，m-x2≥0，∴p（m﹣x1）（m﹣x2）≤0 ，故 ④ 正确；
综上，正确是 ③④ .
故答案为 ③④ .
【分析】 ① 根据抛物线的开口方向判断a的符号，结合对称轴x=1判断b的符号，根据图象与y轴的交点在x轴位置判断c的符号，从而可判abc的符号； ② 当x=1+时，y=a+c，由于当x=1+时，不能确定y的值，即不能确定a+c的值； ③观察图象可知，离对称轴越远，函数值越小，再比较-1到1的距离与2到1的距离的大小，即可作答； ④ 设x116．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点 ，
∴将点 代入的解析式为 ，
得 ，
解得： .
∴抛物线的解析式为： 即： .
（2）解：函数的图象如下图所示：
①方程 ，即：在函数 中y=-3时， ， .
所以方程 的解是 ， ；
②当 时，即函数图象在x轴上面的图象，此时对应自变量的范围： 或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）把点（2，-3）代入二次函数式进行求解即可；
（2） ① 由（1）及图象直接求解即可； ②根据图象，找出图象 时的部分，读出此时x的范围即可.
17．【答案】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（2，0）．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】将抛物线与x轴的交点个数问题转换为一元二次方程根的判别式求解即可。
18．【答案】证明：∵△＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2≥0
∴无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点。
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】令y=0得出一元二次方程x2-mx+2m-4=0，求出根的判别式△≥0，得出方程有实数根，即可证出该函数图象与x轴总有交点.
19．【答案】解：(Ⅰ)根据题意得， ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣5…①；
(Ⅱ)如图1，
∵y＝﹣kx+k﹣4＝﹣k(x﹣1)﹣4…②，
联立①②并整理得：x2﹣(2﹣k)x﹣k﹣1＝0，
则xM+xN＝2﹣k，xM xN＝﹣k﹣1，
xN﹣xM＝ ＝ ；
∴当x＝1时，y＝﹣4，即该直线所过定点G坐标为(1，﹣4)，
∵y＝x2﹣2x﹣5＝(x﹣1)2﹣6，
∴点P(1，﹣6)，
△PMN的面积S＝S△PGN﹣S△PGM＝ GP(xN﹣xM)＝xN﹣xM＝ ＝3，
解得：k＝±2(舍去2)，故k＝﹣2；
(Ⅲ)抛物线的表达式为：y＝x2+bx+b2，
抛物线的对称轴为x＝﹣ ；
①当b+3≤﹣ (即b≤﹣2)时，
则x＝b+3时，函数取得最小值，
即(b+3)2+b(b+3)+b2＝21，
解得：b＝﹣4或1(舍去1)；
②当b≥﹣ (即b≥0)时，
则x＝b时，函数取得最小值，
即b2+b2+b2＝21，解得：b＝ (舍去负值)；
③当﹣2＜b＜0时，
则 ﹣ b2+b2＝21，解得：b＝±2 (舍去)；
综上，b＝﹣4或 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+16或y＝x2+ x+7.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意得， ，解得： ，即可求解；(Ⅱ)△PMN的面积S＝S△PGN﹣S△PGM＝ GP(xN﹣xM)＝xN﹣xM＝ ＝3，即可求解；(Ⅲ)分b+3≤﹣ (即b≤﹣2)、b≥﹣ (即b≥0)、﹣2＜b＜0三种情况，分别求解即可.
20．【答案】（1）解：设线下的销售量为x个，则网上的销售量为（50-x）个
x=30
∴线下的销售量为30个，则网上的销售量为20个.
（2）解：①总纯利润=34×24+34×（20-7）=1258（元）
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润
∵
∴当时，网上销售量为20+2×5=30个
有最大值
设线下的销售量m个，则
∵k=24，随着m的增大而增大
∵线下增加的销售量不超过原来线下销售量的
∴m个
∴当m=40时，有最大值
∴当每天生产40+30=70个蛋糕时，当天总利润最大.
【知识点】二次函数的最值；一元一次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设线下的销售量为x个，网上的销售量为（50-x）个，根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案；
（2）①总利润=线下销售的纯利润+网上销售的纯利润，列出算式进行计算，即可得出答案；
②设网上销售在原来的基础上降低x元的纯利润，利用利润=每个蛋糕的利润×销售量得出W网=（20-x）（20+2x），得出当网上销售量为30个时，W网有最大值，设线下的销售量m个，得出W线=24m，再求出当m=40时，W线有最大值，即可得出答案.
21．【答案】（1）解：∵反比例函数经过点A(-1，6) ，
∴k=-1×6==-6.
如图1，作AE⊥x轴，交x轴于点E，
∴E(-1，0)，EA=6，
∵∠ACO=45°，
∴CE=AE=6，
∴C(5，0) ，
∴，
∴，
∴直线y1`=-x+5；
（2）解：，
得x1=-1，x2=6，
故B(6，-1).
如图2，由图象可知，当y1＜y2时，-16 ，
S△AOB==；
（3）解：如图1，作DF⊥x轴，交x轴于点F.
∵S△COD：S△AOC=2：3，
∴DF：AE=2：3.
设点D(x，-x+5)，
即有(-x+5)：6=2：3，
∴x=1，
∴D（1，4）.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 将A（ 1，6）代入y2＝(x＜0)求出k的值，作AE⊥x轴，交x轴于点E．则E（ 1，0），EA＝6，根据等腰直角三角形的性质得CE＝AE＝6，即C（5，0），然后根据待定系数法即可求一次函数解析式；
（2）将y1、y2的解析式联立解方程组可求得B点的坐标，求y1＜y2自变量x的取值范围，就是求一次函数图象在反比例函数图象下方部分相应的自变量的取值范围，据此即可得出答案；然后根据三角形面积公式可求得△AOB的面积；
（3）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，由△ODC与△OAC的面积比为2：3，可得DF：AE＝2：3，设点D（x， x＋5）．即有（ x＋5）：6＝2：3，解方程求得x的值，则点D坐标可求解.
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