27.1.3 圆周角----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·湖州月考）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角的依据是： 直径所对的圆周角是直角.
故答案为：B.
【分析】由AB是直径，根据圆周角定理可知直径所对的圆周角是直角，即可判定∠ACB是直角.
2．（2021九上·芜湖月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=36°，那么∠BAD等于（ ）．
A．36° B．44° C．54° D．56°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD=36°，
∴∠BAD=90°-36°=54°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理得出∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD=36°，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠BAD=54°.
3．（2021九上·德州期中）如图所示，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是圆的直径，
∴EF= ．
故答案为：B．
【分析】连接EF，再来勾股定理即可求出EF的长。
4．（2021九上·阳信期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项 中的角是圆周角．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角的定义逐项判断即可。
5．（2021九上·阳信期中）如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝82°，则∠C的度数为（ ）
A．82° B．38° C．24° D．41°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
6．（2021九上·安吉期末）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、等弧所对的圆周角相等，故A符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意；
D、过弦的中点且垂直于弦的直线必过圆心，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用圆周角定理可对A，C作出判断；再利用垂径定理的推论可对B，D作出判断.
7．（2021九上·吉林期末）如图，四边形内接于，为的直径，.若，则的大小是（ ）
A．55° B．70° C．110° D．140°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴.
∴为的直径，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
故答案为：C.
【分析】先利用弧与圆周角的关系可得，再利用圆内接四边形的性质可得∠DCB=140°，再求出，最后利用三角形的内角和求出即可。
8．（2021九上·温州月考）如图，点C，D是劣弧 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰梯形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD，
∴ ，
∴AC=BD，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6，CD=2，
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4，
在
∴
在 ，
∴ ，
根据圆周角的性质可知 ，
在 ，
∴ ，
∵BO＞0，
∴BO= .
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，由二直线平行，内错角相等可得∠ECD=∠CEA=90°，推出四边形CDFE是矩形，则EF=CD=2，根据弧、弦的关系可得AC=BD，推出四边形ABDC是等腰梯形，则AE=BF=2，BE=BF+EF=4，易得CE=AE=2，由勾股定理求出BC，根据圆周角定理可知 ∠COB=90°，然后在Rt△BOC中，由勾股定理就可求出BO.
二、填空题
9．（2021九上·南宁期中）如图，BC是 的弦，AD过圆心O，且 .若 ，则 的度数为 .
【答案】20°
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
， ，
故答案为：20°.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB=50°，根据直角三角形的两锐角互余得∠BOD=40°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解.
10．（2021·广元）如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 上，点E是线段 与 的交点.则 的正切值为 .
【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ ，
故答案为 .
【分析】根据圆周角定理可得∠BAE=∠BDC，再Rt△DBC中，由正切函数定义可得结果.
11．（2021九上·永吉期末）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=35°，则∠BDC的大小为 ．
【答案】35°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∠DAC=35°，
故答案为：
【分析】先求出再根据BC=CD计算求解即可。
12．（2021九上·集贤期末）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点D在圆上，且，则的半径为 ．
【答案】5cm
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5cm；
故答案为5cm．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
13．（2021九上·宁波期中）如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴OM＝ OE，
∴EM＝ OM＝ OE，
∴EF＝ OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
∵D是线段BC上的一个动点，AD为直径，
∴当AD垂直BC时，AD的值最小，
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠ABH＝45°，
∴AH＝ AB＝ ×4＝2 ，
即AD的最小值为2 ，
∴OE的最小值为 ，
∴EF的最小值为 × ＝ .
故答案为： .
【分析】连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，求出EF＝ OE，当OE的值最小时，EF的值最小，由于D是线段BC上的一个动点，AD为直径，可知当AD垂直BC时，AD的值最小，求出此时AD的长，即可求解.
三、解答题
14．（2021九上·虎林期末）如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数．
【答案】解：如图，连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接BD，先根据圆周角的性质求出∠D=∠C=50°，再利用三角形的内角和可得∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
15．（2020九上·红桥期末）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【答案】解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠CAB＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用圆心角、弧、弦的关系可得DC=BD，在等腰直角△BDC中利用勾股定理求出BD、CD即可；
（2）连接OB，OD，证明△OBD是等边三角形，从而得出BD＝OB＝OD=5．
1 / 127.1.3 圆周角----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·湖州月考）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（ ）
A．勾股定理 B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理 D．90°的圆周角所对的弦是直径
2．（2021九上·芜湖月考）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=36°，那么∠BAD等于（ ）．
A．36° B．44° C．54° D．56°
3．（2021九上·德州期中）如图所示，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（ ）
A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位
4．（2021九上·阳信期中）下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·阳信期中）如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝82°，则∠C的度数为（ ）
A．82° B．38° C．24° D．41°
6．（2021九上·安吉期末）下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆周角相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．过弦的中点的直线必过圆心
7．（2021九上·吉林期末）如图，四边形内接于，为的直径，.若，则的大小是（ ）
A．55° B．70° C．110° D．140°
8．（2021九上·温州月考）如图，点C，D是劣弧 上两点，CD∥AB，∠CAB＝45°，若AB＝6，CD＝2，则 所在圆的半径长为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
9．（2021九上·南宁期中）如图，BC是 的弦，AD过圆心O，且 .若 ，则 的度数为 .
