2021-2022学年鲁教版八年级数学下册第6章特殊平行四边形 解答题专题提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《第6章特殊平行四边形》
解答题专题提升训练2（附答案）
1．已知：点E在菱形ABCD的边BC的延长线上，AE交CD于点F，FG∥CE交DE于点G．
求证：FG＝FC．
2．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在边AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F．
（1）求证：PA＝PC；
（2）求证：PC⊥PE．
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，将边AB延长至点E，使AB＝BE，联结DE、EC，DE与BC交于点O．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠COE＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
4．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE．
5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．
6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．
（1）求证：OE＝AC；
（2）如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形．
7．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
8．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．
9．如图，已知△ABC是等边三角形，点D是BC延长线上的一个动点，以AD为边作等边△ADE，过点E作BC的平行线，分别交AB，AC的延长线于点F，G，联结BE．
（1）求证：△AEB≌△ADC；
（2）如果BC＝CD，判断四边形BCGE的形状，并说明理由．
10．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
11．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想
小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；
小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；
请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由．
12．如图，已知点E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，且CE＝CA，连接AE，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，连接BF、FD．
（1）求证：△FBC≌△FAD；
（2）连接BD，若，且AC＝10，求FC的值．
13．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接DE、AE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．
（1）求证：△ABE≌△DFA；
（2）如果AB＝6，EC：BE＝1：4，求线段DE的长．
14．已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．现给出四个条件：①AC⊥BD；②AC平分对角线BD；③AD∥BC；④∠OAD＝∠ODA．请你以其中的三个条件作为命题的题设，以“四边形ABCD为菱形”作为命题的结论．
（1）写出一个真命题，并证明；
（2）写出一个假命题，并举出一个反例说明（无需证明）．
15．如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点．
（1）求证：BE＝BF；
（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D＝2∠A．
16．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）联结CF，求证：∠BFC＝45°；
（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．
17．已知：如图四边形ABCD是菱形，E是对角线BD上的一点，联结AE、CE．求证：∠DAE＝∠DCE．
18．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：BH⊥DE；
（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．
19．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为BC中点，BD⊥DC，EA平分∠DEB．
（1）求证：AE＝DC；
（2）求证：四边形ABED是菱形．
20．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，DC∥AB，AD∥BC，
∵FG∥BC，
∴FG∥AD，
∴＝，＝，
∴＝，
∴FG＝FC．
2．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，
（2）作PM⊥AE于M，PN⊥CD于N，
∵PD平分∠ADC，
∴PM＝PN，
∵∠ADC＝90°，
∴PNDM是矩形，∠MPN＝90°，
在Rt△PME和Rt△PMC中，PC＝PE，PM＝PN，
∴Rt△PME≌Rt△PNC（HL），
∴∠MPE＝∠NPC，
∴∠MPN＝∠MPE+∠NPE＝∠NPC+∠NPE＝∠EPC＝90°．
∴PC⊥PE．
3．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AB＝BE，
∴BE＝CD，且BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A＝∠EBO，
∵∠COE＝2∠A＝2∠EBO，∠COE＝∠EBO+∠BEO，
∴∠EBO＝∠BEO，
∴BO＝EO，
由（1）得：四边形BECD是平行四边形，
∴，，
∴BC＝ED，
∴平行四边形BECD是矩形．
