1.4.2角平分线（2） 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
1.4.2角平分线（2）
第一章
三角形的证明
2021-2022学年八年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.利用角平分线的性质和判定探索证明三角形 三条角平分线的特殊位置关系及性质.
2.进一步提升运用角平分线性质和其判定解决实际问题的能力.
3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
　
导入新课
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
　
导入新课
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P 到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
思考：三角形三个内角的角平分线会不会交于同一个点呢？
讲授新课
三角形的内角平分线
那三角形的三条角平分线又有什么特别的地方呢？
接下来开启我们的探索之旅！
请同学们任意画一个三角形，并作出它的三条角平分线.
根据探索三角形三边垂直平分线特征的经验是不是要将三角形分类讨论呢？
讲授新课
那我们分成三个组，一、二、三组分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条角平分线.观察分析并进行交流讨论，三条角平分线有什么特征？
一组
二组
三组
由于三角形的角平分线始终在三角形内部，所以不论什么形状的三角形，三个角的平分线的交点始终在三角形内.
讲授新课
通过刚才的作图，我们发三角形三个角的平分线交于一点.类比之前三角形三边垂直平分线的交点的性质，三角形角平分线的交点到三个顶点距离相等吗？它又有什么特殊性吗？
到三个顶点距离不一定相等.
但是：到三边距离相等.
如何证明：三角形的角平分线交于一点并且到三边距离相等这一结论呢？
讲授新课
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
知识总结
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
三角形角平分线定理
符号语言：
∵如图，在△ABC中，∠B 、∠C的平分线相交于点P， 过点P分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F
∴ ∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.
　
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形
钝角三角形 直角三角形 交点性质
知识总结
交于三角形内一点
交于三角形外一点
交于斜边的中点
交于三角形内一点
到三角形三个顶点的距离相等
到三角形三边的距离相等
讲授新课
M
E
N
A
B
C
P
O
D
例1：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC；AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
12
总结：在一个三角形中，用r 表示内心到三边的距离，C表示周长，S表示面积，则：
解：
　
讲授新课
例2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
（1）一直CD=4cm，求AC长；
（2）求证：AB=AC+CD.
讲授新课
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，
DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E，
∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC（等边对等角）
∴∠B=×90°=45°.
∴∠BDE=90°-45°=45°.
∴BE=DE（等角对等边）.
在等腰直角三角形BDE中，
　
讲授新课
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
∵BE=DE=CD.
∴AB=AE+BE=AC+CD
讲授新课
方法总结
1.三角形三个内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线把原三角形分割成了三个小三角形,利用三个小三角形面积之和等于原三角形的面积,即等积法即可求出交点到三边的距离.
2.已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解.
当堂检测
1.在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪
三边的距离相等,凉亭的位置应选在(　 　)
A.三角形的三条中线的交点处
B.三角形的三边的垂直平分线的交点处
C.三角形的三条角平分线的交点处　　
D.三角形的三条高所在直线的交点处
C
当堂检测
2.在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（ ）
A
A.3 B.1.5
C.2 D.6
3. 如图,在Rt△ABC中,点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A
A．110° B．120°
C．130° D．140°
当堂检测
4. △ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O,那么下列说法不正确的是 (　 　)
A.点O一定在△ABC的内部
B.∠C的平分线一定经过点O
C.点O到△ABC三边的距离一定相等　
D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等
D
当堂检测
5.如图,已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）
A.P为∠A，∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC，AB两边上的高的交点
D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
B
当堂检测
6.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 (　 　)
A.1∶1∶1 B.1∶2∶3
C.2∶3∶4 D.3∶4∶5
C
当堂检测
F
A
E
D
B
7、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴　CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
　　 CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
C
当堂检测
8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D.若AB=10,BC=8,试求线段OD的长度.
解：连接OB,过O作OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC,
∴OE=OD=OF, 设OE=OF=OD=R,
在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,
由勾股定理得:AC=6,
当堂检测
∵S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO,
∴ AC·BC= AB·OE+ AC·OD+ BC·OF，
∴6×8=10R+6R+8R,解得:R=2,
∴OD的长为2.
当堂检测
9.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，AC＝25.
（1）△ABC内是否存在一点到各边的距离相等？如果存在，请作出这一点，并说明理由；
解：如图，作∠BAC、∠ACB的平分线，它们的交点P即为符合要求的点.
作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，
垂足分别为E、F、G.
∵AP是∠BAC的平分线，∴PE＝PG.
∵CP是∠ACB的平分线，∴PF＝PG.
∴PE＝PF＝PG；
当堂检测
（2）求这点到各边的距离.
解：连接BP.设PE＝PF＝PG＝x.
∵S△ABC＝S△APB＋S△BPC＋S△APC，
∴0.5AB·BC＝0.5AB·x＋0.5BC·x＋0.5AC·x.
∴7×24＝（7＋24＋25）x.
解得x＝3.
即这点到各边的距离为3.
课堂小结
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
应用：位置的选择问题.
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