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8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 教案
课题 8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 单元 第8单元 学科 数学 年级 七年级（下）
学习目标 1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.2.能够结合图表找出实际问题中的等量关系，列出方程组．3.感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力，体会数形结合的思想．
重点 分析复杂问题中的数量关系，建立方程组 ．
难点 感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题上一节课我们重点研究如何建立二元一次方程组解决几何图形问题.今天我们继续深入探究稍复杂的实际问题与二元一次方程组.请同学们回顾一下，你是如何列出方程组解决实际问题的？分析问题中的数量关系——发现等量关系——列出二元一次方程组——解二元一次方程组——得到实际问题的答案.本节课我们继续研究实际问题与二元一次方程组. 思考自议回顾列方程组解决实际问题的一般步骤，为本节课的继续研究做好铺垫. 感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力．
讲授新课 提炼概念（1）在什么情况下间接设未知数？ 当直接设未知数无法列出方程时，考虑间接设未知数．（2）如何解决信息量较大的实际问题？可以借助表格或者图例解决问题三、典例精讲例 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．问题2 本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？一类是公路运费，铁路运费，价值；另一类是产品数量，原料数量．问题3 你能完成下面的表格吗？ 产品x吨原料y吨合计公路运费（元）1.5×20x1.5×20x15000铁路运费（元）1.5×20x1.5×20x97200价值（元）8000x1000y问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？解得：问题5 这个实际问题的答案是什么？销售款：8 000×300=2 400 000；原料费：1 000×400=400 000；运输费：15 000+97 200=112 200．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．归纳总结：（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？ 当直接将所求的结果当作未知数无法列出方程时，考虑选择设间接未知数． （2）如何更好地分析“探究”这样数量关系比较复杂的实际问题？可以借助表格来梳理，可以使题目中各量之间的关系更加简洁、直观。学会从图表中有效的提取信息也是顺利解决问题的前提。 能够结合图表找出实际问题中的等量关系，列出方程组． 能分析实际问题中的数量关系，会用表格辅助分析问题，会设间接未知数，列方程组并求解，得到实际问题的答案，体会数学建模的思想.
课堂检测 四、巩固训练 1.一批蔬菜要运往批发市场，菜农准备用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表． 甲种货车（辆）乙种货车（辆）总量（吨）第一次4528.5第二次3627这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完．如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？解：设甲种货车每辆可运x吨，乙种货车每辆可运y吨 。根据题意，得所以（5×4＋2×2.5）× 20 ＝ 500答：菜农应付运费500元．2.北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用.解:设从北京运往武汉x台，则运往重庆(10-x)台， 设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，解得答:从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.3.某果品公司通往甲、乙两地都要经过水路和陆路，这家公司从甲地购进一批水果运回公司加工成果汁再销往乙地，已知水路、陆路的运价及里程数如下表，若这两次运输支出水路运费10000元，陆路运费8000元，问该公司运进水果和运出果汁各多少吨？ 水路陆路从甲地到公司（千米）2030从公司到乙地（千米）1040运价：元/(吨·千米)21解：设该公司运进水果x吨，运出果汁y 吨，则解得答：该公司运进水果240吨，运出果汁20吨.4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：作物品种每公顷所需人数每公顷投入资金/万元蔬菜51.5荞麦41在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷根据题意可列出方程组：解得故，承包田地的面积为： x+y=4 公顷人员安排为为： 5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
课堂小结 课堂小结回顾本节课的学习过程回答以下问题：（1）本节课你有哪些收获？（2）列方程解决实际问题的一般过程是什么？1. 掌握间接设未知数解决问题的方法。2. 在解决数量关系比较复杂的问题时，可借助图例或表格对相关信息进行分类整理。3. 掌握解决实际问题的建模思想。
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人教版 七年级下
8.3.3实际问题与二元一次方程组（3）
情境引入
前面我们学习了利用二元一次方程组解决和差倍分、路程、比例、生产配套等一些实际问题，下面继续学习利用二元一次方程组解决实际问题。
典例精讲
例1:如图,长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5 元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
·
长青化工厂
公路10千米
销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关. 因此，我们必须知道产品数量和原料数量．
销售款
原料费
运输费（公路和铁路）
产品数量
原料数量
要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”由此我们必须知道什么？
本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．
产品 x 吨 原料 y 吨 合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8000x
1000y
你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？
产品 x 吨 原料 y 吨 合计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
1.5×20x
1.5×10y
1.5(20x+10y)
1.2×110x
1.2×120y
1.2(110x+120y)
8000x
1000y
销售款：8000×300=2400000；
原料费：1000×400=400000；
运输费：15000+97200=112200．
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
这个实际问题的答案是什么？
归纳概念
当直接设未知数无法列出方程时，考虑间接设未知数．
（1）在什么情况下间接设未知数？
（2）如何解决信息量较大的实际问题？
可以借助表格或者图例解决问题
（3）解决实际问题的基本过程
实际问题
设未知数、列方程（组）
数学问题
二元一次方程组
解方程
（组）
数学问题的解
二元一次方程组的解
检 验
实际问题的答案
课堂练习
1.一批蔬菜要运往批发市场，菜农准备用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表．
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 4 5 28.5
第二次 3 6 27
这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完．如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？
解得
所以
（5×4＋2×2.5）× 20 ＝ 500
2.北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
解:设从北京运往武汉x台，则运往重庆(10-x)台，
设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，
解方程组得
x=4，
y=2.
x+ y=6，
400x+ 300y+800(10-x)+ 500(4-y)=8000.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
答:从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.
