27.2 与圆有关的位置关系----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·东光期中）已知 的半径为5，点 在 内，则 的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（2021九上·柯桥月考）已知⊙O的直径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．无法确定
3．（2021九上·江阴月考）下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021九上·临江期末） 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB为（ ）
A．54° B．72° C．108° D．144°
5．（2021九上·北京月考）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大小是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
6．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
7．（2021九上·德州期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（ ）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
8．（2021九上·无锡期中）如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18.将矩形沿EF折叠，使点A落在CD边中点M处，点B落在N处.连接EM，以矩形对称中心O为圆心的圆与EM相切于点P，则圆的半径为（ ）
A．2.7 B．5.4 C．4.5 D．3.6
9．（2020九上·安徽月考）如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D。下列结论不一定成立的是（ ）
A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
10．（2020九上·泰州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为（ ）
A．3或 B．3或 C．5或 D．5或
二、填空题
11．（2021·厦门模拟）若直角三角形的两直角边长为3、4，则该直角三角形的外接圆半径为 ．
12．（2020九上·金寨期末）在平面内， 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点 与 的位置关系是点 在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
13．（2021九上·虎林期末）如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则OP的长为 ．
14．（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为 的内切圆，切点分别为D、E、F，且 ， ， ，则圆O的半径为 ．
15．（2021九上·上城期中）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 .
三、作图题
16．（2021九上·芜湖月考）如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，O都在格点上．
（1）在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1（其中点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）在图中画出△ABC的外心P，请保留必要的作图痕迹．
四、解答题
17．（2021九上·永吉期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数．
18．（2021·吉林模拟）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，连接AP交⊙O于点C。点D在⊙O上，∠CDB=45°，求证：AB=BP。
五、综合题
19．（2021·雅安）如图，在⊙ 中， 是直径， ，垂足为P，过点 的 的切线与 的延长线交于点 ， 连接 .
（1）求证： 为⊙ 的切线；
（2）若⊙ 半径为3， ，求 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据⊙O的半径为5，点P在⊙O内，求解即可。
2．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=5∴P点在圆内.
故答案为：C.
【分析】点和圆的位置关系是，当d>r时点在圆外，当d=r时点在圆上，当d3．【答案】B
【知识点】圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故原说法错误；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原说法错误；
（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故原说法正确；
（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法错误；
（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故原说法正确.
故答案为：B.
【分析】根据确定圆的条件可判断（1）；根据圆周角定理可判断（2）（3）；根据三角形外心的概念可判断（4）（5）.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOB=144°，
∴∠ACB=∠AOB=72°，
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得出∠PAO=∠PBO=90°，从而得出∠AOB=144°，根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB=72°，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠AOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠OCB= ×130°=65°，
即∠ACB=65°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再求出∠AOB=∠OCB+∠OBC，最后计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB、OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∵⊙O半径为2，即，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由切线长定理得，BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+MH+AN+NH
=AM+MD+AN+NE
=AD+AE
=8（cm），
∵△ABC的周长=AD+AE+BD+CE+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=18cm，
∴BC=5，
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理得出BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，将三角形ABC的周长化为AD+AE+BD+CE+BC，求解即可。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，
∵点O是矩形对称中心，
∴AH＝HD＝ AD＝9，OM＝ AD＝9，DM= CD=6
∵以O为圆心的圆与EM相切，
∴OP⊥EM，
由折叠的性质可知，EA＝EM，
在Rt△MDE中，EM2＝DE2＋DM2，即EM2＝（18 EM）2＋62，
解得，EM＝10，
∴DE＝8，
∴HE＝HD DE＝1，
设MP＝x，则EP＝10 x，
∵OP2＝OE2 EP2＝OM2 MP2，
∴62＋12 （10 x）2＝92 x2，
解得，x＝ =7.2，
∴OP＝ ＝5.4.
故答案为：B.
【分析】连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，易得AH＝HD＝9，OM＝AD＝9，DM=CD=6，由折叠的性质可知：EA＝EM，根据勾股定理求出EM，进而得到DE、HE，设MP＝x，则EP＝10 x，根据OP2＝OE2 EP2＝OM2 MP2可求出x，然后根据勾股定理就可求出OP.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：
A.∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA= PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意。
B.由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意，
C.连接OB，OA，PA，PB为⊙O的切线∠OBP=∠OAP=90°，点A，B，P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．
D.∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为OBPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意。
【分析】根据切线长定理、等腰三角形的性质以及菱形的性质，分别判断得到答案即可。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，
∴x2＝42＋（8 x）2，
∴x＝5，
∴CP＝5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形.
