27.3 圆中的计算问题----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·江油期末）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．20π B．15π C．10π D．5π
2．（2021九上·温州月考）已知扇形的半径为6，圆心角为10°，则扇形的面积为（ ）
A． B． C．π D．2π
3．（2021九上·温州月考）三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·临江期末） 如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3π B． C．6π D．24π
5．（2021九上·鄂尔多斯期中）一个形如圆锥冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为10cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸的面积是（ ）
A．60πcm2 B．15πcm2 C．28πcm2 D．30πcm2
6．（2021九上·永年月考）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F，将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（2021·菏泽）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·大庆模拟）一个圆柱体和一个圆锥体的底面周长之比是 ，它们的体积比也是 ，圆柱和圆锥的高的比是（ ）
A．1：1 B．3：1 C．1：9 D．1：3
9．（2021八下·永川月考）如图，一圆柱体的底面周长为3πcm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程是（ ）.
A．3πcm B．5cm
C． cm D． cm
10．（2021九上·宁波期中）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D． －1
二、填空题
11．（2021九上·瑞安月考）已知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 °.
12．（2021九上·江油期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，则弧BC的长为 cm．
13．（2021九上·金东期中）一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则此扇形的半径长为 cm.
14．（2021九上·嘉祥月考）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形，点D是母线的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
15．（2020七上·增城月考）有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为 ；若如图③放置时，测得液面高为 则该玻璃密封容器的容积 圆柱体容积 底面积 高 是 ．（结果保留 ）
16．（2021九上·庆云期中）如图所示，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的两条切线，E、F分别在AD、BC上，EF切⊙O于点G，连接OE、OF、BG、AG，BG与OF相交于点M，AG与OE相交于点N，已知AE＝2，BF＝8．以下结论：①⊙O的半径为2；②AG∥OF；③BG＝ ；④四边形OMGN是正方形．其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题
17．（2021九上·嘉兴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．求 ， 的长．
18．（2021九上·巧家期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长.
四、综合题
19．（2021九上·哈尔滨月考）已知， 内接于 ，AD、BD为 的弦，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过B作 的切线交AC的延长线于E，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD，若 ， ， ，求CE的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=.
故 答案为：C.
【分析】根据弧长公式列式计算，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为6，圆心角为10°，
∴S= .
故答案为：C.
【分析】直接根据扇形的面积公式S=（n为圆心角的度数，r为半径）进行计算.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC
由图可知 ， ，
∴ 的长= .
故答案为：B.
【分析】连接OC，利用勾股定理可得OC，然后利用弧长公式进行计算.
4．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】 解：∵阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积，∠BAB′=60°，
∴阴影部分的面积= .
故答案为：B.
【分析】 根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积，得出阴影部分的面积=扇形ABC的面积，利用扇形的面积公式列式进行计算即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】圆锥底面圆的周长为6πcm，圆锥侧面展开后的扇形的半径为10cm，则展开后的扇形面积为：
故答案为：D
【分析】圆锥的侧面积=底面周长母线长÷2。
6．【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高，
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】圆柱的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6．
空心圆柱体的体积为π× 2×6-π× 2×6=18π．
故答案为：B．
【分析】圆柱的体积=底面积×高 ，解题关键：掌握观察三视图。
8．【答案】A
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是1，则圆锥的体积是3，
则： ，
故答案为： ．
【分析】利用假设法代入计算即可。
9．【答案】D
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】如图所示，圆柱体的侧面展开图：
∵底面圆周长为3πcm，
∴AD= cm，
又∵AB=4cm，
∴在Rt△ABC中，AC= = cm.
故答案为：D.
【分析】因为圆柱体的侧面展开图是以圆柱的高和底面圆周长分别为长和宽的矩形，所以根据两点之间线段最短可知：蚂蚁爬行的最短距离就是矩形ABCD的对角线AC的长，用勾股定理可求解.
