1.4.1角平分线（1） 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
1.4.1 角平分线（1）
第一章
三角形的证明
2021-2022学年八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.探索证明角平分线的性质和判定.
2.能运用角平分线性质和其判定解决实际问题.
3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
　
导入新课
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？
对折
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
A
O
B
C
　
导入新课
要在一个三角形居住区内修有一个学校P，要求P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请问学校P的位置应建立在何处？你能在标出来吗？
A
B
C
你还记得角平分线上的点有什么性质吗
讲授新课
角平分线的性质
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？请你尝试证明这性质，并与同伴交流.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
讲授新课
思考：角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理中都提到了“距离相等”，你认为这两个“距离”含义相同吗？
不相同.
线段垂直平分线的性质定理中“距离”是两点之间的距离，
而角平分线的性质定理中的“距离”指的是点到线的距离，
因此角平分线性质定理中才要求过点作角的两边的垂线.
讲授新课
思路总结：本定理是对三角形全等思路的优化
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.
求证：PD＝PE.
A
C
B
O
D
P
E
1
2
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
∵∠1＝∠2, OP＝OP
∴△PDO≌△PEO ( AAS ).
∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
讲授新课
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
3.定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
4.定理的作用：证明线段相等.
D
E
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
O
A
C
B
讲授新课
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
讲授新课
角平分线的判定
想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上.
这个命题是真的吗？如果是假的，怎么修改能成为真的呢？
讲授新课
想一想
如图，点 P是平面内一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，点P在∠AOB的角平分线上吗？
上面逆命题的准确说法应该怎样说？
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
讲授新课
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD丄OA，PE丄OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB.
A
C
B
O
D
P
E
1
2
证明：∵PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E，
∴∠ODP＝∠OEP＝90°，
∵PD＝PE，OP＝OP，
∴Rt△DOP≌ Rt△EOP ( HL ).
∴∠1＝∠2 (全等三角形的对应角相等).
∴OP平分∠AOB.
讲授新课
1.判定方法：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
2.书写格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
3.应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
4.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
讲授新课
例2 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF，
∴AD平分∠BAC
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴DE= AD= ×10=5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
　
归纳总结
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
1.如图所示,在△ABC中,P为BC上一点,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,AQ=PQ,PR=PS.下面三个结论:
①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.正确的是(　 　)
A.①和② B.②和③　
C.①和③ D.全对
A
当堂检测
当堂检测
2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=15,则CD的长为(　 　)
A
A.3 B.4 C.5 D.6
3. 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线, ∠BAC=50°, ∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD= (　 　)
A.75° B.80° C.85° D.90°
A
当堂检测
4、如图,△ABC的两条外角平分线AP,CP相交于点P,PH⊥AC于H;如果∠ABC=60°,
则下列结论:①∠ABP=30°;②∠APC=60°;③PB=2PH;④∠APH=∠BPC,
其中正确的结论个数是 (　 　)
A.1　 B.2
C.3　 D.4
D
当堂检测
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠B=45°, AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于E,AB=a,CD=m,则AC的长为_______.
a-m
6.如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积是30 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,则DE=______cm.
2
当堂检测
7. 如图,在△ABC中,AD为其角平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,求DE的长.
解:∵在△ABC中,
AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF.
∵△ABC的面积是9 cm2,AB=5 cm,AC=4 cm,
∴ ×5DE+ ×4DF=9,
∴DE=DF=2(cm),即DE的长是2 cm.
当堂检测
8. 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.
求证:OC是∠AOB的平分线.
证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDF=∠PEG=90°.
在Rt△PFD和Rt△PGE中,
∵PF=PG,DF=EG,
∴Rt△PFD≌Rt△PGE(HL),
∴PD=PE.
∵P是OC上点,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴OC是∠AOB的平分线.
当堂检测
9.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
(1)则点P到AB的距离为_______.
4
A
B
C
P
D
当堂检测
解：由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，
(2)求△APB的面积.
·AB·PD=28.
(3)求 PDB的周长.
A
B
C
P
D
=
解：
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
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