课件26张PPT。 命题与证明
(一)命题 电视里正在播放精彩的乒乓球比赛，奶奶边看比赛边说：打得好！打得好！可惜播音员不识数……孙子听了不解地问：人家咋不识数？ 奶奶说：明明是两个人在打球，他却说单打；明明是四个人在打球，他却说双打，你说他识数不识数？情景引入： 可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行。 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。例如: 1、“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义;2、 “两点之间 线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是
“ ”的定义;两点之间的距离请说出下列名词的定义：
⑴无理数：
⑵直角三角形：
⑶一次函数：
无限不循环小数叫做无理数。有一个角是直角的三角形叫做
直角三角形。一般地，形如y＝kx＋b（k、b都是常数
且k≠0）叫做一次函数。巩固练习： 判断一件事情的语句，叫做命题。
我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：
（1） 两条直线相交，只有一个交点；
（2）画线段AB= 3 厘米；
判断一件事情的语句，叫做命题
注意：命题的定义包含两层含义：
1、命题必须是一个完整的句子；
2、这个句子必须对事情做出判断。一.命题定义： 下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？
1、对顶角相等；
2、画一个角等于已知角；
3、两直线平行，同位角相等；
4、a、b两条直线平行吗？
5、温柔的李明明；
6、玫瑰花是动物；
7、若a2＝4，求a的值；
8、若a2＝b2，则a＝b。否是否否是否是是巩固练习： 下列语句中，哪些是命题？哪些不是？
1.直线a⊥b;
2.同位角都相等吗？
3.如果∠1+∠2=90°,
那么∠1与∠2互余；
4.“0”不能做分母；
5.如果邻补角相等，那么它们的公共边与
另一边垂直.不是是不是是是巩固练习： 题设：已知事项
结论：由已知事项推出的事项
二.命题结构： 每个命题都是由题设、结论
两部分组成.例：指出下列命题的题设、结论：
1)如果两直线相交，那么它们只有一个交点；2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内
角互补， 那么这两条直线平行；
3)如果∠1=∠2 , ∠2=∠3，那么∠1=∠3；
4)两条平行线被第三条直线所截，内错角相
等.
5)如果∠1+∠2=90°,那么∠1与∠2互余；
6)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另
一边垂直.三、命题的一般形态 通常一个命题都可以写成形式：
“如果……，那么……。”
“若……，则……。”
把下列命题写成“如果······那么······”的形式，并指出哪是题设？哪是结论？
1)对顶角相等；
2)两直线平行，同位角相等；
3)和为0的两个数互为相反数；
4)若a∥b，b∥c，则a∥c；
5)等角的余角相等；
6)垂直于同一直线的两直线平行；1) 如果两个角是对顶角，
那么这两个角相等.2) 如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的同位角相等.3) 如果两个数的和为0，
那么这两个数互为相反数.4) 如果a∥b，b∥c,
那么a∥c.5) 如果两个角相等，
那么这两个角的余角也相等.6) 如果两条直线都垂直于同一直线，
那么这两条直线平行. 你能在下面的命题都写成“如果……,那么……”的形式吗?(1)熊猫没有翅膀；(2)对顶角相等；如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。如果两个角是对顶角，那么它们就相等。(3)全等三角形的对应边相等；如果两个三角形全等，那么它们的对应边就相等。
(4)平行四边形的对边相等；如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边就相等。
四、命题的分类真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
假命题：如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题。
例.判断下列命题的真假：
1)如果x=0,那么xy=0;
2)如果x2=y2,那么x=y;
3)对顶角相等；
4)相等的角是对顶角；
5)如果︱x︱=2,那么x=2;
6)-a表示的一定是负数.真命题假命题真命题假命题假命题假命题 下列句子哪些是命题？是命题的，指出
是真命题还是假命题？1、猪有四只脚；
2、三角形两边之和大于第三边；
3、画一条曲线；
4、四边形都是菱形；
5、你的作业做完了吗？
6、同位角相等，两直线平行；
7、对顶角相等；
8、多边形的内角和等于180度；
9、过点P做线段MN的垂线。练一练是真命题不是是真命题是假命题不是是真命题是真命题是假命题不是（1）“两负数之积为正数”
题设是 ，
结论是 ；
（2）两点之间，线段最短
改写成“如果 ，
那么 ”试一试：（3）如果两个角互补，那么它们是 邻补角。它是 命题
两个负数相乘结果为正数过两点画线 这些线中，线段最短假定理 公理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。公理和定理都可作为判断其他命题真假的依据。公理举例：经过两点有且只有一条直线。2、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。4、平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。5、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。1、直线公理：3、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。同角或等角的补角相等。2、余角的性质：同角或等角的余角相等。4、垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；5、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。1、补角的性质：3、对顶角的性质：对顶角相等。②垂线段最短。定理举例：内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。6、平行线的判定定理：7、平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。定理举例：课堂小结1、命题：判断一件事情的语句叫命题。2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做公理。3、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。也可作为继续推理的依据。4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都是真命题）；
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。（1）正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。
（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分构成，常可写成“如果…，那么…”的形式。 命题真命题假命题公理定理反例：具有命题条件，但不具有命题结论的例子。证明公理:公认的真命题称为公理.定理:经过证明的真命题称为定理.
证明所需的定义、公理和其它定 理都要编写在这个定理的前面.
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为举反例。信辛中学
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(三)三角形的外角3、在△ABC中，
（1）∠C=80°，∠A=23 ° ，则∠B= ；
（2）∠A=70 ° ，∠B=∠C，则∠B= .
（3）∠A+∠B=100 ° ，∠C=2∠B，则∠B= .1、三角形三个内角的和等于_____.知识回顾77°55°40°互余180°2、直角三角形中两个锐角_____. D三角形的外角： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．学习新知∠ACD是△ABC的外角探究一： 画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？））））））E 每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．结论：ABCD看一看：算一算：若∠A＝70°，∠ C=60o，
试求∠ ABC, ∠CBD,
的度数．并说出你的理由．图中哪些角是三角形的内角，
哪些角是三角形的外角？
探究二：想一想：
∠CBD和 ∠ABC
∠CBD和 ∠A, ∠C的关系？ 通过上题的计算，你发现∠CBD与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？说一说：∠CBD+ ∠ABC=180°；
∠CBD= ∠A+∠ C;ACBD(1) 相邻:发现:∠CBD(外角)+∠ABC(相邻内角)=180° 结论：结论：外角三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。结论：三角形的一个外角与它相邻的内角互补(2) 不相邻:?所以∠CBD=∠A+∠C结论：∠CBD(外角)=∠A+∠C(不相邻两内角和)外角 上面我们通过计算得到了三角形中外角与不相邻两内角之间的数量关系．议一议∠CBD ∠A (<、>)；∠CBD ∠C (<、>)结论：三角形的一个外角大于任何 一个与它不相邻的内角。>>∠CBD=∠A+∠C归纳总结： 推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。由公理、定理直接得出的真命题叫做推论。三角形的外角和等于360°例5 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角
求证：∠1+∠2+∠3=360°结论：三角形的外角和等于360°通常把一个三角形每一个顶点处的一个外角的和叫做三角形的外角和。∠2＋ ∠ABC=180°∠3＋ ∠ACB=180°三个式子相加得到∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°解：过A作AD平行于BC∴ ∠3＝ ∠4BC123A∴ ∠2＝ ∠BAD∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAD＋ ∠4=360°1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）判断： 160°110° 1、求下列各图中∠1的度数。练习：∠1∠2∠3＞＞ 2、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列BACPNMDEF3.∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿＿＿。360°4、已知,AB∥CD,∠A=400,∠D=450，
求∠1和∠2.40°45°12E5、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.6、如图，已知∠AEC=110°，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数。ABCDE解:∵∠AEC是△ABE的外角,∴∠AEC=∠A+∠B=110°∴∠AEC=∠C+∠D=110°∴∠A+∠B+∠C+∠D=220°∵∠AEC是△CDE的外角,FG∴∠A+∠D+∠B+∠E+∠C=180°∴∠2= ∠B+∠E. 解:∵∠1是△ AFD 的外角,∴∠1= ∠A+∠D.∵∠2是△ BEG的外角,8.问：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是多少？∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是1800 3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；三角形的外角与内角的关系：小结 4、三角形的外角和是360
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(二)证明1.一般的,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题,知识回顾2.说明一个命题是假命题，只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。命题分为真命题与假命题。反例必须是具备命题的条件,却不具备命题的结论3.定理：用推理的方判断为正确的命题；
4.公理：经过人类长期实践后公认为正确的命题；
定理.公理都可以判断其他命题真假的依 据；公理不需要再证明。一、下列语句哪些是命题,哪些不是命题?
正数大于零，零大于一切负数;
两点确定一条直线;
画∠AOB的平分线;
相等的角是全等三角形的对应角;
若c＞a+b,则c＞a,c＞b正确吗？是命题是命题不是命题是命题不是命题练一练二、判断下列命题的真假.
1.有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形.
2.素数不可能是偶数.
3.黄皮肤和黑皮肤的人都是中国人.
4.有两个外角(不同顶点)是钝角的三角形是锐角三角形.
5.若y(1-y)=0，则y=0.真命题假命题假命题假命题假命题练一练6.正数不小于它的倒数.
7.如果两个角不是对顶角，那么它们不相等.
8.若x＜3，则x2＜9.
9.异号两数相加和为负数.
10.若c＞a+b,则c＞a,c＞b.假命题假命题假命题假命题假命题证明 要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做 证明 。证明命题的一般步骤:(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(4)分析题意,探索证明思路；例1: 已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,
且∠1＝∠2，求证: a∥b.
证明：由∠2=∠3（对顶角相等）
∠2=∠4（已知） 根据：等量代换 得：∠3= ∠1
根据：同位角相等，两直线平行
得： ∥ .
3把三个角拼在一起试试看？三角形3个内角的和是 .如何证明三角形内角和等于180°？试一试！ABC例2：已知:△ABC,
求证:∠A+∠B+∠C=180°.证明:如图,作BC的延长线CD,
过点C作CE∥AB.
∠1= ∠A(两直线平行,内错角相等)
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）,
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).交流你还有什么
不同的方法?关于辅助线：1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）
2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用. 三角形内角和定理 ：
三角形三个内角的和等于180°. 证明：直角三角形两个锐角互余。求证：∠A＋∠B＝90°.练一练已知：如图，△ABC中，∠C=90°. 例3：如图，已知∠1+∠2=180°， 求证：AB∥CD.证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，
∠1=∠3（对顶角相等）.
∠2=∠4（ ） 根据：等量代换 得：∠3+ =180°.
根据：同旁内角互补，两直线平行
得： ∥ .对顶角相等∠4AB CD例4：如图，已知：∠1=∠2，∠1=∠B， 求证：AB∥EF，DE∥BC。 证明：由∠1=∠2 （已知），
根据： .
得AB∥EF.
又由∠1=∠B（ ）.
根据：同位角相等，两直线平行
得 ∥ .
内错角相等，两直线平行已知DE BC例5：如图，已知：∠DAF=∠AFE，∠ADC+∠DCB=180°，求证：EF∥BC证明：由：∠DAF=∠AFE （ ）
根据： .
得：AD∥ .
由：∠ADC+ =180°（已知）. 根据： .
得：AD∥ .
再根据： .
得：EF∥BC已知内错角相等，两直线平行EF∠DCB同旁内角互补，两直线平行BC平行于同一直线的两条直线互相平行例6：如图，已知：∠2=∠3， ∠1+∠3=180°， 求证：EF∥GH. 证明：由：∠2=∠3 （已知） ∠1+∠3=180°（ ） 根据： .
得：∠1+∠2=180°.
根据： .
得： 。已知等量代换同旁内角互补，两直线平行EF∥GH例7：如图，已知：∠1=∠2，BD平分∠ABC，试说明AD∥BC. 证明：由BD平分∠ABC（已知）， 根据： .
得：∠2=∠3.
又由：∠2=∠1（已知） 根据： .
得：∠3= . 根据：内错角相等，两直线平行. 得： ∥ .BACD123角平分线定义等量代换∠1AD BC例8：如图，已知：AB∥CD，AE∥BD，试说明∠ABD=∠E. 证明：由 （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等 得：∠ABD= . 由AE∥BD（ ）. 根据： . 得∠BDC=∠E .
再根据：等量代换 得： = .AB∥CD∠ BDC已知两直线平行，同位角相等∠ ABD ∠E例9：如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试说明AB∥CD. 证明：由AC∥DE （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等. 得∠ACD= .
又由∠1=∠2（已知）. 根据： . 得∠1=∠ACD . 再根据： . 得 ∥ .∠ 2等量代换内错角相等，两直线平行AB CDABCD1234例10: 如图，已知AD是△ABD
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C证法三： 延长AD ∵∠1=∠3+∠B，∠2=∠4+∠C∴∠1+∠2=∠3+∠B+∠4+∠C 即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C例2：如图，已知AG//CF，AB//CD，∠A＝40?， 求∠C的度数。1解:∵ AG//CF(已知)∴ ∠A=∠1(两直线平行,同位角相等)又∵AB//CD(已知)∴ ∠1=∠C(两直线平行,同位角相等)∴ ∠A=∠C(等量代换)∵ ∠A＝40?∴ ∠C＝40?例2： 如图所示 ∠1 =∠2
求证 ： ∠3 =∠4证明：∵ ∠1 =∠2（已知） ∴a//b
(同位角相等,两直线平行) ∴ ∠3 =∠4
(两直线平行，内错角相等)信辛中学
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