10．【答案】A
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，AC＝3，
∴ ，
∴ △ABC 的大小和形状是唯一的，
设∠B＝α，
∵∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D＝∠B＝α，
∵CE⊥DC，
∴∠DCE＝90°，
∴∠AEC＝∠DCE＋∠D＝90°＋α，
∴∠AEC的度数为定值90°＋α，
∴如图，点E在 的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，
如图，连接OP，OC，当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，
如图，在优弧AC上取一点Q，连接OC，AQ，CQ，
∵∠AEC＝90°＋α，
∴∠Q＝180°－∠AEC＝90°－α，
∴∠APC＝2∠Q＝180°－2α，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA＝ ＝α，
∵∠ACB＝90°，∠B＝α，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－α，
∴∠OAP＝∠BAC＋∠PAC＝90°，
∵PA＝PC，OA＝OC，
∴OP垂直平分AC，
∴OP⊥AC，
又∵BC⊥AC，
∴ ，
∴∠AOP＝∠B，
∵∠AOP＝∠B，∠OAP＝∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∵直径AB＝5，
∴半径OA＝ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴OE的最小值为 ，
故答案为：A.
【分析】 根据题意先判断出点E在 的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，由此可得当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，根据相似三角形的判定与性质求出此时OE的长即可.
11．【答案】100
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵l=，
∴，
∴n=100°.
故答案为：100.
【分析】根据弧长公式l=，得出，得出n=100°，即可得出答案.
12．【答案】15π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：cm.
故答案为：15π.
【分析】根据弧长公式列式进行计算，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为R，则 =15π，
解得R= .
故答案为： .
【分析】设该扇形的半径为R，根据扇形的面积公式S=可列方程，求解即可.
14．【答案】2
【知识点】平面展开﹣最短路径问题；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=，
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，
∴在圆锥侧面展开图中BD=，
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是2cm．
故答案为：2．
【分析】先求出n=180°，再求出BD=，最后计算求解即可。
15．【答案】 a2h
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
π×a2× h=V-π×a2×（h- h），
解得V= a2h，
故答案为： a2h．
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出结论．
16．【答案】②③
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：连接OG，如图：
∵AD、BC、EF是⊙O的切线，
∴GE=AE＝2，FG=BF＝8，EO平分∠AEG，FO平分∠BFG，
且∠OAE=∠OGE=∠OBF=∠OGF=90°
∴EO垂直平分AG，FO垂直平分BG，∠AEO=∠GEO，∠BFO=∠GFO，
∴AN=GN，BM=GM，AG⊥EO，BG⊥FO，
∵∠AOE=90° ∠AEO，∠GOE=90° ∠GEO，
∴∠GOE=∠AOE= ∠AOG；
同理可证，∠GOF=∠BOF= ∠BOG，
∴∠EOF=∠GOE+∠GOF
= （∠AOG+∠BOG）
= ；
∴∠OGE=∠EOF=90°，
∴∠GEO+∠GOE=∠GOE+∠GOF=90°，
∴∠GEO=∠GOF，
∵∠OGE=∠FGO=90°，
∴△OGE∽△FGO，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴半径为4；则①不符合题意；
∵AB是直径，
∴∠AGB=90°，
∵OF⊥BG，
∴∠FMG=90°，
∴∠AGB=∠FMG，
∴AG∥OF，故②符合题意；
在直角△OBF中，∠OBF=90°，OB=OG=4，BF=8，
∴OF= ，
∵BM⊥OF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则③符合题意；
∵OF⊥BG，OE⊥AG，AB是直径，
∴∠OMG=∠ONG=∠MGN=90°，
∴四边形OMGN是矩形；
在直角△OAE中，∠OAE=90°，OA=OG=4，AE=2，
∴OE= ，
∵AN⊥OE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形OMGN不是正方形，则④不符合题意；
综上所述，其中正确的有②③；
故答案为：②③．
【分析】先求出N=GN，BM=GM，AG⊥EO，BG⊥FO，再求出△OGE∽△FGO，最后对每个结论一一判断求解即可。
17．【答案】解：连接OE，
∵OA＝OE，∠BAC＝40°，
∴∠AOE＝100°，
∴ 的长＝ ＝ ，
连接AD、OD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，又AB＝AC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝20°，
∴∠BOD＝40°，
∴ 的长＝ ＝ 。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】 连接OE， 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和求∠AOE的度数，则可根据弧长公式求 的长；根据圆周角定理得到∠ADB＝90°， 然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠BAD的度数，再利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系求∠BOD的度数，最后根据弧长公式计算 的长即可.
