课件20张PPT。三角形中的边角关系（一）三角形三边关系信辛中学 高汉光下图中有你熟悉的图形吗？ 由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 如图是用三根细棍组成的图形， 其中符合三角形概念的图形是（ ）D练一练：三角形用符号“△”表示记作“△ ABC”读作“三角形ABC”
ABC三角形的顶点：A、 B、 C三角形的边：AB、AC、BC例: 说出图中有多少个三角形,用符号“△”表示,并指出每一个三角形的三条边.练习:读出图中的各个三角形. △ABE.△DCE.△ABC. △BEC. △BCD.1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形和各自的边角2.以AB为边的三角形有哪些？△ABC、△ABE3.以E为顶点的三角形有哪些？△ ABE 、△BCE、 △CDE练习:4.以∠D为角的三角形有哪些？△ BCD、 △DEC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。底不等边三角形等边三角形也是等腰三角形吗？不等边三角形等边三角形腰和底不等的三角形试试: 已知：等腰三角形的周长是18cm，腰是底边长的2倍，求各边长.解：底边长为xcm，则腰为2xcm
2x+2x+x=18
解得：x=3.6
则腰为7.2
答：此三角形的各边长分别是7.2cm、7.2cm、3.6cm探究： 如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出
发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以
选择？各条路线的长一样吗？ABC路线1:由点B到点C路线2:由点B到点A，再由点A到点C。两条路线长分别是BC,AB+AC.由“两点之间，线段最短”
可以得到AB+AC>BC同理可得：AC+BC>AB,AB+BC>AC三角形的三边有这样的关系：
（1） 三角形两边的和大于第三边
（2） 三角形两边的差小于第三边
结论cab∴a+b>cb+c>a
c+a>b
三角形的任意两边和大于第三边.三角形的任意两边差小于第三边.两边差<第三边<两边和例1: 已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？解：若底边长为4cm，设腰长为xcm，则有
2x+4=18
解方程的：x=7
若一条腰长为4cm，设底边长为xcm，则有
2×4+x=18
解得：x=10
因为4+4<10，所以，以4cm为腰不能构成三角形.
所以，三角形另来那个边长都是7cm 已知一个三角形的两条边长分别为3cm和9cm，你能确定该三角形第三条边长的范围吗？解：设第三条边长为a cm，则
9－3＜a＜9＋3
即 6＜a＜12其它两边之差<三角形的一边<其它两边之和例2: 1.有长为3、5、7、10四根木条，要摆出一个三角形，有___种摆法
2 2.一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm，则这个三角形的周长是______20cm 3. 一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是9cm，则这个三角形的周长是______________19cm或23cm只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.下列长度的各组线段能否组成一个三角形？
（1）15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm
(3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm练一练思考：有两条长度分别为5cm和7cm的线段，要组成一个三角形那么第三条线段的长度在什么范围内呢？ 解题技巧：三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和2、如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长=______________.3、如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长=______________.1、五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成________个三角形.322cm18cm或21cm三边长为：5、5、8和8、8、52、3、4，2、4、5，3、4、5已知a、b、c是三角形的三条边化简|a+b-c|+|c-b-a|应用:解：因为a、b、c是三角形的三边所以 a+b-c>0（两边之和大于第三边） c-b-a <0（两边之差小于第三边）所以|a+b-c|+|c-b-a|=a+b-c-c+b+a=2a+2b-2c草原上有四口油井，位于如图所示的A、B、C、D四个位置，现在要建立一个维修站H，问H建在何处，才能使它到四个油井的距离之和HA+HB＋HC+HD为最小？说明理由。ADCBHH′提示：到A、C距离和最小的点在哪儿？到B、D?应用:有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！考考你！答：不能。如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿得长大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多。课件21张PPT。三角形中的边角关系（二）三角形的内角和定理信辛中学 高汉光思 考三角形若按角来分类，分为哪几类？
三角形按边长关系，可分为：
同学们手中有直角三角板，请再画一个内角不是90°的三角形三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形 、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形如下图:锐角三角形 直角三角形 钝角三角形直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC 三角形按角的大小关系，可分为：
三角形 直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形三角形的三个内角和是多少?你有什么办法可以验证呢?把三个角拼在一起试试看？ 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?三角形的内角和等于1800. 已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°三角形的内角和等于1800.证法１：过A作EF∥BA，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°EFABC21三角形的内角和等于1800.证法２：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°三角形的内角和等于1800.证法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。思路总结 为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 定理应用 三角形的三内角和是180o ，所以三内角可能出现的情况：一个钝角 两个锐角钝角三角形锐角三角形一个直角 两个锐角直角三角形三个都为锐角定理应用直角三角形：直角所对的边叫两个锐角所对的边叫斜边直角边表示方法：Rt△ABC∠A+∠B =90o性 质：讨论（1）一个三角形中最多有 个直角？为什吗？
（2）一个三角形中最多有 个钝角？为什吗？
（3）一个三角形中至少有 个锐角？为什吗？
（4）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 .11260°2、在△ABC中，
（1）∠C=80°，∠A=23 ° ，则∠B= ；
（2）∠A=70 ° ，∠B=∠C，则∠B= .
（3）∠A+∠B=100 ° ，∠C=2∠B，则∠B= .1、三角形三个内角的和等于_____.练习：77°55°40°180°例1 : 在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠A 、∠B
和∠C的度数.解：设∠A=2x，则∠B=3x， ∠C=4x.
∴2x+3x+4x=180(三角形内角和定理）
解方程，得x=200
∴ ∠A=2×200=400
∠B=3×200=600
∠C=4×200=800例2 : 已知:如图，△ABC中，BD⊥AC,垂足为D。∠ABD=54°，∠DBC=18°.求∠A和∠C的度数。解 由于BD⊥AC，（已知）
所以∠ADB=∠CDB=90°.
在三角形△ABC中，
∠A+ ∠ABD+ ∠ADB=180°,(三角形的三个内角和等于180°)
∠ABD=54°，∠ADB=90°.（已知）
∠A=180°-54°-90°=36°
在△ABC中，
∠C=180°-36°-(54°+18°) =36°例3:如图：∠C =∠D，∠1 =∠2
求证：∠A = ∠FBDCEＡF12GH证明：∵∠2 = ∠AHC（对顶角相等）∠1 = ∠2∴∠1 = ∠AHC（等量代换）∵∠D =∠C∠D + ∠F + ∠1 = 1800∠C + ∠A + ∠AHC = 1800(三角形的内角和定理)∴ ∠A = ∠F（等量代换）应用创新1、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一 样的玻璃,那么最省事的办法是 ( )(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去C2、在直角△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ
=９０0，ＡＤ是高，找出图中相等的角．
通过本节学习，应掌握这样几点：
（一）三角形按角分类；
（二） 三角形内角和定理的具体内容；
（二）利用代数中列方程的方法可以求角的度数.
