人教版2021-2022学年八年级数学下册17.1勾股定理 （30张ppt）

(共30张PPT)
17.1 勾股定理(1)
人教版 八年级数学（下册）
——数形结合之美
学习目标
　1．经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理　　
　　 的一些文化历史背景，并能证明勾股定理；
　2．能用勾股定理解决一些简单问题.
　　国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术
会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如
图就是大会的会徽的图案．
创设情境　引入课题
　　问题1　你见过这个图案吗？
它由哪些基本图形组成？
　　追问　等腰直角三角形三条边之间有什么关系？
创设情境　引入课题
　　问题2　三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？　　
A
B
C
等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
毕达哥拉斯
问题3　在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
？
9
16
9
探究新知
“割”
“补”
“拼”
方法一：
方法二：
方法三：
分割为四个直角三角形和一个小正方形
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形
A的面积 B的面积 C的面积
左图
右图
4
？
9
16
9
结论:
25
13
追问　正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边
之间有怎样的特殊关系？
问题3　在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
　　猜想：
　　如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
斜边长为c，
猜想
　　问题4　通过前面的探究活动，直角三角形
三边之间有什么关系？
那么a2+b2=c2．
追问 以上直角三角形的边长都是具体的数值，
任意边长直角三角形三边有这样的关系吗？
c
a
b
1、你能用准备好四个全等的直角三角形不重合的拼成一个的正方形吗？拼一拼试试看（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）；
2、能否用不同的方法表示正方形的面积？
3、你能否就你拼出的图说明 a2+b2=c2？
验证猜想
11
12
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4 ab
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为
也可以表示为
(a+b)2
c2 +4 ab
证法一
“补”
3
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
4 ab-(b- a)2
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
=a2+b2
∴a2+b2=c2
c2
∵ c2= 4 ab +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
“赵爽弦图”
证法二
“割”
视频勾股定理.mp4
11
　
　　如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
斜边长为c，
勾股定理
那么a2+b2=c2．
（毕达哥拉斯定理）
a
b
c
符号语言：
A
B
C
AB2=BC2+AC2
BC2=AB2-AC2
AC2=AB2-BC2
在Rt ABC中，根据勾股定理得
作用：
Rt三角形的边长知二求一（线段长）
勾
股
弦
a
a
b
b
c
c
“总统证法”.
美国第二十任总统伽菲尔德的证法
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得
化简,得
证法三
杜梁伟证法
证法四
杜梁伟证法
证法五
“毕达哥拉斯证法”
∴a2+b2=c2
左图面积可以表示为：
右图面积可以表示为：
证法六
青朱出入图：以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。
约公元 263 年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。
证法七
a
b
c
无字证明
①
②
③
④
⑤
以刘徽的“青朱出入图”为代表，证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
意大利文艺复兴时代的著名画家达·芬奇对勾股定理进行了研究。
达·芬奇证法
证法八
Ⅰ
Ⅱ
A
a
B
C
b
D
E
F
O
Ⅰ
Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，求BC的长？
例1：

5
13
A
B
C
解：
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
BC2=AB2-AC2
=132-52
=144
5 12 13
在Rt△ABC中，AC=3，AB+BC=9，求AB、BC的长？
例2：
9-x
3
x
A
B
C
解：
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
AB2=BC2+AC2
∴x2=(9-x)2+32
3 4 5
设AB=x，则BC=9-x
∴x2=81-18x+x2+9
∴18x=90
∴x=5
则AB=5，BC=9-x=4
在Rt△ABC中，AC=1，∠B=30°，求AB、BC的长？
例3：
1
A
B
C
解：
根据勾股定理得
Rt△ABC中，∠B=30°
1 2
∴AB=2AC=2
2
1.求出下列直角三角形中未知边的长度:

8
15
A
B
C
解：
（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得
8 15 17
巩固练习
C
B
A
5
10
？
（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得
　　2.　如图，所有的三角形都是直角三角形，四
边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别
是12，16，9，12．求最大正方形E 的面积．
A
B
C
D
E
巩固练习
　　通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干　
个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一　
棵美丽的勾股树．
巩固练习
在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=2，求AB、BC的长？
能力提升
2
B
C
A
解:
根据勾股定理得
在Rt△ABC中，∠A=30°
∴AB=2BC=2x
设 BC=x
AB2-BC2=AC2
∴(2x)2--x2=22
∴3x2=4
∴x2=
∴x=
则AB= ，BC=
x
2x
在三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，
BC=3， CD是AB边上的高，求CD的长度？

4
3
A
B
C
D
能力提升
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，
小结
知道两条直角边，求斜边用 法；
加
Rt△ABC
知道斜边和一直角边，求另一直角边用 法。
减
那么 a2+b2=c2
1、勾股定理的内容？

2.勾股定理有什么作用？
3.阅读教科书、回看课件，总结勾股定理的其他证明方法．了解中国人的伟大和外国人的智慧．
Rt三角形的边长知二求一（线段长）