2021—2022学年 人教版八年级数学下册18.1.2 平行四边形的判定 课后练习（word版含答案）

2021——2022学年度人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定 课后练习
一、选择题
1．下列给出的条件能判定四边形 ABCD为平行四边形的是 （ ）
A．AB//CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
2．已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（　　）
A．ABCD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．ABCD，AB＝CD D．AB＝CD，∠A＝∠C
3．如图，若AB//CD，AC交BD于点O，则下列条件中不能说明四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD∥BC B．OA＝OC C．AD＝AB D．AB＝CD
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
5．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，当四边形ABCD是平行四边形时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
8．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（　　）
A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②④
9．如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的线段EF，分别交AD，BC于点E，F，当AE＝ED时，△AOE的面积为4，则四边形EFCD的面积是（　　）
A．8 B．12 C．16 D．32
10．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
二、填空题
11．在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．
12．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M、N分别为AB、BC的中点，若OM＝1.5，ON＝1，则平行四边形ABCD的周长是________．
13．如图，在 ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作AC的垂线，交边AD于点P，交边BC于点Q，连接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，则PC＋AQ的最小值为________________．
14．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为_______．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，点D为边AC的中点，点P为边BC上任意一点，若将△CDP沿DP折叠得△EDP，若点E在△ABC的中位线上，则CP的长度为 __________________．
三、解答题
16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于О点，于E点，于F．
（1）求证：四边形DEBF为平行四边形；
（2）若，，，求的面积．
17．如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．
18．如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点
（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：
（2）如图2，中，，求线段EF的长．
19．如图，四边形中，，，过点作，垂足为，且．连接，交于点．
（1）探究与的数量关系，并证明；
（2）探究线段，，的数量关系，并证明你的结论．
20．已知，在中，，，点D为BC的中点．
（1）观察猜想
如图①，若点E、F分别是AB、AC的中点，则线段DE与DF的数量关系是______________；线段DE与DF的位置关系是______________．
（2）类比探究
如图②，若点E、F分别是AB、AC上的点，且，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明：若不成立，请说明理由；
（3）解决问题
如图③，若点E、F分别为AB、CA延长线的点，且，请直接写出的面积．
21．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F，作EG∥AB交CB于点G．
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）求证：CF＝BG；
（3）若F是CG的中点，EF＝1，求AB的长．
22．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动与，不重合，是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动不与重合，过作于点，连接交于点．
（1）若设AP=x，则PC= ，QC= ；(用含x的式子表示)
（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（3）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．
23．如图，△AOB是等腰直角三角形．
（1）若A（﹣4，1），求点B的坐标；
（2）AN⊥y轴，垂足为N，BM⊥y轴，垂足为点M，点P是AB的中点，连PM，求∠PMO度数；
（3）在（2）的条件下，点Q是ON的中点，连PQ，求证：PQ⊥AM．
【参考答案】
1．C 2．C 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．C 10．C
11．10或14或10
12．10
13．
14．8
15．2或8﹣2
16．（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，，
，
∴DE=BF，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，
，即，
，即，
①，
又②，
联立①、②得：，
，
则的面积为．
17．证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD,AB=CD
，
四边形BEDF是平行四边形.