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝ = ，
∴CP=8- .
综上所述，CP的长为5或8- .
【分析】分两种情况，如图1中，当⊙P与直线CD相切时，如图2中当⊙P与直线AD相切时，据此分别解答即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为3、4，
∴斜边长= =5，
∴直角三角形的外接圆半径= ．
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理求出斜边长为5，直角三角形的外接圆的直径为斜边，据此即得结论.
12．【答案】圆外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为 ，P到圆心O的距离为 ，
即 ，
∴点P在圆外．
故答案为：圆外．
【分析】根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断。
13．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠OBP=90°，
∵∠P=30°，
∴OP=2OB=4，
故答案为：4．
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBP=90°，再利用含30°角的性质可得OP=2OB=4。
14．【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为 的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【分析】利用勾股求出AC，然后利用 ，得到关于半径的方程，求解即可得出答案。
15．【答案】1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接CE.
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的 上运动，
连接O'A交 于E′，此时AE′的值最小.此时⊙O与⊙O'交点为E'.
∵∠BE'C＝120°
∴ 所对圆周角为60°，
∴∠BO'C＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4 ，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝ ＝ ＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CE，由平行线的性质可得∠PAC＝∠ACB＝60°，根据圆周角定理得∠BEC＝120°，连接O'A交 于E′，此时AE′的值最小，⊙O与⊙O'交点为E'，易得∠BOC＝2×60°＝120°，O′B＝O′C＝4，∠ACO'＝90°，由勾股定理求出O'A，然后根据AE′＝O'A-O'E′进行计算.
16．【答案】（1）解：如图所示 即为所求；
（2）解：利用网格分别作BC，AB的垂直平分线交于点P，
则点P为△ABC外接圆的圆心．
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据 画出△ABC的外心P， 作图即可。
17．【答案】解：∵AC为⊙O的切线，
∴∠OAC=90°．
∵OA=OB，∠B=25°，
∴∠OAB=∠B=25°．
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB
=90°-25°
=65°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】先求出 ∠OAC=90° ，再求出 ∠OAB=∠B=25° ，最后计算求解即可。
18．【答案】证明：∵PB是⊙O的切线，∴AB⊥BP
∴∠ABP=90°∴∠A+∠P= 90°
∵∠A=∠CDB =45°，∴∠P=45°
∴∠A=∠P
∴AB=BP
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】根据切线的性质得出∠ABP=90°，根据圆周角定理得出∠A=∠CDB =45°，从而得出 ∠A=∠P=45°，再根据等角对等边，即可得出AB=BP.
19．【答案】（1）证明：连接 、
∵ 为 的切线
∴
∵ 是直径，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 为⊙ 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ，如下图：
由（1）得
在 中， ， ，∴
∴ （等面积法）
∴
设 ，则
在 和 中，
，
∴
解得
∴
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 、，先证，再证，可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 作 于点 ， 在 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面积相等求出CP=，由垂径定理可得， 设 ，则 ，在 和 中，由勾股定理可得 ， ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由即可求出结论.
1 / 127.2 与圆有关的位置关系----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·东光期中）已知 的半径为5，点 在 内，则 的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】根据⊙O的半径为5，点P在⊙O内，求解即可。
2．（2021九上·柯桥月考）已知⊙O的直径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．无法确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵d=5∴P点在圆内.
故答案为：C.
【分析】点和圆的位置关系是，当d>r时点在圆外，当d=r时点在圆上，当d3．（2021九上·江阴月考）下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】圆周角定理；确定圆的条件；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故原说法错误；
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故原说法错误；
（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故原说法正确；
（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法错误；
（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故原说法正确.
故答案为：B.
【分析】根据确定圆的条件可判断（1）；根据圆周角定理可判断（2）（3）；根据三角形外心的概念可判断（4）（5）.
4．（2021九上·临江期末） 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB为（ ）
A．54° B．72° C．108° D．144°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P＝36°，
∴∠AOB=144°，
∴∠ACB=∠AOB=72°，
故答案为：B.
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得出∠PAO=∠PBO=90°，从而得出∠AOB=144°，根据圆周角定理得出∠ACB=∠AOB=72°，即可得出答案.
