27.1 圆的认识----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·东光期中）下列图形中， 为圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021九上·鹿城期中）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
3．（2021九上·宁波月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
4．（2021九上·克东期末）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
5．（2021九上·龙江期末）如图，是的直径，C、D是上两点， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·嘉祥月考）如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．（2021九上·东昌府期中）如图， 是半圆 的直径， ， 是 上两点，连接 ， 并延长交于点 ，连接 ， ，如果 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·平阳期中）如图，AB为半圆O的直径，CD= AB= ，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2021九上·杭州期中）如图，已知在半径为10的⊙O中，弦AB＝16，OC⊥AB，则OC的长为 .
10．（2021九上·长沙期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为 .
11．（2021九上·无锡期中）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °.
12．（2021九上·虎林期末）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 度．
13．（2021九上·临江期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AC＝6，则CD的长为
14．（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为
米.
15．（2021九上·温州月考）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2 m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为 m.
三、解答题
16．（2021九上·新化期末）如图，的三个顶点都在⊙O上，直径，.求的长.
17．（2021九上·北仑期中）已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
18．（2020九下·黄石月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE2＝FG FD.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 根据圆心角的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴ 的度数为50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC＝50°，据此可得的度数.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，则OA=10cm，
∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm，
∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得
OD= cm，
∵OC=10cm，
∴CD=OC-OD=4cm.
故答案为：C.
【分析】连接OA，则OA=10cm，根据垂径定理可得AD=BD=8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理可得OD，然后根据CD=OC-OD进行计算.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABD=58°，继而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠A=32°，再计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用邻补角求出∠BOC，再根据圆周角的性质可得。
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】先求出，再计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故答案为：C．
【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ADC=90°，再由圆周角定理得出∠DOE的度数。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AC、BF、OE、OF，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CDE=∠ABC，
∵∠CED∽∠AEB，
∴，
设CE=k，AE=2k，AC=k，
∴CB=2k，
∵O为AB的中点，E为BC的中点，
∴OE=AC==k，
在Rt△OEB中，
∵OE2+BE2=OB2，即k2+k2=7，
解得k=2，
∴OE=，
∵F为弧AC的中点，
∵∠FBA=∠FBC，OB=OF=，
∵∠OFB=∠OBF，
∴∠AOF=∠OFB+∠OBF=∠ABC=2∠OBF，
∴OF∥BC，
∴∠FOE=90°，
在Rt△OFE中，
∵EF2=OE2+OF2，
∴EF2=7+3=10，
∴EF=.
故答案为：C.
【分析】连接AC、BF、OE、OF，先证明∠CED∽∠AEB，列比例式得出，设CE=k，在Rt△ACE中，根据勾股定理求出AC=k，然后把有关线段用k表示，在Rt△OEB中，根据勾股定理列式求出k=，则可求出OE长，易求OF长，在Rt△OFE中，根据等腰三角形的性质和圆周角定理求出OF∥BC，则可得出∠EOF为直角，最后在Rt△OFE中，根据勾股定理求出EF长即可.
9．【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×16＝8，
在Rt△AOC中，OC＝ ＝ ＝6.
故答案为：6.
【分析】由垂径定理可得AC＝BC＝AB＝8，然后在Rt△AOC中，应用勾股定理求解即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝ CD＝ ×6＝3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝ ，
∴⊙O的半径为 .
故答案为： .
【分析】连接OC，由垂径定理可得CE＝DE=3，设⊙O的半径为xcm，则OC＝x，OE＝x-2，在Rt△OCE中，应用勾股定理求出x，进而可得⊙O的半径.
11．【答案】58
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°.
故答案为：58.
【分析】连接OB，易得△AOB是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=32°，根据内角和定理求出∠AOB的度数，然后利用圆周角定理就可得到∠C的度数.
12．【答案】15
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°-40°=30°
∴∠1=∠AOB=15°
故答案为：15°．
【分析】先求出∠AOB=70°-40°=30°，再根据圆周角的性质可得∠1=∠AOB=15°。
13．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直径AB⊥CD于点E，
∴CD=2CE，∠AEC=∠ACB=90°，
∵∠B＝60°，AC＝6，
∴∠A=30°，
∴CE=AC=3，
∴CD=2CE=6.
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得出CD=2CE，∠AEC=∠ACB=90°，再求出∠A=30°，从而得出CE=AC=3，即可得出CD的长.
14．【答案】26
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作 ，作 ，如下图：
则四边形 为矩形， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
∵ ，∴ ，
解得 ，
，
故半径长为26米.
故答案为：26.
【分析】作OE⊥AB，DF⊥OE，则四边形CDFE为矩形，DF=FC，EF=CD=14，由垂径定理可得BE=10，则CE=DF=24，设OF=x，则OE=x+14，由勾股定理可得OD2，OB2，然后根据OB=OD可得x，接下来利用勾股定理进行求解就可得到OD.