4．证明：（1）在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AO＝BO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）过点E作EF⊥BD于F，如图所示：
由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵BD＝AB，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∵EF⊥BD，
∴∠EFB＝∠EFD＝90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴FE＝FB，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠FDE，
在△ADE和△FDE中，
，
∴△ADE≌△FDE（AAS），
∴AD＝FD，AE＝FE，
∴AE＝FB，
∵BD＝FD+FB，
∴BD＝AD+AE．
5．证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠ABD＝∠ADE，
∴AB＝AD，
∵AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵△ADE≌△CDE，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵∠ABE＝2∠DCE，
∴∠ABE＝2∠DAE，
由（1）知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABE＝∠ADE＝2∠DAE
∴∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝3∠DAE，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠AEB＝3∠DAE，
∴∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝4∠DAE，
∵∠ABE+∠ADE+∠BAD＝180°，
∴2∠DAE+2∠DAE+4∠DAE＝180°，
∴4∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
6．证明：（1）过O作OF⊥CE于F，如图所示：
∵OC＝OE，
∴CF＝EF，
∵OF⊥CE，CE⊥CD，
∴OF∥CD，
∵AB∥DC，
∴OF∥AB，
∴OF是△ACE的中位线，
∴OA＝OC，
∴OE＝AC；
（2）∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△OCD中，
，
∴△AOB≌△OCD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴BC＝DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
7．证明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
8．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
9．证明：（1）∵等边△ABC和等边△ADE，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝60°，
∵∠BAE+∠EAC＝60°，∠DAC+∠EAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△AEB和△ADC中
∴△AEB≌△ADC（SAS）；
（2）解：四边形BCGE的形状是菱形，
理由是：∵△AEB≌△ADC
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABE＝∠ACD＝∠BCG＝120°，
∴∠DBE＝60°，
∴∠BCG+∠DBE＝180°，
∴BE∥CG，
∵BC∥EG，
∴四边形BCGE是平行四边形，
∵BC＝CD，
∴BE＝BC，
∴四边形平行四边形BCGE是菱形．
10．证明：（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD＝OC，
又OE＝OF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴，
∴，
即∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．（1分）
11．证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB，
∵EM⊥CD
∴四边形BCME是矩形，
∴EM＝BC，
同理HN＝AB，
∴EM＝HN，
由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，
∴∠FHN+∠HOG＝∠MEG+∠EON＝90°，
∵∠EON＝∠HOG，
∴∠FHN＝∠MEG，
∴△HFN≌△EGM，
∴EG＝HF；
小明的说法是正确的；
如图，在BC上找两个点F和F'，使BF'＝CF取AD的中点H，连接FH和F'H，
易证HF＝HF'，
作EG⊥HF'，其中点E在AB上，点G在CD上，
由上题可知EG＝F'H＝FH，
但HF和EG不互相垂直，
小亮的猜想是错误的．
12．（1）证明：∵CE＝AC，CF⊥AE，∴AF＝EF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°
∴在Rt△ABE中，BF＝AF，
∴∠FBA＝∠FAB，
∴∠FAD＝∠FBC，
∴△FBC≌△FAD；
（2）解：∵△FBC≌△FAD，∴FC＝FD，∠BFC＝∠AFD
∴∠BFD＝∠BFC+∠CFD＝∠AFD+∠CFD＝90°
∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10，
∵，且BD＝AC＝10，∴FB＝6，
在直角三角形BDF中，根据勾股定理得：FD＝8，
∴FC＝8．
13．证明：（1）由矩形ABCD，得∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，AD∥BC
由△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处，得△DFE≌△DCE
∴DF＝DC，∠DFE＝∠C＝90°，
∴DF＝AB，∠AFD＝90°，
∴∠AFD＝∠B，（2分）
由AD∥BC得∠DAF＝∠AEB，
∴△ABE≌△DFA；
（2）由EC：BE＝1：4，设CE＝x，BE＝4x，则AD＝BC＝5x，
由△ABE≌△DFA，得AF＝BE＝4x
