27.1.2 圆的对称性----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·拱墅期中）下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．相等的弧所对的弦相等
2．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
3．（2021·凉山）点P是 内一点，过点P的最长弦的长为 ，最短弦的长为 ，则OP的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·许昌模拟）在 中，直径 ，弦 于点 ，若 ，则 的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．（2021·拱墅模拟）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A． m B． m C．5m D． m
6．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2021九上·虎林期末）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=6，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
8．（2021九上·平原月考）如图， MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021九上·杭州期末）如图， 是 的弦（非直径），点C是弦 上的动点（不与点A，B重合），过点C作垂直于 的弦 .若设 的半径为r，弦 的长为a， ，则弦 的长（ ）
A．与r，a，m的值均有关 B．只与r，a的值有关
C．只与r，m的值有关 D．只与a，m的值有关
10．（2021九上·河南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·灌云月考）如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，则AC BD（填“＞”“＜”或“=”）
12．（2021九上·磐石期中）如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= cm．
13．（2021九上·凯里期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是 填序号.
14．（2021九上·北京月考）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕 的长为 cm．
15．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
16．（2021九上·瑞安月考）如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树。在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得∠1=∠2=∠3，EO=16米，OK=24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP=15米，BP⊥m，则该圆的半径长为 米.
三、作图题
17．（2020·乐平模拟）请仅用无刻度的直尺，根据条件完成下列画图．
（1）如图1， 内接于 ， ，画出线段 的垂直平分线．
（2）如图2， 内接于 ， ， 、 分别为 和 的中点，画出线段 的垂直平分线．
四、解答题
18．（2021九上·德州期中）如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．
19．（2021九上·芜湖月考）如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、如图，
弦AB平分直径CD，但是弦AB和直径CD不垂直，
即平分弦（弦不是直径）的直径必垂直于弦，故本选项不符合题意；
B、如图，
弦AB＝BC，但是弦AB对的劣弧AB和弦BC对的优弧BC不相等，故本选项不符合题意；
C、如图，
在两个圆中，圆心角∠COD和圆心角∠AOB相等，但是对的弧AB和弧CD不相等，故本选项不符合题意；
D、等弧所对的弦相等，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】平分弦（弦不是直径）的直径必垂直于弦，据此判断A；根据弧分为优弧、劣弧可判断B；根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等可判断C；等弧所对的弦相等，据此判断D.
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
3．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P.
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm.
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=3cm.
根据勾股定理，得OP= =4cm.
故答案为：B.
【分析】CD⊥AB于点P，由垂径定理得CP=CD，在直角三角形OCP中，用勾股定理可求解.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： ，
，
又 ，
，
在 中，
，
又 为半径且 ，
，
的周长为： ，
故答案为：D.
【分析】根据题意求出OC的长，再根据勾股定理求出DC的长，根据垂径定理求出DE的长，再利用△ODE的周长=OD+OE+DE，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝ （m），
即这个轮子的半径长为 m，
故答案为：D.
【分析】连接OB，利用垂径定理可求出BD的长，再利用勾股定理可求出OB的长.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
∵OB=5，BM= ，
∴OM=
∵AB=CD=6，
∴ON=OM=4，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=4．
故答案为：D．
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，先利用勾股定理求得OM的长，再判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长。
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点C，则点C在圆O上，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB=∠BON=40°，
根据垂径定理得，
∴∠CON=∠BON=40°，
∴∠AOC=120°，
∵MN=2，
∴OA=OC=1，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
过点O作OG⊥AC于点G，
∴AG=CG，OG=OA=，
∴AG=CG=，
∴AC=．
故答案为：B．
【分析】先求出AG=CG，OG=OA=，再利用勾股定理计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD、BE，
∵DE为 的弦， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故DE的长只与a和m的值有关.
故答案为：D.
【分析】连接AD、BE，先得到，进而得到，即可判断.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
【分析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，易证四边形OEAG是矩形，利用矩形的性质可证得OG＝EA，利用垂径定理求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长；再利用三角形的面积公式可求出AE的长，由此可求出OG的长；再利用勾股定理可求出AG的长，然后利用垂径定理可求出AD的长.
11．【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC=BD，
故答案为：=.
【分析】根据得出，即可得出AC=BD.
12．【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，
∴OA=OC=10cm，AD= AB= ×12=6cm，
∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，
∴OD= cm，
∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．
故答案为2．
【分析】在直角三角形AOD中利用勾股定理求出OD的值，然后利用CD=OC﹣OD即可求解。
13．【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据等量减去等量差相等得 = ，根据等弧所对的弦相等可得AB=CD，AC=BD，由等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，据此判断.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD= OA=1cm，
再根据勾股定理得：AD= cm，
根据垂径定理得：AB=2 cm．
故答案为： ．
【分析】先求出OD=1，再利用勾股定理和垂径定理求解即可。
15．【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，交于点F，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：=
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥n与点F，连接OC交AB于点D，连接OA，
∵m⊥n，PB⊥m，
∴PB∥n，
∵∠1=∠2，
∴BE∥QA，
∴AB=EQ=16，
∵∠2=∠3，PA∥n，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴O，C，F三点共线，AD=AB=8，
∴四边形BPEF是矩形，
∴DF=EP=15，
∵PA∥n，
∴△ABC∽△QKC，
∴，
∵CD+CF=15，
∴CD=6，
∴OD=OC-CD=OA-6，
∵OD2+AD2=OA2，
∴（OA-6）2+82=OA2，
∴OA=，
∴该圆的半径长为.
【分析】过点C作CF⊥n与点F，连接OC交AB于点D，连接OA，先证出四边形BPEF是矩形，得出DF=EP=15，再证出△ABC∽△QKC，得出，从而得出CD=6，再根据勾股定理得出（OA-6）2+82=OA2，解方程求出OA的长，即可得出该圆的半径.
17．【答案】（1）解：如图1，直线 即为所求作的直线．
（2）解：如图2，直线 即为所求作的直线．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及圆的垂径定理的性质，过AO的直线即是BC的垂直平分线；（2）连接OD、OE与AB、AC的交点G、H分别是AB、AC的中点，利用三角形的三条中线交于一点，连接CG、BH，交于点N，连接AN角交BC于一点F即为BC的中点，再作过O、F的直线即是BC的垂直平分线.
18．【答案】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，
在Rt△AOD中，r2=202+（r﹣10）2，
解得r=25，
∴OD=r﹣10=15，
在Rt△OEG中，r2=152+OG2，
解得OG=20，
∴可以通过的船的高度为GD=OG﹣OD=20﹣15=5，
∵6＞5，
∴船不能通过．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】先恢复弧形桥所在的圆 ，求出圆的半径，再根据船的宽度求出 可以通过的船的高度 ，即可判断能否通过。
19．【答案】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD.
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2.
根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2
解得DE=
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，根据垂径定理得出DE＝BE，得出CE＝DE-2，根据勾股定理得出AD2-DE2＝AC2-CE2，得出DE的长，利用CD＝DE+CE＝2DE-2，即可得出答案.
1 / 127.1.2 圆的对称性----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·拱墅期中）下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．相等的弧所对的弦相等
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、如图，
弦AB平分直径CD，但是弦AB和直径CD不垂直，
即平分弦（弦不是直径）的直径必垂直于弦，故本选项不符合题意；
B、如图，
弦AB＝BC，但是弦AB对的劣弧AB和弦BC对的优弧BC不相等，故本选项不符合题意；
C、如图，
在两个圆中，圆心角∠COD和圆心角∠AOB相等，但是对的弧AB和弧CD不相等，故本选项不符合题意；
D、等弧所对的弦相等，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】平分弦（弦不是直径）的直径必垂直于弦，据此判断A；根据弧分为优弧、劣弧可判断B；根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等可判断C；等弧所对的弦相等，据此判断D.