（2）由（1）得：
∴AE=EF=CF
四边形BEDF是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形，
，
18．解：（1）证明：∵AE平分，，
∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA）
∴BE=ED，AD=AB，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)；
（2）解：分别延长BE、AC交于点H，
∵AE平分，，
∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，
在△AEB和△AEH中，
，
∴△AEB≌△AEH（ASA）
∴BE=EH，AH=AB=9，
∵点F是BC的中点，
∴BF=FC，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF=CH=(AH-AC)=2．
19．解：（1）∠DAE+∠CAE=90°，
理由：设∠CAE=，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=45°+，
∵AC=AD，
∴∠DCA=∠ADC=45°+，
∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2，
∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2++=90°；
（2）AF=EF+CE，
理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG，
∵CD∥AB，
∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，
∴CE=EG，AE=BE，
又∵∠CEA=∠GEB=90°，
∴△CEA≌△GEB，
∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，
∴∠CAE=∠GBE，
∵∠GEB=90°，
∴∠AGB+∠GBE=90°，
∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠DAE=∠AGB，
∴AD∥BG，
∵DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AF=GF，
∵GF=EF+GE=EF+CE，
∴AF=EF+CE．
20．解：（1）∵点E、F、D分别是AB、AC、BC的中点，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∴即，
故答案为：，；
（2）结论成立：，，
证明：如图所示，连接，
∵，，D为BC的中点，
∴，且AD平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，即；
（3）如图所示，连接AD，
∵，，D为BC的中点，
∴∴，且AD平分，，
∴，
∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，
∴∠FAD=∠EBD,
在在和中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
21．（1）证明：过E作EM∥BC交AB于M，
∵EG∥AB，
∴四边形EMBG是平行四边形，
∴BG＝EM，∠B＝∠EMD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠1+∠7＝90°，∠2+∠3＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠4，
∴∠4＝∠7，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）证明：
过E作EM∥BC交AB于M，则四边形EMBG是平行四边形，
∴BG=EM，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B＝∠EMD，
∵在△CAE和△MAE中
，
∴△CAE≌△MAE（AAS），
∴CE＝EM，
∵CE＝CF，EM＝BG，
∴CF＝BG．
（3）∵CD⊥AB，EG∥AB，
∴EG⊥CD，
∴∠CEG＝90°，
∵CF＝FG，
∴EF＝CF＝FG，
∵CE＝CF，
∴CE＝CF＝EF＝1，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠ECF＝60°，
∴BC＝3，∠B＝30°，
∴
∴Rt△ABC中
∴
解得．
22．解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，
设AP＝x，则PC＝6 x，QB＝x，
∴QC＝QB＋BC＝6＋x，
故答案为：6 x，6＋x；
（2）∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6 x＝（6＋x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
如图，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，
在△APE和△BQF中，
∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，
∴在△APE和△BQF中，，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE＝EF，
∵EB＋AE＝BE＋BF＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
23．解：（1）如图所示，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，
∴∠AEO=∠OFB=90°，
∴∠AOE+∠OAE=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∴∠OAE=∠BOF，
∵AO=OB，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
∴OF=AE，BF=OE，
∵点A的坐标为（-4，1），
∴OF=AE=1，BF=OE=4，
∴点B的坐标为（1，4）；
（2）如图所示，延长MP与AN交于H，
∵AH⊥y轴，BM⊥y轴，
∴BM∥AN，
∴∠MBP=∠HAP，∠AHP=∠BMP，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP，
∴△APH≌△BPM（AAS），
∴AH=BM，
∵A点坐标为（-4，1），B点坐标为（1，4），
∴AN=4，OM=4，BM=1，ON=1，
∴HN=AN-AH=AN-BM=3，MN=OM-ON=3，
∴HN=MN，
∴∠NHM=∠NMH=45°，即∠PMO=45°；
（3）如图所示，连接OP，AM，取BM中点G，连接GP，
∴GP是△ABM的中位线，
∴AM∥GP，
∵Q是ON的中点，G是BM的中点，ON=BM=1，
∴，
∵P是AB中点，△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，
∴，∠OAB=∠OBA=45°，∠OPB=90°
∴∠PAO=∠POA=45°，
∴∠POB=45°，
∵∠NAO+∠NOA=90°，∠NOA+∠BON=90°，
∴∠NAO=∠BON，
∵∠OAB=∠POB=45°，
∴∠BAN+∠NAO=∠POQ+∠BON，即∠BAN=∠POQ，
由（2）得∠GBP=∠BAN，
∴∠GBP=∠QOP，
∴△PQO≌△PGB（SAS），
∴∠OPQ=∠BPG，
∵∠OPQ+∠BPQ=90°，
∴∠BPG+∠BPQ=90°，即∠GPQ=90°，
∴PQ⊥PG，
∴PG⊥AM；