1.2.2直角三角形（2） 课件(共27张PPT）

(共27张PPT)
1.2.2直角三角形（2）
第一章
三角形的证明
2021-2022学年八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1 经历直角三角形全等的“HL”的判定定理探索过程，进一步理解证明的必要性，掌握并利用“HL”定理解决实际问题．
2 能用尺规完成作图：已知一条直角边和斜边作直角三角形.
　
导入新课
（2）两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三 角形全等吗？
（3）如果其中一组等边所对的角是直角呢？
不一定全等.
思考：（1）我们学过的判定三角形全等的方法？
SSS、 SAS、 ASA 、AAS.
这节课我们一起来探索并证明直角三角形全等的判定.
　
导入新课
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？
讲授新课
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
思考：
C
B
A
如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是AC、BC，斜边是AB.
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
完全适用
讲授新课
A
B
C
A′
B′
C′
（1）两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
（2）两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
（3）两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
回答：
全等，AAS
全等，AAS或ASA
全等，SAS
讲授新课
（1）如图，已知AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
思考：
不全等.证明三角形全等不存在SSA定理.
（2）如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？
讲授新课
做一做：
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.
再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,
把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
讲授新课
画图思路
（1）先画∠M C′ N=90°
A
B
C
M
C′
N
讲授新课
画图思路
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
讲授新课
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
讲授新课
画图思路
（4）连接A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
讲授新课
猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
证明：∵△ABC中，∠C=90°
∴BC2=AB2-AC2（勾股定理）
同理，B′C′2=A′B′2-A′C′2 .
∵AB=A′B′，AC=A′C′，
∴BC=B′C′.
∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SSS）.
已知：如图, 在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=90°, AC=A′C ′, AB=A′B′
求证：△ABC≌△A′B′C′ .
A
B
C
A′
B′
C′
　
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
讲授新课
例：有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小关系？
解：由题意，得，∠BAC=∠EDF=90°
BC=EF,AC=DF
∴Rt△BAC≌Rt△EDF (HL)
∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等)
∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形两锐角互余）
∴∠B+∠F=90°
　
讲授新课
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
当堂检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56°
C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18°
C
C
当堂检测
3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
4．如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是( )
A．HL B．ASA C．AAS D．SAS
A
当堂检测
5．不能判断两个直角三角形全等的条件是( )
A．两锐角对应相等的两个直角三角形
B．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形
C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形
D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形
A
当堂检测
6. 如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　)
A．SSS　　B．ASA
C．SSA　　D．HL
7．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥ l于 点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝ ．
8
D
当堂检测
8.已知：如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E.F，且DE=DF，
求证：△ABC是等腰三角形
证明：∵ D是△ABC的BC边的中点
∴BD=CD
∵ DE⊥AC，DF⊥AB
∴∠1=∠2=90°
∵BD=CD,DE=DF
∴Rt△BDF≌Rt△CDE (HL)
∴∠B=∠C
∴△ABC是等腰三角形
1
2
当堂检测
9.已知：如图，AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为EF，且DE=BF，求证：（1）AE=CF（2）AB∥CD
证明：（1）∵ DE⊥AC，BF⊥AC
∴∠1=∠2=90°
∵AB=CD,DE=BF
∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)
∴AF=CE
∴AF-EF=CE-EF
即AE=CF
(2) ∵Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)
∴∠A=∠C ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)
1
2
当堂检测
10．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．
当堂检测
解：(1)证明：∵∠ABC＝90 °，∴∠CBF＝∠ABE＝90 °.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∵AE＝CF，AB＝CB， ∴Rt△AB E≌Rt△CBF(HL)．
(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90 °，∴∠CAB＝∠ACB＝45 °.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝4 5 °－30 °＝15 °.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15 °.
∴∠ACF＝∠ BCF＋∠ACB＝15 °＋45 °＝60 °.
课堂小结
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
“斜边、直角边”
在直角三角形中
内容
前提条件
在直角三角形中，只要有两边对应相等，则直角三角形全等
使用方法
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php