5．（2021九上·北京月考）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝50°，则∠ACB的大小是（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】A
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB，如图，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠AOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠OCB= ×130°=65°，
即∠ACB=65°．
故答案为：A．
【分析】先求出∠OAP=∠OBP=90°，再求出∠AOB=∠OCB+∠OBC，最后计算求解即可。
6．（2021九上·芜湖月考）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OB、OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，
∴∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，
∵⊙O半径为2，即，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】先求出∠OBP=90°，∠BPO=∠APB=30°，再利用锐角三角函数计算求解即可。
7．（2021九上·德州期中）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，若剪下的三角形的周长为8cm，则BC为（ ）
A．8cm B．5cm C．6.5cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：由切线长定理得，BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+MH+AN+NH
=AM+MD+AN+NE
=AD+AE
=8（cm），
∵△ABC的周长=AD+AE+BD+CE+BC=8+BG+CG+BC=8+2BC=18cm，
∴BC=5，
故答案为：B．
【分析】根据切线长定理得出BD=BG，CE=CG，MH=MD，NH=NE，将三角形ABC的周长化为AD+AE+BD+CE+BC，求解即可。
8．（2021九上·无锡期中）如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18.将矩形沿EF折叠，使点A落在CD边中点M处，点B落在N处.连接EM，以矩形对称中心O为圆心的圆与EM相切于点P，则圆的半径为（ ）
A．2.7 B．5.4 C．4.5 D．3.6
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；切线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，
∵点O是矩形对称中心，
∴AH＝HD＝ AD＝9，OM＝ AD＝9，DM= CD=6
∵以O为圆心的圆与EM相切，
∴OP⊥EM，
由折叠的性质可知，EA＝EM，
在Rt△MDE中，EM2＝DE2＋DM2，即EM2＝（18 EM）2＋62，
解得，EM＝10，
∴DE＝8，
∴HE＝HD DE＝1，
设MP＝x，则EP＝10 x，
∵OP2＝OE2 EP2＝OM2 MP2，
∴62＋12 （10 x）2＝92 x2，
解得，x＝ =7.2，
∴OP＝ ＝5.4.
故答案为：B.
【分析】连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，易得AH＝HD＝9，OM＝AD＝9，DM=CD=6，由折叠的性质可知：EA＝EM，根据勾股定理求出EM，进而得到DE、HE，设MP＝x，则EP＝10 x，根据OP2＝OE2 EP2＝OM2 MP2可求出x，然后根据勾股定理就可求出OP.
9．（2020九上·安徽月考）如图，PA，PB为⊙O的切线，切点分别为A，B，PO交AB于点C，PO的延长线交⊙O于点D。下列结论不一定成立的是（ ）
A．△BPA为等腰三角形 B．AB与PD相互垂直平分
C．点A，B都在以PO为直径的圆上 D．PC为△BPA的边AB上的中线
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线长定理
【解析】【解答】解：
A.∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA= PB，∴△BPA是等腰三角形，故A选项不符合题意。
B.由圆的对称性可知：PD垂直平分AB，但AB不一定平分PD，故B选项符合题意，
C.连接OB，OA，PA，PB为⊙O的切线∠OBP=∠OAP=90°，点A，B，P在以OP为直径的圆上，故C选项不符合题意．
D.∵△BPA是等腰三角形，PD⊥AB，∴PC为OBPA的边AB上的中线，故D选项不符合题意。
【分析】根据切线长定理、等腰三角形的性质以及菱形的性质，分别判断得到答案即可。
10．（2020九上·泰州期中）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时，CP的长为（ ）
A．3或 B．3或 C．5或 D．5或
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC＝PM＝x.
在Rt△PBM中，∵PM2＝BM2＋PB2，
∴x2＝42＋（8 x）2，
∴x＝5，
∴CP＝5；
如图2中当⊙P与直线AD相切时.设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形.
∴PM＝PK＝CD＝2BM，
∴BM＝4，PM＝8，
在Rt△PBM中，PB＝ = ，
∴CP=8- .
综上所述，CP的长为5或8- .
【分析】分两种情况，如图1中，当⊙P与直线CD相切时，如图2中当⊙P与直线AD相切时，据此分别解答即可.
二、填空题
11．（2021·厦门模拟）若直角三角形的两直角边长为3、4，则该直角三角形的外接圆半径为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两直角边长为3、4，
∴斜边长= =5，
∴直角三角形的外接圆半径= ．
故答案为： ．
【分析】利用勾股定理求出斜边长为5，直角三角形的外接圆的直径为斜边，据此即得结论.
