2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6.3正方形的性质与判定》同步达标测试（Word版 附答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．正方形具备而菱形不具备的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．四个角都是直角
C．对角线互相垂直平分 D．每条对角线平分一组对角
2．正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为（　　）
A．4 B．8 C．2 D．4
3．如图，正方形ABCD中，延长AB至E，使AE＝AC，连接CE，则∠BCE＝（　　）
A．10° B．20° C．30° D．22.5°
4．已知四边形ABCD是平行四边形，则下列结论中正确的是（　　）
A．当AB⊥BD时，它是菱形 B．当AC＝BD时，它是正方形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AB＝BC时，它是矩形
5．如图，将一个正方形剪去一个角后，∠1+∠2等于（　　）
A．120° B．170° C．220° D．270°
6．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
7．如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（　　）
A．55° B．75° C．65° D．60°
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
9．如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（﹣3，1），则C点的坐标是（　　）
A．（1，3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，1）
10．如图，正方形ABCD和 AEFC，点B在EF边上，若正方形ABCD和 AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．要使矩形ABCD成为正方形，可添加的条件是　 　（写一个即可）．
12．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为　 　．
13．如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 　 　．
14．如图，四边形ABCD是矩形，则只须补充条件　 　（用字母表示只添加一个条件）就可以判定四边形ABCD是正方形．
15．如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是　 　．
16．如图，正方形ABCD．延长BC到E，连接AE，若CE＝BC，则∠AEB＝　 　．
17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝　 　°．
18．如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．
（1）AM的长为　 　；
（2）EM+AF的最小值为　 　．
三．解答题（共6小题）
19．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
（1）证明：△ADE≌△CBF．
（2）若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
20．如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF．
（2）若AF＝10，求AE的长．
21．如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若S△CEF＝2，求EF的长．
22．已知，如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G．
（1）求证：△ABF≌△DAG．
（2）若FG＝1，DG＝2，求AB的长．
23．正方形ABCD中，M为射线CD上一点（不与D重合），以CM为边，在正方形ABCD的异侧作正方形CFGM，连接BM，DF，直线BM与DF交于点E．
（1）如图1，若M在CD的延长线上，求证：DF＝BM，DF⊥BM；
（2）如图2，若M移到边CD上．
①在（1）中结论是否仍成立？（直接回答不需证明）
②连接BD，若BD＝BF，且正方形CFGM的边长为1，试求正方形ABCD的周长．
24．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A、正方形和菱形均具有，故不正确；
B、菱形的四个角相等但不一定是直角，故正确；
C、正方形和菱形均具有此性质，故不正确；
D、正方形和菱形均具有此性质，故不正确；
故选：B．
2．解：因为正方形ABCD的一条对角线长为2，
设正方形的边长为a，
根据勾股定理，得a2+a2＝22，
解得a＝，
所以正方形的边长为，
则正方形ABCD的周长为4．
故选：D．
3．解：∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠ACE+∠AEC+∠CAE＝180°，
∴∠ACE＝∠AEC＝67.5°，
∴∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：D．
4．解：A、当AB⊥BD时，∠ABD＝90°，则∠ABC＞90°，当AC⊥BD，四边形ABCD是菱形，故A错误；
B、由四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，则四边形ABCD为矩形，故B错误；
C、当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形，故C正确；
D、由四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，则四边形ABCD为菱形，故D错误．
故选：C．
5．解：∵∠1＝∠A+∠3，∠2＝∠A+∠4，
∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4+∠A＝180°+90°＝270°．
故选：D．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
7．解：∵四边形CEFG是正方形，
∴∠CEF＝90°，
∵∠CED＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，
∴∠D＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝180°﹣62°﹣43°＝75°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D＝75°（平行四边形对角相等）．
故选：B．
8．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
9．解：如图所示：作CD⊥x轴于D，作AE⊥x轴于E，
则∠AEO＝∠ODC＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝CO＝BA，∠AOC＝90°，
∴∠AOE+∠COD＝90°，
∴∠OAE＝∠COD，
在△AOE和△OCD中，
，
∴△AOE≌△OCD（AAS），
∴AE＝OD，OE＝CD，
∵点A的坐标是（﹣3，1），
∴OE＝3，AE＝1，
∴OD＝1，CD＝3，
∴C（1，3），
故选：A．
10．解：如图所示，连接BD交AC于O，则AC⊥BD，
正方形ABCD的面积S1＝AC×BD＝AC×BO，
AEFC的面积S2＝AC×BO，
∴S1＝S2，
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB＝BC或BC＝CD或CD＝DA或DA＝AB或AC⊥BD．
故答案为：AB＝BC．
12．解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，