2．（2021九上·阳信期中）已知 是半径为6的圆的一条弦，则 的长不可能是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵圆的半径为6，
∴直径为12，
∵AB是一条弦，
∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，
故答案为：D．
【分析】根据直径是圆中最长的弦可求出答案。
3．（2021·凉山）点P是 内一点，过点P的最长弦的长为 ，最短弦的长为 ，则OP的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P.
根据题意，得
AB=10cm，CD=6cm.
∴OC=5，CP=3
∵CD⊥AB，
∴CP= CD=3cm.
根据勾股定理，得OP= =4cm.
故答案为：B.
【分析】CD⊥AB于点P，由垂径定理得CP=CD，在直角三角形OCP中，用勾股定理可求解.
4．（2021·许昌模拟）在 中，直径 ，弦 于点 ，若 ，则 的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解： ，
，
又 ，
，
在 中，
，
又 为半径且 ，
，
的周长为： ，
故答案为：D.
【分析】根据题意求出OC的长，再根据勾股定理求出DC的长，根据垂径定理求出DE的长，再利用△ODE的周长=OD+OE+DE，即可得出答案.
5．（2021·拱墅模拟）如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4m，高CD为1m，则这个轮子的半径长为（ ）
A． m B． m C．5m D． m
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图所示：
由题意得：OC⊥AB，
∴AD＝BD＝ AB＝2（m），
在Rt△OBD中，根据勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即（OB﹣1）2+22＝OB2，
解得：OB＝ （m），
即这个轮子的半径长为 m，
故答案为：D.
【分析】连接OB，利用垂径定理可求出BD的长，再利用勾股定理可求出OB的长.
6．（2021九上·安吉期末）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△ABC中，
解之：BC=3，
∴
∵
∴3×4=5CE
解之：CE=.
∴
∴BD=2BE=
∴.
故答案为：B.
【分析】连接CD，过点C作CE⊥AB于点E，利用解直角三角形求出BC的长，利用勾股定理求出AB的长；再利用三角形的面积公式求出CE的长；然后利用勾股定理求出BE的长，根据BD=2BE可求出BD的长；然后根据AD=AB-BD，代入计算求出AD的长.
7．（2021九上·虎林期末）如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=6，则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，
∵OB=5，BM= ，
∴OM=
∵AB=CD=6，
∴ON=OM=4，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=4．
故答案为：D．
【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，先利用勾股定理求得OM的长，再判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长。
8．（2021九上·平原月考）如图， MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作点B关于MN的对称点C，则点C在圆O上，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB=∠BON=40°，
根据垂径定理得，
∴∠CON=∠BON=40°，
∴∠AOC=120°，
∵MN=2，
∴OA=OC=1，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
过点O作OG⊥AC于点G，
∴AG=CG，OG=OA=，
∴AG=CG=，
∴AC=．
故答案为：B．
【分析】先求出AG=CG，OG=OA=，再利用勾股定理计算求解即可。
9．（2021九上·杭州期末）如图， 是 的弦（非直径），点C是弦 上的动点（不与点A，B重合），过点C作垂直于 的弦 .若设 的半径为r，弦 的长为a， ，则弦 的长（ ）
A．与r，a，m的值均有关 B．只与r，a的值有关
C．只与r，m的值有关 D．只与a，m的值有关
【答案】D
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD、BE，
∵DE为 的弦， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故DE的长只与a和m的值有关.
故答案为：D.
【分析】连接AD、BE，先得到，进而得到，即可判断.
10．（2021九上·河南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
【分析】作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，则EA∥OG，易证四边形OEAG是矩形，利用矩形的性质可证得OG＝EA，利用垂径定理求出CF的长，利用勾股定理求出OF的长；再利用三角形的面积公式可求出AE的长，由此可求出OG的长；再利用勾股定理可求出AG的长，然后利用垂径定理可求出AD的长.
二、填空题
11．（2021九上·灌云月考）如图，点A、B、C、D在⊙O上， ，则AC BD（填“＞”“＜”或“=”）
【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC=BD，
故答案为：=.
【分析】根据得出，即可得出AC=BD.
