1.3.2线段的垂直平分线（2） 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.3.2线段的垂直平分线（2）
第一章
三角形的证明
2021-2022学年八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.推理论证“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”这一性质。
3.利用三角形三边的垂直平分线的性质解决问题。难点）
2.利用尺规作图确定三角形三边垂直平分线交点的位置，并会作出已知底边和底边上的高的等腰三角形。
　
导入新课
线段的垂直平分线
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点的距离相等
线段的垂直平分线的集合定义：
线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点距离相等的所有点的集合
互为
逆定理
　
三角形三边的垂直平分线的性质
画一画：
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
讲授新课
讲授新课
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线．
结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．
怎样证明这个结论呢？
做一做：
讲授新课
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.
思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
l是AB的垂直平分线
m是BC的垂直平分线
PA=PB
PB=PC
PA=PC
点P在AC的垂直平分线上
结论证明：
证明结论
例 求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
A
B
C
P
已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的垂直平分线相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA=PB=PC.
　
讲授新课
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB（线段垂直平分线上 的点到这条
线段两个端点的距离相等）
同理，PB=PC.
∴PA=PB=PC
∴点P在线段AC的垂直平分线上
（到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上），
即 边AC的垂直平分线经过点P.
A
B
C
P
　
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
归纳总结
应用格式：
∵　点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴　PA =PB=PC．
A
B
C
P
点P称为三角形的外心
讲授新课
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现.
①锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点
②直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处
┐
③钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点
讲授新课
尺规作图
做一做：
（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
讲授新课
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A1
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
讲授新课
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗
这样的等腰三角形有无数多个.
根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．
讲授新课
（3）已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
讲授新课
已知一个等腰三角形的底及底边上的高,求作这个等腰三角形.
已知：线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
a
h
讲授新课
N
M
D
C
B
A
作法：
1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
当堂检测
1.三角形三边的垂直平分线的交点(　　)
A．到三角形三边的距离相等
B．到三角形三个顶点的距离相等
C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等
D．不能确定
B
当堂检测
2.在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A，B，C位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置是△ABC的(　　)
A．三边上的中线的交点　
B．三条角平分线的交点
C．三边上的高线的交点　
D．三边垂直平分线的交点
D
当堂检测
3.如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是(　　)
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
A
当堂检测
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
D
当堂检测
5.已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(　　)
D
当堂检测
6.如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为(　　)
A．7　　　　
B．14　　　　
C．17　　　　
D．20
C
当堂检测
7.如图,在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在线段AD上,并且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AD垂直平分BC.
证明:∵∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EB=EC,且∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴A与E都在线段BC的垂直平分线上,
则AD垂直平分BC.
当堂检测
8.如图,在△ABC中，D为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF.
证明:延长FD到G，使DG＝DF.连接EG、BG.
在△CDF和△BDG中，CD＝BD,∠CDF＝∠BDG,DF＝DG，
∴△CDF≌△BDG（SAS），∴BG＝CF.
∵DE⊥DF，DF＝DG，
∴EG＝EF.在△BEG中，BE＋BG＞EG，
∴BE＋CF＞EF.
当堂检测
9.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线DM交AC于点D,BC边
的垂直平分线EN交BC于点E,DM与EN相交于点F .
解：∵DM是AC边的垂直平分线,
∴MA=MC,
∵EN是BC边的垂直平分线,
∴NB=NC,AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC
=△CMN的周长=20 cm.
(1)若△CMN的周长为20 cm,求AB的长.
当堂检测
解：∵MD⊥AC,NE⊥BC,
∴∠ACB=180°-∠MFN=110°,
∴∠A+∠B=70°,
∵MA=MC,NB=NC,
∴∠MCA=∠A,∠NCB=∠B,
∴∠MCN=40°.
(2)若∠MFN=70°,求∠MCN的度数.
课堂小结
线段的垂直平分线
三角形三边的垂直平分线的性质
尺规作图
三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等
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