2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》同步达标测试（Word版 附答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两条直角边分别相等
B．斜边及一锐角分别相等
C．两边分别相等的直角三角形
D．一条直角边相等，另一条直角边上的中线相等
2．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点
3．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面．然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m．则旗杆高度为（　　）（滑轮上方的部分忽略不计）
A．12m B．13m C．16m D．17m
4．如图，OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，延长DB交∠AOC的边于点A，∠A＝45°，若BD＝2，则AB长为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
5．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC 和AC上，若AD＝AE，则下列结论错误的是（　　）
A．∠ADB＝∠ACB+∠CAD B．∠ADE＝∠AED
C．∠CDE＝∠BAD D．∠AED＝2∠ECD
7．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC的各边上，且DE⊥BC于E，若AB＝1，则DB的长为（　　）
A． B． C． D．
8．用反证法证明“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，第一步应假设为（　　）
A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数
9．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为（　　）
A．5 B． C．4 D．
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是　 　cm．
12．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线ED交AB于点E，交BC于点D，连接CE．如果△AEC的周长为12，AC＝5，那么AB的长为　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，若BC＝5，AD＝4，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠BDC＝90°，AD＝2，∠ADB＝∠C，则点D到BC边的距离等于　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有　 　（将所有正确答案的序号都填在横线上）
①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　 　．
三．解答题（共6小题，满分50分）
17．如图，在ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
18．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
20．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动的时间为t s，解答下列问题：
（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？说明理由．
（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．
21．已知：如图，△ABC中，∠CAB的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F，作DM垂直于AB交AB于点M．
（1）猜想CF和BM之间有何数量关系，并说明理由；
（2）求证：AB﹣AC＝2CF．
22．如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC＝2BE．
（1）求证：∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）若将条件“AB+BC＝2BE”与结论“∠BAD+∠BCD＝180°”互换，结论还成立吗？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A、有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故选项A不符合题意；
B、斜边及一锐角分别相等的的两个直角三角形全等，故选项B不符合题意；
C、两边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故选项C符合题意；
D、一条直角边相等，另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：D．
3．解：设旗杆高度为x，则AC＝AD＝x，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17，
即旗杆的高度为17米．
故选：D．
4． 解：如图，过B点作BE⊥OA于E，
∵OP是∠AOC的平分线，点B在OP上，BD⊥OC于D，BD＝2，
∴BE＝BD＝2，
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠A＝45°，
∴AB＝BE＝2．
故选：C．
5．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，
∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，
∴AB+BC+AC＝19cm，AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝6cm，
∴AE＝3cm，
故选：A．
6．解：∵∠ADB是△ACD的外角，
∴∠ADB＝∠ACB+∠CAD，选项A正确；
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，选项B正确；
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠CDE+∠C，
∴∠CDE+∠C+∠CDE＝∠B+∠BAD，
∴∠CDE＝∠BAD，选项C正确；
∵∠AED＝∠ECD+∠CDE，∠ECD与∠CDE不一定相等，
∴选项D错误．
故选：D．
7．解：∵∠DEB＝90°
∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°
∴∠ADF＝180﹣30°﹣60°＝90°
同理∠EFC＝90°
又∵∠A＝∠B＝∠C，DE＝DF＝EF
∴△BED≌△ADF≌△CFE
∴AD＝BE
设BE＝x，则BD＝2x，∴由勾股定理得BE＝，
∴BD＝．
故选：C．
8．解：用反证法证明一个命题成立，首先假设命题的否定成立．
“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的反面是“自然数a、b、c中至少两个偶数或都是偶数”．
故选：B．
9．解：由题意可得，
OC为∠MON的角平分线，
∵OA＝OB，OC平分∠AOB，
∴OC⊥AB，
设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，
∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，
∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，
∴CD＝4，
∵，
∴，
解得，BE＝，
故选：B．
10．解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°．
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝30°，
∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，
∴∠AEP＝60°，BE＝EC．
又AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠EAP＝60°，
则∠AEP＝∠EAP＝60°，
∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，
在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，
∴BE＝EC＝4，
∴AC＝CE+AE＝6．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝18cm，
故答案为：18
12．解：∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴△AEC的周长＝AC+CE+AE＝AC+AB＝12．
∵AC＝5，
∴AB＝12﹣5＝7．
故答案是：7．
13．解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABD、△ACD关于AD对称，△BEF与△CEF关于AD对称，
∴S△DFB＝S△DFC，S△EBF＝S△ECF，S△BE＝S△ACE，
∴S阴＝S△ABC＝×BC×AD＝××5×4＝5．
故答案为5．
14．解：
过D作DE⊥BC于E，则点D到BC边的距离是DE的长度，
∵∠A＝90°，∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠A＝90°，DE⊥BC，AD＝2，
∴AD＝DE＝2，
故答案为：2．
15．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；
∴CD＝BD，
∵AD＝BD，
∴CD＝AB；故②正确；
∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；
∵若∠E＝30°，
∴∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，
∴CF＝DF，
∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．
故答案为：①②④．
16．解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC＝AB CM＝AC BC，
∴CM＝，
即PC+PQ的最小值为．
故答案为．
三．解答题（共6小题，满分50分）
17．证明：∵FD∥AC
∴∠PFD＝∠E，∠FDB＝∠C，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠E+∠C＝90°，
∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF即△AEF是等腰三角形．
18．（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝15°+45°＝60°．
19．解：（1）∠ABE＝∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD；
（2）连接AF．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
由（1）可知∠ABE＝∠ACD，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵AB＝AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
20．解：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．
理由是：
∵AB＝AC＝BC＝6cm，∴当点Q到达点C时，BP＝3cm，
∴点P为AB的中点．
∴QP⊥BA（等边三角形三线合一的性质）．
（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，
∴BP＝PQ＝BQ，
∴6﹣t＝2t，
解得t＝2．
∴当t＝2时，△BPQ是个等边三角形．
21．解：（1）CF＝BM．
理由：连接CD，DB，
∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DM⊥AB，
∴DF＝DM．∠AFD＝∠DMB＝90°．
∵DE垂直平分BC，
∴CD＝BD．
在Rt△CDF和Rt△BDM中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDM．
∴CF＝BM；
（2）证明：在Rt△AFD和Rt△AMD中
，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD，
∴AF＝AM．
∵AB＝AM+BM，AF＝AC+CF，AF＝AM，BM＝CF，
∴AB＝AF+BM，
∴AB＝AC+CF+CF，
∴AB﹣AC＝2CF．
22．（1）证明：过D作DF⊥BA，垂足为F，
∵AB+BC＝2BE，
∴AB＝BE+BE﹣BC，
AB＝BE+BE﹣BE﹣EC，
AB＝BE﹣EC，
AB+EC＝BE，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF＝DE，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB＝BE，
∴AB+AF＝BE，
又∵AB+EC＝BE，
∴AF＝EC，
在△AFD和△CED中，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴∠DCE＝∠FAD，
∵∠BAD+∠FAD＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°；
（2）解：可以互换，结论仍然成立．理由如下：
过D作DF⊥BA，垂足为F，
∵∠BAD+∠FAD＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°
∴∠DCE＝∠FAD，
∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF＝DE，
在△AFD和△CED中，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
在Rt△BFD和Rt△BED中，
∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），
∴FB＝BE，
∴AB+AF＝BE，
AB＝BE﹣AF＝BE﹣EC＝BE﹣（BC﹣BE）＝BE﹣BC+BE＝2BE﹣BC，
即：AB+BC＝2BE．