18．【答案】解：由题意得： ，
∴ =6（cm），
∴由勾股定理得：
（cm），
即该圆锥的高为 cm.
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【分析】利用圆锥展开的扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，可求出母线长；再利用勾股定理求出圆锥的高.
19．【答案】（1）证明：
∵
∴
∵
∴
∴ ；
（2）证明：连OB、OD，如图，
∵BE为切线
∴
∴ ，
∴
则
，
∴
（3）解：如图，连接 ，
是 的切线，
如图，延长AD交BC的延长线于G，作 于G， 于N， 于Q，延长AB至S，连接ES，使 ，作 于F， 于R，
∵ ，
设 ， ，则 ，
∴
∴
∴
∵
∴ ，
又
，
∵ ，设 ， ，
，则 ，
，
又
∴
∴ ，
∵
∴在 中， ，
在 中， ，
即
∴
∴ ，设 ，
∵
在 与 中，
∴
∴
解得：
∴
，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ∴ ，最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再证明求解即可；
（3）利用切线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理计算求解即可。
1 / 127.3 圆中的计算问题----华师大版九年级下册同步试卷
一、单选题
1．（2021九上·江油期末）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．20π B．15π C．10π D．5π
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=.
故 答案为：C.
【分析】根据弧长公式列式计算，即可得出答案.
2．（2021九上·温州月考）已知扇形的半径为6，圆心角为10°，则扇形的面积为（ ）
A． B． C．π D．2π
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的半径为6，圆心角为10°，
∴S= .
故答案为：C.
【分析】直接根据扇形的面积公式S=（n为圆心角的度数，r为半径）进行计算.
3．（2021九上·温州月考）三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC
由图可知 ， ，
∴ 的长= .
故答案为：B.
【分析】连接OC，利用勾股定理可得OC，然后利用弧长公式进行计算.
4．（2021九上·临江期末） 如图，直径AB为3的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′处，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．3π B． C．6π D．24π
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】 解：∵阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积，∠BAB′=60°，
∴阴影部分的面积= .
故答案为：B.
【分析】 根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积，得出阴影部分的面积=扇形ABC的面积，利用扇形的面积公式列式进行计算即可得出答案.
5．（2021九上·鄂尔多斯期中）一个形如圆锥冰淇淋纸筒，其底面直径为6cm，母线长为10cm，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸的面积是（ ）
A．60πcm2 B．15πcm2 C．28πcm2 D．30πcm2
【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】圆锥底面圆的周长为6πcm，圆锥侧面展开后的扇形的半径为10cm，则展开后的扇形面积为：
故答案为：D
【分析】圆锥的侧面积=底面周长母线长÷2。
6．（2021九上·永年月考）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F，将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高，
故答案为：D．
【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
7．（2021·菏泽）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆柱的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6．
空心圆柱体的体积为π× 2×6-π× 2×6=18π．
故答案为：B．
【分析】圆柱的体积=底面积×高 ，解题关键：掌握观察三视图。
8．（2021·大庆模拟）一个圆柱体和一个圆锥体的底面周长之比是 ，它们的体积比也是 ，圆柱和圆锥的高的比是（ ）
A．1：1 B．3：1 C．1：9 D．1：3
【答案】A
【知识点】圆锥的计算；圆柱的计算
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径是1，则圆锥的底面半径是3，设圆柱的体积是1，则圆锥的体积是3，
则： ，
故答案为： ．
【分析】利用假设法代入计算即可。
9．（2021八下·永川月考）如图，一圆柱体的底面周长为3πcm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程是（ ）.
