1.1.3等腰三角形（3） 课件（共31张PPT）

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1.1.3等腰三角形（3）
第一章
三角形的证明
2021-2022学年八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.掌握并能运用等腰三角形的判定定理.
2.知道反证法的步骤，能对一些比较简单的特殊命题用反证法予以证明.
3.进一步提升几何推理证明的能力.
　
导入新课
1、问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
等腰三角形的两底角相等(简写成 ‘‘等边对等角”)．
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 ‘‘三线合一”)
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？
题设：一个三角形是等腰三角形
结论：相等的两边所对应的角相等
它的逆命题成立吗？
　
导入新课
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
讲授新课
等腰三角形的判定
等腰三角形性质定理：______________.
思考：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？
即：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？
等边对等角
C
B
A
讲授新课
位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系
建立数学模型：
C
A
B
AB=AC
讲授新课
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°.
请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
讲授新课
已知:
求证:
AB=AC.
如图, 在△ABC中, ∠B=∠C．
猜想证明：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过点A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是等腰三角形.
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
应用格式：
∴AB=AC(等角对等边).
A
C
B
总结归纳
　
讲授新课
等腰三角形的判定方法：
①有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义法)
②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
A
B
C
D
C
B
A
D
讲授新课
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
讲授新课
例2 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
讲授新课
例3 已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分角+平行=等腰三角形
讲授新课
反证法
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.
A
B
C
讲授新课
C
A
B
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时, AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，
因此AB≠AC.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗
讲授新课
归纳结论
反证法
先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这也是证明命题的一种方法，我们把它叫做反证法．
反证法步骤:
(1)假设结论不成立；
(2)由新结论推出的结果与已知条件、公理或已证明的定理等相矛盾；
(3)因此假设不成立，原结论成立。
讲授新课
例4 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC． 求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
当堂检测
1.如图所示,已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=4 cm,则CD等于 (　 　)
A.3 cm　　 　 B.4 cm
C.1.5 cm D.2 cm
B
2.如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD= (　 )
A.　 　 B.
C. a-b　 　 D. b-a
C
当堂检测
3.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件:
①OB=OC;②∠EBO=∠DCO;③∠BEO=∠CDO;④BE=CD.
上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有(　 　)
A.2种 B.3种 C.4种 D.6种
C
当堂检测
4.如图,已知△ABC,点D,E分别在边AC,AB上,∠ABD=∠ACE,
下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(　 　)
A.AE=AD B.BD=CE　
C.∠ECB=∠DBC D.∠BEC=∠CDB
D
5、如图,在△ABC和△DCB中,∠A=∠D=72°,∠ACB=
∠DBC=36°,则图中等腰三角形的个数是 (　 　)
A.2 B.3
C.4 D.5
D
当堂检测
6.用反证法证明“a>b”时,应假设 (　 ) 　
A. a7.用反证法证明命题“四边形的四个内角中至少有一个角大于等于90°”,我们应该假设 (　 　)
A.四个角都小于90°
B.最多有一个角大于或等于90°
C.有两个角小于90°
D.四个角都大于或等于90°
B
A
当堂检测
8、如图,在平面直角坐标系中,点B,A分别在x轴,y轴上,
∠BAO=60°,在坐标轴上找一点P,使得△ABP是等腰三
角形,则符合条件的等腰三角形ABP有______个.
6
当堂检测
E
2
1
A
B
C
D
72°
36°
③如果AD=4cm，则
9.已知:如图,∠A=36°，
∠DBC=36°，∠C=72°,
①∠1= , ∠2= ；
②图中有 个等腰三角形；
BC= cm；
72°
36°
3
4
个等腰三角形.
④如果过点D作DE∥BC,
交AB于点E,则图中有
5
当堂检测
10、如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E.求证：BD＋EC＝DE.
证明：∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，
又DE∥BC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴DB＝DF（等角对等边），
同理可得：EC＝EF，
∵DF＋EF＝DE，
∴BD＋EC＝DE.
当堂检测
11、已知如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：AD垂直平分EF.
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴∠1＝∠2，
易得∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠3＝∠4，
∴AE＝AF，
∵AD是等腰△AEF的顶角平分线，
∴AD垂直平分EF.
当堂检测
12、如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.
求证:△BDE是等腰三角形.
证明:∵DE∥AC,∴∠CAD=∠EDA,
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD,
∴∠EAD=∠EDA,
∵AD⊥BD,∴∠EAD+∠B=90°,∠EDA+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰三角形.
当堂检测
13.如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F,FD∥AC交BC于点D.
求证:△AEF是等腰三角形.
证明：∵FD∥AC,∴∠PFD=∠E,∠FDB= ∠C,
∵AB=AC,∴ ∠B = ∠C,∴∠FDB=∠B，∴FB=FD，
∵FB=FD,EP⊥BC,∴∠PFB=∠PFD,
∵∠PFB=∠AFE,∴∠PFD=∠AFE,
∵∠PFD=∠E,∴∠E=∠AFE, ∴AE=AF,
即△AEF是等腰三角形.
当堂检测
14.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
已知:如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°.
求证:l1∥l2.
证明:假设l1不平行于l2,即l1与l2相交于一点P.
则∠1+∠2+∠P=180°， 所以∠1+∠2<180°,
这与已知矛盾,故假设不成立.
所以l1∥l2.
课堂小结
等腰三角形的判定和反正法
有两个角相等的三角形是等腰三角形
假设→归谬→结论
等角对等边
反证法
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php