12．（2021九上·磐石期中）如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD= cm．
【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D，
∴OA=OC=10cm，AD= AB= ×12=6cm，
∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm，
∴OD= cm，
∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm．
故答案为2．
【分析】在直角三角形AOD中利用勾股定理求出OD的值，然后利用CD=OC﹣OD即可求解。
13．（2021九上·凯里期中）如图，在⊙O中， = ，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④ = ，正确的是 填序号.
【答案】①②③④
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵在⊙O中， = ，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ = ，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据等量减去等量差相等得 = ，根据等弧所对的弦相等可得AB=CD，AC=BD，由等弧所对的圆心角相等可得∠AOC=∠BOD，据此判断.
14．（2021九上·北京月考）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕 的长为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．
根据题意得：OD= OA=1cm，
再根据勾股定理得：AD= cm，
根据垂径定理得：AB=2 cm．
故答案为： ．
【分析】先求出OD=1，再利用勾股定理和垂径定理求解即可。
15．（2021九上·芜湖月考）如图，在⊙O中，=2，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，过点O作于点E，交于点F，
，
AD⊥OC，
即
故答案为：=
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．（2021九上·瑞安月考）如图所示，草坪边上有互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树。在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得∠1=∠2=∠3，EO=16米，OK=24米；从E点沿着小路m往上走，测得EP=15米，BP⊥m，则该圆的半径长为 米.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥n与点F，连接OC交AB于点D，连接OA，
∵m⊥n，PB⊥m，
∴PB∥n，
∵∠1=∠2，
∴BE∥QA，
∴AB=EQ=16，
∵∠2=∠3，PA∥n，
∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC，
∴OC⊥AB，
∴O，C，F三点共线，AD=AB=8，
∴四边形BPEF是矩形，
∴DF=EP=15，
∵PA∥n，
∴△ABC∽△QKC，
∴，
∵CD+CF=15，
∴CD=6，
∴OD=OC-CD=OA-6，
∵OD2+AD2=OA2，
∴（OA-6）2+82=OA2，
∴OA=，
∴该圆的半径长为.
【分析】过点C作CF⊥n与点F，连接OC交AB于点D，连接OA，先证出四边形BPEF是矩形，得出DF=EP=15，再证出△ABC∽△QKC，得出，从而得出CD=6，再根据勾股定理得出（OA-6）2+82=OA2，解方程求出OA的长，即可得出该圆的半径.
三、作图题
17．（2020·乐平模拟）请仅用无刻度的直尺，根据条件完成下列画图．
（1）如图1， 内接于 ， ，画出线段 的垂直平分线．
（2）如图2， 内接于 ， ， 、 分别为 和 的中点，画出线段 的垂直平分线．
【答案】（1）解：如图1，直线 即为所求作的直线．
（2）解：如图2，直线 即为所求作的直线．
【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质及圆的垂径定理的性质，过AO的直线即是BC的垂直平分线；（2）连接OD、OE与AB、AC的交点G、H分别是AB、AC的中点，利用三角形的三条中线交于一点，连接CG、BH，交于点N，连接AN角交BC于一点F即为BC的中点，再作过O、F的直线即是BC的垂直平分线.
四、解答题
18．（2021九上·德州期中）如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，宽度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．
【答案】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，
在Rt△AOD中，r2=202+（r﹣10）2，
解得r=25，
∴OD=r﹣10=15，
在Rt△OEG中，r2=152+OG2，
解得OG=20，
∴可以通过的船的高度为GD=OG﹣OD=20﹣15=5，
∵6＞5，
∴船不能通过．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】先恢复弧形桥所在的圆 ，求出圆的半径，再根据船的宽度求出 可以通过的船的高度 ，即可判断能否通过。
19．（2021九上·芜湖月考）如图，在△ABC中AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心，AB为半径作⊙A，延长BC交⊙A于点D，试求CD的长．
【答案】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD.
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2.
根据勾股定理，得AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2
解得DE=
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2=
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】 过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，根据垂径定理得出DE＝BE，得出CE＝DE-2，根据勾股定理得出AD2-DE2＝AC2-CE2，得出DE的长，利用CD＝DE+CE＝2DE-2，即可得出答案.
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