课件23张PPT。三角形中的边角关系（三）三角形的角平分线，中线，高信辛中学 高汉光三角形的角平分线叫做三角形的角平分线。ABCD∵AD是 △ ABC的角平分线
任意画一个三角形,然后利用量角器画出
这个三角形三个角的角平分线.●●在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段, 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? BAC用圆规画最简便你能通过折纸的方法得到它吗? 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合折痕AD即为三角形的∠A的角平分线。三角形的角平分线三角形的角平分线的定义 以前所学的“角平分线”是一条射线，“三角形的角平分线”还是射线 吗?BAC 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的
线段叫三角形的角平分线“三角形的角平分线”是一条线段。D∠1=∠2 12图5?10三角形的角平分线每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个。
(1) 分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?(2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?三角形的三条角平分线交于同一点.ACBFEDO∵BE是△ABC的角平分线∴____=_____= _____∴∠ACB=2______=2______∠ABE∠CBE∠ABC∠ACF∵CF是△ABC的角平分线∠BCF 三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别？思考三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线.练习：A 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线三角形的中线BE=ECBC如图右图AE是BC边上的中线(1) 在纸上画出一个锐角三角形试画出它的三条中线.“三角形的中线”也是一条线段。三角形的三条中线三角形的三条中线交于一点.(2) 试画钝角三角形和直角三角形的三条中线你发现了什么？三角形的中线在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边的中线.D∵AD是△ ABC的中线
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出
这个三角形三条边的中线.●●三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.三角形中线的理解EFO 如图，AD、BE 为△ABC的中线且交于点O。
1、若AB=5cm，BC=6cm,AC=4cm,则BD=（）AE=（）
2、若S△ABC=12c㎡ ，则S△ABE=（ ）练习：三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形由（2）你发现了什么？一块三角形的煎饼，要把它分成大小相同的6块应怎样分?你有多少种分法?如果限定只能切三刀呢? 三角形的高A从三角形的一个顶点BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。如右图, 线段AD是BC边上的高.你还能画出一条高来吗？当然可以，一个三角形有三个顶点，应该有三条高锐角三角形的三条高每人准备一个锐角三角形纸片，画出这个三角形的高锐角三角形的三条高交于同一点 你能用其他办法得到它们吗?使折痕过顶点，顶点的对边边缘重合锐角三角形的三条高
都在三角形的内部对这三条高的位置，你有什么发现？将你的发现与同伴进行交流.对这三条高的位置，你有什么发现？将你的发现与同伴进行交流.直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形，画出直角三角形的高ABC直角边BC边上的高是 ;AB边直角边AB边上的高是 ;BC边直角三角形的三条高交于直角顶点.D对这三条高，你又有什么发现？将你的发现与同伴进行交流.做BC边上的高， BC边不够长怎么办？钝角三角形的三条高在纸上画出一个钝角三角形，画出钝角三角形的高ABCDFE把CB延长BC边上的高是在三角形的内部还是外部?AB边上的高呢？外部钝角三角形的三条高ABCDF钝角三角形的三条高交于一点吗？钝 角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高：“谁说我们不交于一点，我们以自己的方式相交”E钝角三角形的三条高所在直线交于一点，交点在三角形外从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高。311相交相交不相交相交相交相交三角形内部直角顶点三角形外部三角形的三条高所在直线交于一点1、如图，AD为△ABC的高，则∠ADB= ∠ 。2、若一个三角形有高在它的外部，则这个三角形为（ ） 3、下图作三角形中的高正确的是（ ） 练习：4.分别指出图中△ABC 的三条高。直角边BC边上的
高是 ;AB边直角边AB边上的
高是 ;CB边DEFD斜边AC边上的
高是 ;BDAB边上的高是 ;CEBC边上的高是 ;ADCA边上的高是 ;BF拓展练习拓展练习B3、三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ ）
A. 三角形的内部 B.三角形的外部
C.三角形的一条边上 D. 不能确定 DD4.如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是⊿ABE的角平分线( )②BE是⊿ABD边AD上的中线( )③BE是⊿ABC边AC上的中线( )④CH是⊿ACD边AD上的高( )三角形的高、中线与角平分线都是线段×××√ 如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠B、 ∠C的平分线，求证： ∠BPC= 90? + ∠A。BACP证明：∵BP、CP分别是∠B、 ∠C
的平分线(已知)∴∠1=∠ABC∴∠2=∠ACB( )角平分线定义∵ ∠BPC +∠1 + ∠2 =180?( 三角形内角和定理 )∠A +∠ABC +∠ACB=180?( 三角形内角和定理 )∴∠BPC=180??(∠1 +∠2 )=180?? (∠ABC +∠ACB )=180?? (180? ?∠A )=90?+ ∠A.补充例题思考题(选做)：
王大爷有一块三角形的菜地,现在要将它们平均分给四个儿子,在菜地的一角A处有一口池塘,为了使分开后的四块菜地都就近取水,王大爷为此很伤脑筋。你能想出什么办法帮帮王大爷吗？
如果不考虑水源,你认为还可以怎样分?
A与三角形有关的线段 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线三角形的三条高所在直线交于一点，三条角平分线交于一点，三条中线交于一点