12．（2020九上·金寨期末）在平面内， 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，则点 与 的位置关系是点 在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
【答案】圆外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】∵⊙O的半径为 ，P到圆心O的距离为 ，
即 ，
∴点P在圆外．
故答案为：圆外．
【分析】根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断。
13．（2021九上·虎林期末）如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则OP的长为 ．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接OB，
∵PB是圆O的切线，
∴∠OBP=90°，
∵∠P=30°，
∴OP=2OB=4，
故答案为：4．
【分析】连接OB，根据切线的性质可得∠OBP=90°，再利用含30°角的性质可得OP=2OB=4。
14．（2021九上·无棣期中）如图，已知圆O为 的内切圆，切点分别为D、E、F，且 ， ， ，则圆O的半径为 ．
【答案】2
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF
∵⊙O为 的内切圆，切点分别为D、E、F
∴OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，且OD=OE=OF
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
∵
∴
即
∴OD=2
即⊙O的半径为2
故答案为：2
【分析】利用勾股求出AC，然后利用 ，得到关于半径的方程，求解即可得出答案。
15．（2021九上·上城期中）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4 ，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为 .
【答案】1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，连接CE.
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的 上运动，
连接O'A交 于E′，此时AE′的值最小.此时⊙O与⊙O'交点为E'.
∵∠BE'C＝120°
∴ 所对圆周角为60°，
∴∠BO'C＝2×60°＝120°，
∵△BO′C是等腰三角形，BC＝4 ，
∴O′B＝O′C＝4，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
∴O'A＝ ＝ ＝5，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1.
故答案为：1.
【分析】连接CE，由平行线的性质可得∠PAC＝∠ACB＝60°，根据圆周角定理得∠BEC＝120°，连接O'A交 于E′，此时AE′的值最小，⊙O与⊙O'交点为E'，易得∠BOC＝2×60°＝120°，O′B＝O′C＝4，∠ACO'＝90°，由勾股定理求出O'A，然后根据AE′＝O'A-O'E′进行计算.
三、作图题
16．（2021九上·芜湖月考）如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，O都在格点上．
（1）在图中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1（其中点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）；
（2）在图中画出△ABC的外心P，请保留必要的作图痕迹．
【答案】（1）解：如图所示 即为所求；
（2）解：利用网格分别作BC，AB的垂直平分线交于点P，
则点P为△ABC外接圆的圆心．
【知识点】三角形的外接圆与外心；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据 画出△ABC的外心P， 作图即可。
四、解答题
17．（2021九上·永吉期末）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵AC为⊙O的切线，
∴∠OAC=90°．
∵OA=OB，∠B=25°，
∴∠OAB=∠B=25°．
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB
=90°-25°
=65°．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】先求出 ∠OAC=90° ，再求出 ∠OAB=∠B=25° ，最后计算求解即可。
18．（2021·吉林模拟）如图，AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，连接AP交⊙O于点C。点D在⊙O上，∠CDB=45°，求证：AB=BP。
【答案】证明：∵PB是⊙O的切线，∴AB⊥BP
∴∠ABP=90°∴∠A+∠P= 90°
∵∠A=∠CDB =45°，∴∠P=45°
∴∠A=∠P
∴AB=BP
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】根据切线的性质得出∠ABP=90°，根据圆周角定理得出∠A=∠CDB =45°，从而得出 ∠A=∠P=45°，再根据等角对等边，即可得出AB=BP.
五、综合题
19．（2021·雅安）如图，在⊙ 中， 是直径， ，垂足为P，过点 的 的切线与 的延长线交于点 ， 连接 .
（1）求证： 为⊙ 的切线；
（2）若⊙ 半径为3， ，求 .
【答案】（1）证明：连接 、
∵ 为 的切线
∴
∵ 是直径，
∴ ，
又∵
∴
∴ ，
又∵
∴
∴
∴ 为⊙ 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ，如下图：
由（1）得
在 中， ， ，∴
∴ （等面积法）
∴
设 ，则
在 和 中，
，
∴
解得
∴
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；垂径定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接 、，先证，再证，可得，根据切线的判定定理即证；
（2） 过点 作 于点 ， 在 中 利用勾股定理求出OE=5，利用面积相等求出CP=，由垂径定理可得， 设 ，则 ，在 和 中，由勾股定理可得 ， ，据此建立方程，求出x值即可求出DF，由即可求出结论.
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