A．3πcm B．5cm
C． cm D． cm
【答案】D
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】如图所示，圆柱体的侧面展开图：
∵底面圆周长为3πcm，
∴AD= cm，
又∵AB=4cm，
∴在Rt△ABC中，AC= = cm.
故答案为：D.
【分析】因为圆柱体的侧面展开图是以圆柱的高和底面圆周长分别为长和宽的矩形，所以根据两点之间线段最短可知：蚂蚁爬行的最短距离就是矩形ABCD的对角线AC的长，用勾股定理可求解.
10．（2021九上·宁波期中）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D． －1
【答案】A
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，AC＝3，
∴ ，
∴ △ABC 的大小和形状是唯一的，
设∠B＝α，
∵∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角，
∴∠D＝∠B＝α，
∵CE⊥DC，
∴∠DCE＝90°，
∴∠AEC＝∠DCE＋∠D＝90°＋α，
∴∠AEC的度数为定值90°＋α，
∴如图，点E在 的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，
如图，连接OP，OC，当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，
如图，在优弧AC上取一点Q，连接OC，AQ，CQ，
∵∠AEC＝90°＋α，
∴∠Q＝180°－∠AEC＝90°－α，
∴∠APC＝2∠Q＝180°－2α，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA＝ ＝α，
∵∠ACB＝90°，∠B＝α，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－α，
∴∠OAP＝∠BAC＋∠PAC＝90°，
∵PA＝PC，OA＝OC，
∴OP垂直平分AC，
∴OP⊥AC，
又∵BC⊥AC，
∴ ，
∴∠AOP＝∠B，
∵∠AOP＝∠B，∠OAP＝∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∵直径AB＝5，
∴半径OA＝ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴OE的最小值为 ，
故答案为：A.
【分析】 根据题意先判断出点E在 的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，由此可得当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，根据相似三角形的判定与性质求出此时OE的长即可.
二、填空题
11．（2021九上·瑞安月考）已知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为 °.
【答案】100
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵l=，
∴，
∴n=100°.
故答案为：100.
【分析】根据弧长公式l=，得出，得出n=100°，即可得出答案.
12．（2021九上·江油期末）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为150°，AB的长为18cm，则弧BC的长为 cm．
【答案】15π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：cm.
故答案为：15π.
【分析】根据弧长公式列式进行计算，即可得出答案.
13．（2021九上·金东期中）一个扇形的圆心角为 ，面积为 ，则此扇形的半径长为 cm.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为R，则 =15π，
解得R= .
故答案为： .
【分析】设该扇形的半径为R，根据扇形的面积公式S=可列方程，求解即可.
14．（2021九上·嘉祥月考）如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形，点D是母线的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 cm．
【答案】2
【知识点】平面展开﹣最短路径问题；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=，
∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，
∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，
∴在圆锥侧面展开图中BD=，
∴这只蚂蚁爬行的最短距离是2cm．
故答案为：2．
【分析】先求出n=180°，再求出BD=，最后计算求解即可。
15．（2020七上·增城月考）有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为 ；若如图③放置时，测得液面高为 则该玻璃密封容器的容积 圆柱体容积 底面积 高 是 ．（结果保留 ）
【答案】 a2h
【知识点】圆柱的计算
【解析】【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，
π×a2× h=V-π×a2×（h- h），
解得V= a2h，
故答案为： a2h．
【分析】根据圆柱体的体积公式和图②和图③中的溶液体积相等，可以列出相应的方程，从而可以得出结论．
