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初中数学人教版九年级上学期 第二十一章 21.2.2 公式法
一、基础巩固
1．（2019八下·温州期末）若关于x的方程x2+6x-a=0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（ ）
A．-10 B．-9 C．9 D．10
2．（2019八下·余杭期末）关于x的一元二次方程ax2+bx=2(a，b是常数，且a≠0)，（ ）
A．若a>0，则方程可能有两个相等的实数根
B．若a>0，则方程可能没有实数根
C．若a<0，则方程可能有两个相等的实数根
D．若a<0，则方程没有实数根
3．（2019八下·南浔期末）已知关于x的一元二次方程2x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
4．（2019·武昌模拟）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
二、强化提升
5．（2019八下·莲都期末）关于x的方程 至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．（2019九上·未央期末）用公式法解方程：x2-3x-4=0．
7．（2019八下·余姚期末）已知关于x的方程x2-3x+c=0有两个实数根，
（1）求c的取值范围
（2）若c为正整数，取符合条件的c的一个值，并求出此时原方程的根
8．（2019·北京模拟）已知关于x的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k为负整数．
（1）求k的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
三、真题演练
9．（2019·嘉兴）在 的括号中添加一个关于 的一次项，使方程有两个相等的实数根
10．（2019·宁波）能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A．m=-1 B．m=0 C．m=4 D．m=5
11．（2019·河南）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△=36+4a＜0，得a＜-9.
故答案为：A
【分析】二次方程无实数根，△<0， 据此列不等式，解不等式，在解集中取数即可。
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：将原方程转化为ax2＋bx 2＝0，
△＝b2 4×a×（ 2）＝b2＋8a
当a＞0时，△＞0，方程有两个不相等的实数根
当a＜0时，△＞0或△＝0或△＜0，方程可能有两个不相等的实数根或方程有两个相等的实数根或没有实数解．
故答案为：C
【分析】先把方程化为一般式，再求出判别式的值得到△＝b2＋8a，再分情况讨论：则a＞0时；当a＜0时，分别根据判别式的意义对各选项逐一判断即可。
3．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：△=b2-4ac=0,
∴（-4）2-4×2c=0,
∴8c=16, c=2 .
故答案为：2
【分析】一元二次方程有相等实数根的条件是△=0，据此列式即可求出c值。
4．【答案】解：△＝22﹣4×（﹣3）＝16>0，
x＝ ，
所以x1＝1，x2＝﹣3.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】由题意找出a、b、c的值，再根据一元二次方程的求根公式x=即可求解。
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ =（-8m）2-4m2·12=16m2≥0,又m≠0
∴无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，
∴x=,
∴x1=,x2=
∵ 关于x的方程 至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,
∴m=1或2或3或6，
∴ 满足条件的m的值的个数是 4个。
故答案为：B。
【分析】首先算出根的判别式的值，根据偶数次幂的非负性及方程的定义得出无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，然后利用求根公式用含m的式子表示出方程的两个根，进而根据关于x的方程 至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,即可得出符合条件的m的值，从而得出答案。
6．【答案】解：∵ =1， =-3， =-4
∴ = ，
∴ ，
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出b2-4ac的值，再代入一元二方程的求根公式，计算可求出方程的解。
7．【答案】（1）解：因为方程有两个实根，所以
△=b2-4ac=9-4c≥0
∴c≤
（2）解：∵c≤ ，且C为正整数，:c=1或c=2
取c=2
方程为x2-3x+2=0
解得:x1=1，x2=2
也可如下:
取c=1
方程为x2-3x+1=0
解得:x1= ，x2=
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）∵二次方程有两个实根，∴△≥0，列式解不等式即可。
（2）由题（1） 得c≤ ， 且C为正整数 ，∴C只能取1、2，分别将c=1或2代入原方程，解方程即可。
8．【答案】（1）解：根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（1﹣k）≥0，
解得 k≥﹣2．
∵k为负整数，
∴k=﹣1，﹣2．
（2）解：当k=﹣1时，错误，舍去；
当k=﹣2时，正确，此时方程的根为x1=x2=1．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据 一元二次方程有实数根，得 △ ≥0.求解即可。
（2）根据（1）得出两个k值，将其代入方程式，分别求解。只要满足方程有两个实数根即可。
9．【答案】 4x（只写一个即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵x2+（ ）+4=0，括号里是关于x的一次式
设x2+bx+4=0
∵此方程有两个相等的实数根
∴b2-16=0
解之：b=±4
故答案为：±4x
【分析】设已知方程为x2+bx+4=0，此有两个不相等的实数根，可得到b2-16=0，解方程求出b的值，就可得到答案。
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b -4ac=(-4) -4×1×m≥0，
解不等式得：m≤4，
由一元二次方程的根的判别式可知：当m≤4时，方程有实数根，
∴当m=5时，方程x -4x+m=0没有实数根。
故答案为：D
【分析】由一元二次方程的根的判别式可知，当b -4ac=(-4) -4×1×m≥0时，方程有实数根，解不等式可得m的范围，则不在m的取值范围内的值就是判断命题是假命题的值。
11．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程可化为： ，
， ， ，
，
方程有两个不相等的实数根。
故答案为：A。
【分析】首先将方程整理成一般形式，然后算出其根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，即可得出该方程有两个不相等的实数根。
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初中数学人教版九年级上学期 第二十一章 21.2.2 公式法
一、基础巩固
1．（2019八下·温州期末）若关于x的方程x2+6x-a=0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（ ）
A．-10 B．-9 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△=36+4a＜0，得a＜-9.
故答案为：A
【分析】二次方程无实数根，△<0， 据此列不等式，解不等式，在解集中取数即可。
2．（2019八下·余杭期末）关于x的一元二次方程ax2+bx=2(a，b是常数，且a≠0)，（ ）
A．若a>0，则方程可能有两个相等的实数根
B．若a>0，则方程可能没有实数根
C．若a<0，则方程可能有两个相等的实数根
D．若a<0，则方程没有实数根
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：将原方程转化为ax2＋bx 2＝0，
△＝b2 4×a×（ 2）＝b2＋8a
当a＞0时，△＞0，方程有两个不相等的实数根
当a＜0时，△＞0或△＝0或△＜0，方程可能有两个不相等的实数根或方程有两个相等的实数根或没有实数解．
故答案为：C
【分析】先把方程化为一般式，再求出判别式的值得到△＝b2＋8a，再分情况讨论：则a＞0时；当a＜0时，分别根据判别式的意义对各选项逐一判断即可。
3．（2019八下·南浔期末）已知关于x的一元二次方程2x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得：△=b2-4ac=0,
∴（-4）2-4×2c=0,
∴8c=16, c=2 .
故答案为：2
【分析】一元二次方程有相等实数根的条件是△=0，据此列式即可求出c值。
4．（2019·武昌模拟）解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
【答案】解：△＝22﹣4×（﹣3）＝16>0，
x＝ ，
所以x1＝1，x2＝﹣3.
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】由题意找出a、b、c的值，再根据一元二次方程的求根公式x=即可求解。
二、强化提升
5．（2019八下·莲都期末）关于x的方程 至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ =（-8m）2-4m2·12=16m2≥0,又m≠0
∴无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，
∴x=,
∴x1=,x2=
∵ 关于x的方程 至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,
∴m=1或2或3或6，
∴ 满足条件的m的值的个数是 4个。
故答案为：B。
【分析】首先算出根的判别式的值，根据偶数次幂的非负性及方程的定义得出无论m为不等于0的实数时，该方程总有实数根，然后利用求根公式用含m的式子表示出方程的两个根，进而根据关于x的方程 至少有一个正整数解 , 且m是整数 ,即可得出符合条件的m的值，从而得出答案。
6．（2019九上·未央期末）用公式法解方程：x2-3x-4=0．
【答案】解：∵ =1， =-3， =-4
∴ = ，
∴ ，
∴ ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先求出b2-4ac的值，再代入一元二方程的求根公式，计算可求出方程的解。
7．（2019八下·余姚期末）已知关于x的方程x2-3x+c=0有两个实数根，
（1）求c的取值范围
（2）若c为正整数，取符合条件的c的一个值，并求出此时原方程的根
【答案】（1）解：因为方程有两个实根，所以
△=b2-4ac=9-4c≥0
∴c≤
（2）解：∵c≤ ，且C为正整数，:c=1或c=2
取c=2
方程为x2-3x+2=0
解得:x1=1，x2=2
也可如下:
取c=1
方程为x2-3x+1=0
解得:x1= ，x2=
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）∵二次方程有两个实根，∴△≥0，列式解不等式即可。
（2）由题（1） 得c≤ ， 且C为正整数 ，∴C只能取1、2，分别将c=1或2代入原方程，解方程即可。
8．（2019·北京模拟）已知关于x的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k为负整数．
（1）求k的值；
（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．
【答案】（1）解：根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（1﹣k）≥0，
解得 k≥﹣2．
∵k为负整数，
∴k=﹣1，﹣2．
（2）解：当k=﹣1时，错误，舍去；
当k=﹣2时，正确，此时方程的根为x1=x2=1．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据 一元二次方程有实数根，得 △ ≥0.求解即可。
（2）根据（1）得出两个k值，将其代入方程式，分别求解。只要满足方程有两个实数根即可。
三、真题演练
9．（2019·嘉兴）在 的括号中添加一个关于 的一次项，使方程有两个相等的实数根
【答案】 4x（只写一个即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵x2+（ ）+4=0，括号里是关于x的一次式
设x2+bx+4=0
∵此方程有两个相等的实数根
∴b2-16=0
解之：b=±4
故答案为：±4x
【分析】设已知方程为x2+bx+4=0，此有两个不相等的实数根，可得到b2-16=0，解方程求出b的值，就可得到答案。
10．（2019·宁波）能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为（ ）
A．m=-1 B．m=0 C．m=4 D．m=5
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b -4ac=(-4) -4×1×m≥0，
解不等式得：m≤4，
由一元二次方程的根的判别式可知：当m≤4时，方程有实数根，
∴当m=5时，方程x -4x+m=0没有实数根。
故答案为：D
【分析】由一元二次方程的根的判别式可知，当b -4ac=(-4) -4×1×m≥0时，方程有实数根，解不等式可得m的范围，则不在m的取值范围内的值就是判断命题是假命题的值。
11．（2019·河南）一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：原方程可化为： ，
， ， ，
，
方程有两个不相等的实数根。
故答案为：A。
【分析】首先将方程整理成一般形式，然后算出其根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，即可得出该方程有两个不相等的实数根。
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