3.某果品公司通往甲、乙两地都要经过水路和陆路，这家公司从甲地购进一批水果运回公司加工成果汁再销往乙地，已知水路、陆路的运价及里程数如下表，若这两次运输支出水路运费10000元，陆路运费8000元，问该公司运进水果和运出果汁各多少吨？
水路 陆路
从甲地到公司（千米） 20 30
从公司到乙地（千米） 10 40
运价：元/(吨·千米) 2 1
分析：设运进水果x吨，运出果汁y吨
解得
水路运费 陆路运费
从甲地到公司
从公司到乙地
2 x·20
30x
2 y·10
40y
解：设该公司运进水果x吨，运出果汁y 吨，则
2 x·20＋2 y·10 = 10000
30 x＋40 y = 8000
解得
x = 240
y = 20
答：该公司运进水果240吨，运出果汁20吨.
4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元
蔬菜 5 1.5
荞麦 4 1
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？
作物品种 种植面积/公顷 需要人数 投入资金/万元
蔬菜 x 5x 1.5x
荞麦 y 4y y
合计 ----- 18 5
将题中出现的量在表格中呈现
解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷
根据题意可列出方程组：
解方程组，得：
故，承包田地的面积为： x+y=4 公顷
人员安排为为：
5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)
答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
课堂总结
1. 掌握间接设未知数解决问题的方法。
2. 在解决数量关系比较复杂的问题时，可借助图例或表格对相关
信息进行分类整理。
3. 掌握解决实际问题的建模思想。
作业布置
教材课后配套作业题。
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8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 学案
课题 8.3.3 实际问题与二元一次方程组（3） 单元 第8单元 学科 数学 年级 七年级下册
学习目标 1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.2.能够结合图表找出实际问题中的等量关系，列出方程组．3.感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力，体会数形结合的思想．
重点 分析复杂问题中的数量关系，建立方程组 ．
难点 感受间接设未知数解决实际问题的方法，培养分析问题，解决问题的能力．
教学过程
导入新课 【引入思考】上一节课我们重点研究如何建立二元一次方程组解决几何图形问题.今天我们继续深入探究稍复杂的实际问题与二元一次方程组.请同学们回顾一下，你是如何列出方程组解决实际问题的？
新知讲解 提炼概念（1）在什么情况下间接设未知数？ 当直接设未知数无法列出方程时，考虑间接设未知数．（2）如何解决信息量较大的实际问题？可以借助表格或者图例解决问题典例精讲 例 如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．公路运价为1. 5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？问题2 本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？问题3 你能完成下面的表格吗？ 产品x吨原料y吨合计公路运费（元）1.5×20x1.5×20x15000铁路运费（元）1.5×20x1.5×20x97200价值（元）8000x1000y问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？问题5 这个实际问题的答案是什么？归纳总结：（1）在什么情况下考虑选择设间接未知数？ （2）如何更好地分析“探究”这样数量关系比较复杂的实际问题？
课堂练习 巩固训练 1.一批蔬菜要运往批发市场，菜农准备用汽车公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的记录如下表． 甲种货车（辆）乙种货车（辆）总量（吨）第一次4528.5第二次3627这批蔬菜需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完．如果每吨付20元运费，问菜农应付运费多少元？2.北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用.3.某果品公司通往甲、乙两地都要经过水路和陆路，这家公司从甲地购进一批水果运回公司加工成果汁再销往乙地，已知水路、陆路的运价及里程数如下表，若这两次运输支出水路运费10000元，陆路运费8000元，问该公司运进水果和运出果汁各多少吨？ 水路陆路从甲地到公司（千米）2030从公司到乙地（千米）1040运价：元/(吨·千米)214.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：作物品种每公顷所需人数每公顷投入资金/万元蔬菜51.5荞麦41在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？答案引入思考提炼概念典例精讲 问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？”我们必须知道什么？销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此，我们必须知道产品的数量和原料的数量．问题2 本题涉及的量较多，这种情况下常用列表的方式来处理，列表直观、简洁．本题涉及哪两类量呢？一类是公路运费，铁路运费，价值；另一类是产品数量，原料数量．问题3 你能完成下面的表格吗？ 产品x吨原料y吨合计公路运费（元）1.5×20x1.5×20x15000铁路运费（元）1.5×20x1.5×20x97200价值（元）8000x1000y问题4 你发现等量关系了吗？如何列方程组并求解？解得：问题5 这个实际问题的答案是什么？销售款：8 000×300=2 400 000；原料费：1 000×400=400 000；运输费：15 000+97 200=112 200．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．巩固训练1.解：设甲种货车每辆可运x吨，乙种货车每辆可运y吨 。根据题意，得所以（5×4＋2×2.5）× 20 ＝ 500答：菜农应付运费500元．2.解:设从北京运往武汉x台，则运往重庆(10-x)台， 设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，解得答:从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.3.解：设该公司运进水果x吨，运出果汁y 吨，则解得答：该公司运进水果240吨，运出果汁20吨.4.解：设蔬菜种植x 公顷,荞麦种植y 公顷根据题意可列出方程组：解得故，承包田地的面积为： x+y=4 公顷人员安排为为： 5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)答：这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
课堂小结 回顾本节课的学习过程回答以下问题：（1）本节课你有哪些收获？（2）列方程解决实际问题的一般过程是什么？1. 掌握间接设未知数解决问题的方法。2. 在解决数量关系比较复杂的问题时，可借助图例或表格对相关信息进行分类整理。3. 掌握解决实际问题的建模思想。
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