16．（2021九上·庆云期中）如图所示，AB是⊙O的直径，AD、BC是⊙O的两条切线，E、F分别在AD、BC上，EF切⊙O于点G，连接OE、OF、BG、AG，BG与OF相交于点M，AG与OE相交于点N，已知AE＝2，BF＝8．以下结论：①⊙O的半径为2；②AG∥OF；③BG＝ ；④四边形OMGN是正方形．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】②③
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：连接OG，如图：
∵AD、BC、EF是⊙O的切线，
∴GE=AE＝2，FG=BF＝8，EO平分∠AEG，FO平分∠BFG，
且∠OAE=∠OGE=∠OBF=∠OGF=90°
∴EO垂直平分AG，FO垂直平分BG，∠AEO=∠GEO，∠BFO=∠GFO，
∴AN=GN，BM=GM，AG⊥EO，BG⊥FO，
∵∠AOE=90° ∠AEO，∠GOE=90° ∠GEO，
∴∠GOE=∠AOE= ∠AOG；
同理可证，∠GOF=∠BOF= ∠BOG，
∴∠EOF=∠GOE+∠GOF
= （∠AOG+∠BOG）
= ；
∴∠OGE=∠EOF=90°，
∴∠GEO+∠GOE=∠GOE+∠GOF=90°，
∴∠GEO=∠GOF，
∵∠OGE=∠FGO=90°，
∴△OGE∽△FGO，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴半径为4；则①不符合题意；
∵AB是直径，
∴∠AGB=90°，
∵OF⊥BG，
∴∠FMG=90°，
∴∠AGB=∠FMG，
∴AG∥OF，故②符合题意；
在直角△OBF中，∠OBF=90°，OB=OG=4，BF=8，
∴OF= ，
∵BM⊥OF，
∴ ，
∴ ，
∴ ，则③符合题意；
∵OF⊥BG，OE⊥AG，AB是直径，
∴∠OMG=∠ONG=∠MGN=90°，
∴四边形OMGN是矩形；
在直角△OAE中，∠OAE=90°，OA=OG=4，AE=2，
∴OE= ，
∵AN⊥OE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形OMGN不是正方形，则④不符合题意；
综上所述，其中正确的有②③；
故答案为：②③．
【分析】先求出N=GN，BM=GM，AG⊥EO，BG⊥FO，再求出△OGE∽△FGO，最后对每个结论一一判断求解即可。
三、解答题
17．（2021九上·嘉兴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠BAC＝40°，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．求 ， 的长．
【答案】解：连接OE，
∵OA＝OE，∠BAC＝40°，
∴∠AOE＝100°，
∴ 的长＝ ＝ ，
连接AD、OD，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，又AB＝AC，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝20°，
∴∠BOD＝40°，
∴ 的长＝ ＝ 。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】 连接OE， 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和求∠AOE的度数，则可根据弧长公式求 的长；根据圆周角定理得到∠ADB＝90°， 然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠BAD的度数，再利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系求∠BOD的度数，最后根据弧长公式计算 的长即可.
18．（2021九上·巧家期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长.
【答案】解：由题意得： ，
∴ =6（cm），
∴由勾股定理得：
（cm），
即该圆锥的高为 cm.
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【分析】利用圆锥展开的扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，可求出母线长；再利用勾股定理求出圆锥的高.
四、综合题
19．（2021九上·哈尔滨月考）已知， 内接于 ，AD、BD为 的弦，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过B作 的切线交AC的延长线于E，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD，若 ， ， ，求CE的长度．
【答案】（1）证明：
∵
∴
∵
∴
∴ ；
（2）证明：连OB、OD，如图，
∵BE为切线
∴
∴ ，
∴
则
，
∴
（3）解：如图，连接 ，
是 的切线，
如图，延长AD交BC的延长线于G，作 于G， 于N， 于Q，延长AB至S，连接ES，使 ，作 于F， 于R，
∵ ，
设 ， ，则 ，
∴
∴
∴
∵
∴ ，
又
，
∵ ，设 ， ，
，则 ，
，
又
∴
∴ ，
∵
∴在 中， ，
在 中， ，
即
∴
∴ ，设 ，
∵
在 与 中，
∴
∴
解得：
∴
，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
【知识点】切线的性质；圆的综合题
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ∴ ，最后证明求解即可；
（2）先求出 ，再证明求解即可；
（3）利用切线的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理计算求解即可。
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