在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF＝3x
又∵DF＝CD＝AB＝6，
∴x＝2
在Rt△DCE中，DE＝．
14．解：（1）如：若AC⊥BD，AC平分线段BD，AD∥BC，则四边形ABCD是菱形．
证明：如图，设AC与BD交于上点O．
∵AC平分BD
∴BO＝DO
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO
在△AOD和△COB中，
∵，
∴△AOD≌△COB（ASA）
∴AO＝CO
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形；
（2）如：若AC平分BD，AD∥BC，∠OAD＝∠ODA，则四边形ABCD是菱形．
反例：如图，四边形ABCD为矩形．
15．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C，AB＝BC＝AD＝CD，
∵点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点，
∴AE＝AD，CF＝CD，
∴AE＝CF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE＝BF；
（2）如图，连接AC、BD交于点O，设BD与EF交于G，AC与BE交于H，则AC⊥BD，
∵BE＝BF，ED＝DF，
∴BD是EF的垂直平分线，
∴EG＝FG，∠EBG＝∠EBF＝30°，
Rt△BEG中，设EG＝x，则BE＝2x，BG＝x，
∵EG∥AO，E为AD的中点，
∴G是OD的中点，
∴AO＝2EG＝2x，OB＝x，
∵OH∥GE，
∴OH＝，BH＝x，
∴AH＝AO﹣OH＝2x﹣x＝x，
∴AH＝BH，
∴∠HAB＝∠ABH，
∵∠BHC＝∠HAB+∠ABH＝60°，
∴∠HAB＝30°，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠ADC＝2∠DAB，即∠D＝2∠A．
16．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE，
∵BF⊥DE，
∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC，
∴∠CBG＝∠EDC，
在Rt△BCG与Rt△DCE中，
∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA），
∴CG＝CE．
（2）作CM⊥CF交BF于点M，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠E＝∠BGC，
∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°，
∴∠MCG＝∠FCE，
在△MCG和△FCE中，
，
∴△MCG≌△FCE（ASA），
∴MG＝FE，MC＝FC，
∴△MCF为等腰直角三角形，
∴∠BFC＝45°．
（3）作CN⊥BF于点N，
∴△CNF为等腰直角三角形，CN＝NF，
∵G为CD中点，正方形ABCD的边长为2，
∴CG＝DG＝CE＝1，
∴BG＝DE＝＝，
∴BC CG＝BG CN，
∴CN＝＝＝，
在△CNG和△DFG中，
，
∴△CNG≌△DFG（AAS），
∴DF＝CN＝，
∴EF＝DE﹣DF＝﹣＝．
17．证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DAE＝∠DCE．
18．（1）证明：
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
同理：CG＝CE，
∠GCE＝90°，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠GBC+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，
∴BH⊥DE；
（2）连接BD，
∵点H为DE中点，BH⊥DE，
∴BH为DE的垂直平分线，
∴BE＝BD，
∵BC＝CD＝1，
∴BD＝＝，
∴BE＝BD＝，
∵CE＝BE﹣BC＝﹣1，
∴CG＝CE＝﹣1．
19．证明：（1）∵E为BC中点，BD⊥DC，
∴DE＝BC＝BE＝CE，
∵EA平分∠DEB，
∴∠AEB＝∠AED，
∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AEB，AD∥CE，
∴∠DAE＝∠AED，
∴AD＝DE，
∴AD＝CE，
∴四边形AECD平行四边形，
∴AE＝DC；
（2）由（1）知，四边形AECD平行四边形，
∴AD∥CE，AD＝CE，
∴AD∥BE，
由（1）知，DE＝BE＝CE，
∴AD＝BE＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED是菱形．
20．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（﹣6，8）．
∴∠BAD＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BC＝8，
∴BO＝＝10；
由折叠的性质得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD，
∴OE＝BO﹣BE＝10﹣6＝4，∠OED＝90°，
设D（0，a），则OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2，
即（8﹣a）2+42＝a2，解得：a＝5，
∴D（0，5）；
（2）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）；理由如下：
①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，
∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；
②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示：
则OG＝OE＝2，
∵OA＝8，OD＝5，
∴AD＝DE＝3，
∴E到y轴的距离＝＝＝，
∴OH＝，
∵EM2﹣MH2＝42﹣（）2，
∴OM2﹣（OM﹣）2＝42﹣（）2，
解得：OM＝，
∴M（﹣，0）；
③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示：
同②得：M（﹣，0）；
综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．