15．【答案】（2+2 ）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，
如图1，AB，AD的长分别是2 m和4m，圆心角∠COD＝120°，
∴∠DOP＝60°， DC＝ AB＝ ，
∴OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时
h＝ ，
如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，
易知，OQ≤OB，
而h＝OP+OQ＝2+OQ，
∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，
由图1可知，OQ＝3，BQ＝ ，则OB＝ ，
h的最大值为OP+OB，即2+ .
故答案为：（2+ ）.
【分析】过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，易得OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，利用勾股定理可求出h，当点P在劣弧CD上时，易知OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，推出当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知：OQ＝3，BQ＝，据此求解.
16．【答案】解：如图，连接，
∵，
∴
∴
又∵
∴是等边三角形
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】 连接OC，由圆周角定理可得∠AOC=2∠B，由已知条件可知∠DAC=2∠B，则交AOC=∠DAC，得到CO=AC，推出△AOC是等边三角形，据此求解.
17．【答案】解：证明：过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，
∵AO平分∠BAC，∠ADO=∠AEO=90°，AB=2AD，AC=2AE，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）
∴AD=AE，
∴AB=AC.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；垂径定理
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，利用垂径定理可证得AB=2AD，AC=2AE，利用角平分线的性质可证得OD=OE，利用HL可证得Rt△ADO≌Rt△AEO，可推出AE=AD，由此可证得结论.
18．【答案】证明：连结BF、BG.
∵在△AEO和△BFO中，
，
∴△AEO≌△BFO（SAS），
∴AE＝BF.
又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，
∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴∠FBD＝90°，
又∵BG⊥FD，
∴△FGB∽△FBD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE2＝FG FD.
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】如图，连结BF、BG.由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论.
1 / 127.1 圆的认识----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·东光期中）下列图形中， 为圆心角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】 顶点在圆心上的角叫做圆心角。 根据圆心角的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2021九上·鹿城期中）如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴ 的度数为50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠BOC＝50°，据此可得的度数.
3．（2021九上·宁波月考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，则OA=10cm，
∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm，
∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得
OD= cm，
∵OC=10cm，
∴CD=OC-OD=4cm.
故答案为：C.
【分析】连接OA，则OA=10cm，根据垂径定理可得AD=BD=8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理可得OD，然后根据CD=OC-OD进行计算.
4．（2021九上·克东期末）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（ ）
A．116° B．32° C．58° D．64°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABD=58°，继而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．
故答案为：B．
【分析】先求出∠A=32°，再计算求解即可。
5．（2021九上·龙江期末）如图，是的直径，C、D是上两点， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用邻补角求出∠BOC，再根据圆周角的性质可得。
6．（2021九上·嘉祥月考）如图，四个边长为2的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为2，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】先求出，再计算求解即可。
7．（2021九上·东昌府期中）如图， 是半圆 的直径， ， 是 上两点，连接 ， 并延长交于点 ，连接 ， ，如果 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】连接CD，如图所示：
∵BC是半圆O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=20°，
∴∠DOE=2∠ACD=40°，
故答案为：C．
【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ADC=90°，再由圆周角定理得出∠DOE的度数。
8．（2021九上·平阳期中）如图，AB为半圆O的直径，CD= AB= ，AD，BC交于点E，且E为CB的中点，F为弧AC的中点，连接EF，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AC、BF、OE、OF，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CDE=∠ABC，
∵∠CED∽∠AEB，
∴，
设CE=k，AE=2k，AC=k，
∴CB=2k，
∵O为AB的中点，E为BC的中点，
∴OE=AC==k，
在Rt△OEB中，
∵OE2+BE2=OB2，即k2+k2=7，
解得k=2，
∴OE=，
∵F为弧AC的中点，
∵∠FBA=∠FBC，OB=OF=，
∵∠OFB=∠OBF，
∴∠AOF=∠OFB+∠OBF=∠ABC=2∠OBF，
∴OF∥BC，
∴∠FOE=90°，
在Rt△OFE中，
∵EF2=OE2+OF2，
∴EF2=7+3=10，
∴EF=.
故答案为：C.
【分析】连接AC、BF、OE、OF，先证明∠CED∽∠AEB，列比例式得出，设CE=k，在Rt△ACE中，根据勾股定理求出AC=k，然后把有关线段用k表示，在Rt△OEB中，根据勾股定理列式求出k=，则可求出OE长，易求OF长，在Rt△OFE中，根据等腰三角形的性质和圆周角定理求出OF∥BC，则可得出∠EOF为直角，最后在Rt△OFE中，根据勾股定理求出EF长即可.
二、填空题
9．（2021九上·杭州期中）如图，已知在半径为10的⊙O中，弦AB＝16，OC⊥AB，则OC的长为 .
【答案】6
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；圆的认识
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝ AB＝ ×16＝8，
在Rt△AOC中，OC＝ ＝ ＝6.
故答案为：6.
【分析】由垂径定理可得AC＝BC＝AB＝8，然后在Rt△AOC中，应用勾股定理求解即可.
10．（2021九上·长沙期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝2，则⊙O的半径为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝ CD＝ ×6＝3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝32+（x﹣2）2，
解得：x＝ ，
∴⊙O的半径为 .
故答案为： .
【分析】连接OC，由垂径定理可得CE＝DE=3，设⊙O的半径为xcm，则OC＝x，OE＝x-2，在Rt△OCE中，应用勾股定理求出x，进而可得⊙O的半径.
11．（2021九上·无锡期中）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °.
【答案】58
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°.
故答案为：58.
【分析】连接OB，易得△AOB是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=32°，根据内角和定理求出∠AOB的度数，然后利用圆周角定理就可得到∠C的度数.
12．（2021九上·虎林期末）如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 度．
【答案】15
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=70°-40°=30°
∴∠1=∠AOB=15°
故答案为：15°．
【分析】先求出∠AOB=70°-40°=30°，再根据圆周角的性质可得∠1=∠AOB=15°。
13．（2021九上·临江期末）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AC＝6，则CD的长为
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵直径AB⊥CD于点E，
∴CD=2CE，∠AEC=∠ACB=90°，
∵∠B＝60°，AC＝6，
∴∠A=30°，
∴CE=AC=3，
∴CD=2CE=6.
【分析】根据圆周角定理和垂径定理得出CD=2CE，∠AEC=∠ACB=90°，再求出∠A=30°，从而得出CE=AC=3，即可得出CD的长.
14．（2021九上·温州月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示.已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为
米.
【答案】26
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：作 ，作 ，如下图：
则四边形 为矩形， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
，
∵ ，∴ ，
解得 ，
，
故半径长为26米.
故答案为：26.
【分析】作OE⊥AB，DF⊥OE，则四边形CDFE为矩形，DF=FC，EF=CD=14，由垂径定理可得BE=10，则CE=DF=24，设OF=x，则OE=x+14，由勾股定理可得OD2，OB2，然后根据OB=OD可得x，接下来利用勾股定理进行求解就可得到OD.
15．（2021九上·温州月考）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2 m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°.现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为 m.
【答案】（2+2 ）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，
如图1，AB，AD的长分别是2 m和4m，圆心角∠COD＝120°，
∴∠DOP＝60°， DC＝ AB＝ ，
∴OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时
h＝ ，
如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，
易知，OQ≤OB，
而h＝OP+OQ＝2+OQ，
∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，
由图1可知，OQ＝3，BQ＝ ，则OB＝ ，
h的最大值为OP+OB，即2+ .
故答案为：（2+ ）.
【分析】过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，易得OD＝2，PQ＝5，
当点P在线段AD上时，利用勾股定理可求出h，当点P在劣弧CD上时，易知OQ≤OB，而h＝OP+OQ＝2+OQ，推出当点Q与点B重合时，h取得最大值，由图1可知：OQ＝3，BQ＝，据此求解.
三、解答题
16．（2021九上·新化期末）如图，的三个顶点都在⊙O上，直径，.求的长.
【答案】解：如图，连接，
∵，
∴
∴
又∵
∴是等边三角形
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【分析】 连接OC，由圆周角定理可得∠AOC=2∠B，由已知条件可知∠DAC=2∠B，则交AOC=∠DAC，得到CO=AC，推出△AOC是等边三角形，据此求解.
17．（2021九上·北仑期中）已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：AB＝AC．
【答案】解：证明：过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，
∵AO平分∠BAC，∠ADO=∠AEO=90°，AB=2AD，AC=2AE，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）
∴AD=AE，
∴AB=AC.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；垂径定理
【解析】【分析】过点O作OD⊥AB于点D，过点O作OE⊥AC于点E，利用垂径定理可证得AB=2AD，AC=2AE，利用角平分线的性质可证得OD=OE，利用HL可证得Rt△ADO≌Rt△AEO，可推出AE=AD，由此可证得结论.
18．（2020九下·黄石月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE2＝FG FD.
【答案】证明：连结BF、BG.
∵在△AEO和△BFO中，
，
∴△AEO≌△BFO（SAS），
∴AE＝BF.
又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，
∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴∠FBD＝90°，
又∵BG⊥FD，
∴△FGB∽△FBD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE2＝FG FD.
【知识点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】如图，连结BF、BG.由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论.
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