10．（2021·广元）如图，在 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 上，点E是线段 与 的交点.则 的正切值为 .
11．（2021九上·永吉期末）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=35°，则∠BDC的大小为 ．
12．（2021九上·集贤期末）如图，在中，是直径，弦的长为5cm，点D在圆上，且，则的半径为 ．
13．（2021九上·宁波期中）如图，△ABC中，AB＝4，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则EF的最小值为 .
三、解答题
14．（2021九上·虎林期末）如图，是的外接圆⊙O的直径，若∠ACB=50°，求∠BAD的度数．
15．（2020九上·红桥期末）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB是直角的依据是： 直径所对的圆周角是直角.
故答案为：B.
【分析】由AB是直径，根据圆周角定理可知直径所对的圆周角是直角，即可判定∠ACB是直角.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠ACD=36°，
∴∠BAD=90°-36°=54°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理得出∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD=36°，再根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠BAD=54°.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接EF，
∵OE⊥OF，
∴EF是圆的直径，
∴EF= ．
故答案为：B．
【分析】连接EF，再来勾股定理即可求出EF的长。
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项 中的角是圆周角．
故答案为：A．
【分析】根据圆周角的定义逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：D．
【分析】根据圆周角的性质：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可。
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：A、等弧所对的圆周角相等，故A符合题意；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故B不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C不符合题意；
D、过弦的中点且垂直于弦的直线必过圆心，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用圆周角定理可对A，C作出判断；再利用垂径定理的推论可对B，D作出判断.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴.
∴为的直径，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
故答案为：C.
【分析】先利用弧与圆周角的关系可得，再利用圆内接四边形的性质可得∠DCB=140°，再求出，最后利用三角形的内角和求出即可。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰梯形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，如图：
则
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠CEA=90°，
∴∠CEF=∠DCE=∠DFE=90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF=CD=2，
∴CD∥AB，
∴∠ABC=∠BCD，
∴ ，
∴AC=BD，
又∵CD∥AB，
∴四边形ABDC是等腰梯形，
∵AB=6，CD=2，
根据等腰梯形的对称性可知：
∴BE=BF+EF=2+2=4，
在
∴
在 ，
∴ ，
根据圆周角的性质可知 ，
在 ，
∴ ，
∵BO＞0，
∴BO= .
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，连接BC，由二直线平行，内错角相等可得∠ECD=∠CEA=90°，推出四边形CDFE是矩形，则EF=CD=2，根据弧、弦的关系可得AC=BD，推出四边形ABDC是等腰梯形，则AE=BF=2，BE=BF+EF=4，易得CE=AE=2，由勾股定理求出BC，根据圆周角定理可知 ∠COB=90°，然后在Rt△BOC中，由勾股定理就可求出BO.
9．【答案】20°
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接
， ，
故答案为：20°.
【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB=50°，根据直角三角形的两锐角互余得∠BOD=40°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行求解.
10．【答案】
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，
∵∠BAE=∠BDC，
∴ ，
故答案为 .
【分析】根据圆周角定理可得∠BAE=∠BDC，再Rt△DBC中，由正切函数定义可得结果.
11．【答案】35°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解： ∠DAC=35°，
故答案为：
【分析】先求出再根据BC=CD计算求解即可。
12．【答案】5cm
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为5cm；
故答案为5cm．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
13．【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，
∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠EOF＝2∠EAF＝120°，
∵OE＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝30°，
∴OM＝ OE，
∴EM＝ OM＝ OE，
∴EF＝ OE，
当OE的值最小时，EF的值最小，
∵D是线段BC上的一个动点，AD为直径，
∴当AD垂直BC时，AD的值最小，
过A点作AH⊥BC于H，
∵∠ABH＝45°，
∴AH＝ AB＝ ×4＝2 ，
即AD的最小值为2 ，
∴OE的最小值为 ，
∴EF的最小值为 × ＝ .
故答案为： .
【分析】连接OE、OF，过O点作OM⊥EF，如图，则EM＝FM，求出EF＝ OE，当OE的值最小时，EF的值最小，由于D是线段BC上的一个动点，AD为直径，可知当AD垂直BC时，AD的值最小，求出此时AD的长，即可求解.
14．【答案】解：如图，连接BD，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C=50°，
∴∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【分析】连接BD，先根据圆周角的性质求出∠D=∠C=50°，再利用三角形的内角和可得∠BAD=90°-∠D=90°-50°=40°．
15．【答案】解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）利用圆周角定理可得∠CAB＝∠BDC＝90°，利用勾股定理求出AC的长，再利用圆心角、弧、弦的关系可得DC=BD，在等腰直角△BDC中利用勾股定理求出BD、CD即可；
（2）连接OB，OD，证明△OBD是等边三角形，从而得出BD＝OB＝OD=5．
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