1.1.4等腰三角形（4） 课件（共37张PPT）

(共37张PPT)
1.1.4等腰三角形（4）
第一章
三角形的证明
2021-2022学年八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用.
2.掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题.
3.进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力.
　
导入新课
等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等，都等于60°
是轴对称图形，有3条对称轴
具有等腰三角形的所有性质。
一般性质
特殊性质
　
导入新课
观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？
思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？
讲授新课
等边三角形的判定
一般三角形
等边三角形
等腰三角形
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？
思考:(1)一个三角形满足什么条件是等边三角形？
　 (2) 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？
讲授新课
（一）一般三角形
（1）以“边”判定:
三边都相等的三角形叫等边三角形；(定义法)
（2）以“角”判定:
猜想： 三个角都相等的三角形是等边三角形.
C
A
B
讲授新课
　已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A =∠B，∠B =∠C ，
　 ∴　BC =AC， AC =AB．
（等角对等边）
　 ∴　AB =BC =AC．
∴　△ABC 是等边三角形．
C
A
B
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定二：三个角都相等的三角形是等边三角形
讲授新课
（二）等腰三角形
有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
（1）当顶角为60°时，两个底角各为60°.
（2）当底角为60°时，顶角为60°.
C
A
B
讲授新课
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600 (已知),
∴∠C=∠B=600 (等边对等角)
∴∠A=600 (三角形内角和定理)
∴∠A=∠B （等式性质）.
∴ AC=CB （等角对等边）.
∴AB=BC=AC （等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形
已知:如图，在△ABC中 AB=AC,∠B=600.
求证:△ABC是等边三角形.
A
C
B
600
讲授新课
定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形判定共三种方法
边
角
边＋角
等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
讲授新课
方法总结
选用等边三角形判定方法的技巧
(1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定.
(2)若已知三角关系,则选用三角相等的三角形是等边三角形来判定.
(3)若已知是等腰三角形,则选用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形来判定.
讲授新课
含30°角的直角三角形的性质
操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗
猜想：在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系
30°
30°
30°
30°
30°角所对的直角边等于斜边的一半.
讲授新课
证明猜想：
在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半.
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.
求证:BC= AB.
A
30°
B
C
分析：证明“线段的倍、分”问题
转 化
“线段相等”问题
30°
30°
讲授新课
∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30°
∴∠ACD=90°，∠B=60°
在△ABC与△ADC中，
BC=DC，（作图）
　∠ACB=∠ACD，（已证）
AC=AC，（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS）
30°
A
B
C
D
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD
60°
证全等
证等边三角形
做辅助线
∴ AD=AB
∴△ABD是等边三角形，
(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)
∴BC= BD= AB
讲授新课
30°
A
B
C
∵在△ABC中∠ACB=90°, ∠A=30°,
∴∠B=60°
∵ AB=BD
∴△ABD是等边三角形，
(有一个角是60°的等腰三角形
是等边三角形)
D
证明: 延长BC至D,使AB=BD,连接AD
60°
做辅助线
证等边三角形
你还有其他的证明方法吗？
∵在等边三角形ABD中，AC⊥BD
∴BC= CD = BD (三线合一)
∴BC= AB
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
推论：
归纳总结
讲授新课
例.求证:如图,等腰三角形的底角为150,那么腰上的高是腰长的一半。
已知：在△ABC中，AB=AC, ∠B=15°，CD是腰AB的高。
求证：CD= AB
C
B
A
D
讲授新课
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）.
∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC=90°.
∴CD= AC（在直角三角形中，如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴CD= AB
C
B
A
D
讲授新课
方法总结
含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质.
当堂检测
1.下列条件中,不能得到等边三角形的是 (　 　)
A.有两个内角是60°的三角形
B.三边都相等的三角形
C.有一个角是60°的等腰三角形
D.有两个外角相等的等腰三角形
D
当堂检测
2. 三角形三边长分别为a，b，c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是 (　 　)
A.等腰三角形
B.直角三角形　
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
C
当堂检测
3.如图,在正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,则
∠BAC等于(　 　)
A.60° B.75°
C.90° D.135°
A
当堂检测
4.如图,在△ABC中,∠B=∠C=60°,点D在AB边上,DE⊥AB,并与AC边交于点E.如果AD=1,BC=6,那么CE等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
B
解析：∵在△ABC中,∠B=∠C=60°,
∴∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形.
∵DE⊥AB,∴∠AED=30°,
∵AD=1,∴AE=2,
∵BC=6,∴AC=BC=6,
∴CE=AC-AE=6-2=4.
当堂检测
5.在△ABC中，∠A=60°，要使△ABC是等边三角形，则需添加的一个条件是 .
AB＝AC或∠B＝∠C
如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=30°，∠1=80°，则∠2= .
40°
6.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．
则AC=_____，BC=_______．
6
A
B
C
3
30°
7.在△ABC中,AB=AC=10 cm，BD是高，且∠ABD=30°，
则CD=______________.
5cm或15cm
当堂检测
当堂检测
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
∴BC= ∠B=60°，
∴BD= ∴BD=
8、已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，CD⊥AB于D．
求证:BD=
D
A
C
B
30°
∴∠BCD=30°，
当堂检测
9、如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°,∠C=60°,
CD=4 cm,求BC的长.
证明:∵AD∥BC,∠A=120°,∴∠A+∠ABC=180°.
即∠ABC=180°-∠A=180°-120°=60°,
∴∠ABD=∠DBC=30°.
∴△BDC是直角三角形(∠BDC=90°).
又∵CD=4 cm，∴BC=2CD=2×4=8(cm).
又∵∠C=60°,
当堂检测
10. 如图,在等边△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O,且OD∥AB,OE∥AC.
(1)试判定△ODE的形状,并说明你的理由.
解： △ODE是等边三角形.
理由：∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∵OD∥AB,OE∥AC,
∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°,
∴△ODE是等边三角形.
当堂检测
(2)线段BD,DE,EC三者有什么关系 写出你的判断过程.
解：BD=DE=EC.
理由:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,
∴∠ABO=∠OBD=30°,
∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°,
∴∠DBO=∠DOB,∴DB=DO,同理,EC=EO,
∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC.
当堂检测
11.如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
当堂检测
上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,
求证：△ADE是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形.
∴ △ADE是等边三角形.
又∵ ∠A=60°.
当堂检测
12.如图:△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在BC,AB,CA边延长线上,且BE=AF=CD.
求证:△DEF是等边三角形.
证明：∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠ABC=60°,AB=AC=BC,
∴∠EAF=∠EBD=120°,
∵BE=CD,∴BE+AB=BC+CD,即AE=BD,
当堂检测
在△AEF和△BDE中,
∴△AEF≌△BDE(SAS),∴EF=ED,
同理可得△AEF≌△CFD,
∴EF=FD,∴EF=ED=FD,
∴△DEF为等边三角形.
课堂小结
等腰三角形的拓展
三条边都相等的三角形是等边三角形
等边三角形的判定
特殊的直角三角形的性质
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
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