又∵DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝3，
∴在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE（SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∵在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴BE＝5，
∴BE CG＝BC CE，
∴CG＝＝＝，
∵△CDF≌△BCE（SAS），
∴CF＝BE＝5，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝2.6．
故答案为：2.6．
13．解：如右图，连接AE，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵AD＝DE，∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°．
14．解：因为有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．
15．解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥DC于点F，设两个正方形的边的交点分别为点G和点H，如图所示：
则有∠OEG＝∠OFD＝∠D＝90°，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴四边形OEDF为正方形．
∵∠GOH＝90°，∠EOF＝90°，
∴∠EOG＝∠FOH，
在△EOG和△FOH中，
，
∴△EOG≌△FOH（ASA）．
∴阴影部分的面积等于正方形OEDF的面积，
∵两个边长均为6的正方形重叠在一起，
∴正方形OEDF的面积为：3×3＝9．
∴阴影部分的面积为9．
故答案为：9．
16．解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BC，∠ACB＝45°，
∵CE＝BC，
∴AC＝CE，
∴∠AEB＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝22.5°．
故答案为22.5°．
17．解：∵正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADF＝90°，∠BAE＝56°，
∴∠DAF＝34°，∠DFE＝56°，
∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝34°，
∵∠DFE是△CEF的外角，
∴∠CEF＝∠DFE﹣∠DCE＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22．
18．解：（1）∵正方形ABCD的边长为2，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∵M是BC的中点，
∴BM＝，
∴，
故答案为：；
（2）过F作FG⊥AB于G，则FG＝BC＝AB，∠ABM＝∠FGE＝90°，
∵EF⊥AM，
∴∠BAM+∠AEN＝∠AEN+∠GFE＝90°，
∴∠BAM＝∠GFE，
∴△ABM≌△FGE（SAS），
∴AM＝EF，
将EF沿EM方向平移至MH，连接FH，则EF＝MH，∠AMH＝90°，EM＝FH，
当A、F、H三点共线时，EM+AF＝FH+AF＝AH的值最小，
此时EM+AF＝AH＝，
∴EM+AF的最小值为，
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．（1）证明：由正方形对角线平分每一组对角可知：∠DAE＝∠BCF＝45°，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）解：∵AB＝AD＝，
∴BD＝＝＝8，
由正方形对角线相等且互相垂直平分可得：AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，
又AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF＝4﹣2＝2，
故四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
∴DE＝＝＝2．
∴4DE＝，
故四边形BEDF的周长为8．
20．证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，
∴∠ABF+∠CBF＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵AF＝10，AD＝8，
∴DF＝＝＝6，
∴CF＝8﹣6＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴AE＝2．
21．解：（1）如图，取AB的中点M，连接ME，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠DCG＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴AM＝EC＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠DCF＝∠FCG＝45°，
∴∠ECF＝180°﹣∠FCG＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
又∠AEB+∠MAE＝90°，
∴∠MAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）∵△AME≌△ECF，
∴S△AME＝S△ECF＝2，AE＝EF，
∴2＝×AM×BE，
∴4＝BE2，
∴BE＝2，
∴AB＝4，
∴AE＝＝＝2，
∴AE＝EF＝2．
22．（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAG+∠DAG＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠BFA＝∠AGD＝90°，∠BAG+∠ABF＝90°，
∴∠DAG＝∠ABF，
∴△ABF≌△DAG（AAS）；
（2）∵△ABF≌△DAG，
∴AF＝DG＝2，
∵FG＝1，
∴AG＝AF+FG＝3，
∴BF＝AG＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝．
23．解：（1）证明：∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
（2）①成立．
∵四边形ABCD与四边形CFGM都是正方形，
∴∠BCM＝∠FCD＝90°，BC＝CD，CM＝CF．
在△BCM和△DCF中，
，
∴△BCM≌△DCF（SAS）．
∴DF＝BM，∠CFD＝∠CMB．
∵∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM+∠CFD＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BM；
②设正方形ABCD的边长为x，则BC＝CD＝x，
∴BD＝＝x，
∵正方形CFGM的边长为1，
∴BF＝BC+CF＝x+1．
∵BD＝BF，
∴x＝x+1，
∴x＝+1．
∴4x＝4+4．
∴正方形ABCD的周长为4+4．
24．证明：（1）如图1：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，
则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△EAF中，
，
∴△GAF≌△EAF（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）当∠BAD＝2∠EAF时，仍有EF＝BE+FD，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，
，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF．