2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2 矩形的性质与判定 同步达标测试（word版含解析）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》同步达标测试（附答案）
一．选择题（共11小题，满分44分）
1．如图，在矩形ABCD中，有以下结论：
①△AOB是等腰三角形；②S△ABO＝S△ADO；③AC＝BD；④AC⊥BD；⑤当∠ABD＝45°时，矩形ABCD会变成正方形．
正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加条件是（　）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD
3．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，则矩形边AD的长是（　　）
A．5厘米 B．10厘米 C．7.5厘米 D．不能确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AB上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．3 C．2 D．1
7．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF＝60°，则∠AEF＝（　　）
A．60° B．70° C．75° D．80°
8．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠AEO＝（　　）
A．30° B．25° C．22.5° D．20°
9．已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
10．如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E是CD的中点，已知AB＝5，OE＝6，则AC的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
11．已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是（　　）
A．AC＝BD B．AB＝BC C．AC与BD互相平分 D．AC⊥BD
二．填空题（共6小题，满分24分）
12．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，则△AOB的周长为　 　．
13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是　 　．
14．如图，Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点E是边AC上的一个动点，连结DE，过点D作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD至点G，使DF＝DG，连结AG，EF，若BC＝1，AC＝3，则线段EF长度的最小值是 　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　 　．
16．如图，矩形ABCD中，两条对角线的交点为O，若OA＝5，AB＝6，则AD＝　 　．
17．已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　 　．
三．解答题（共6小题，满分52分）
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交边BC，AD于点E，F，连结AE，CF．
（1）求证：△AOF≌△COE；
（2）当∠OAF＝∠OFA时，求证：四边形AECF是矩形．
19．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3，求∠EAO的度数．
20．如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若∠AFC＝2∠D，连接AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形．
21．如图，在 ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，A．BF平分∠CBD，交CD于点F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）当AD与BD满足什么数量关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．
22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
23．如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA＝5：3，CE＝15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．
参考答案
一．选择题（共11小题，满分44分）
1．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝DO＝CO，AC＝BD，故①③正确；
∵BO＝DO，
∴S△ABO＝S△ADO，故②正确；
当∠ABD＝45°时，
则∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴矩形ABCD变成正方形，故⑤正确，
而④不一定正确，矩形的对角线只是相等，
∴正确结论的个数是4个．故选：C．
2．解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形，故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝DO＝BO，AD＝BC，
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AO+OC+BC，△AOB的周长＝AB+AO+BO，
又∵△ABC的周长比△AOB的周长长10厘米，
∴AB+AC+BC＝AB+AO+OC+BC﹣（AB+AO+BO）＝BC＝10厘米，
∵AD＝BC，
∴AD的长是10厘米，故选：B．
4．解：连接AP，
∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，
由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，
∴AP＝2.4，
即EF＝2.4，
故选：C．
5．解：如图，作BM⊥AC于M，则BM＝＝，
∵S△AOB＝S△AOP+S△POB，
∴ AO BM＝ AO PE+ OB PF，
∵OA＝OB，
∴PE+PF＝BM＝．
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，∠EDB＝∠CBD，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，
∵∠EOD＝∠FOB，
∴△EOD≌△FOB；
∴S△BOF＝S△DOE；
∴S阴影＝S△BOF+S△AOE+S△COD＝S△AOE+S△EOD+S△COD＝S△ACD；
∵S△ACD＝AD CD＝3；
∴S阴影＝3；
故选：B．
7．解：∵∠EAF是∠DAE折叠而成，
∴∠EAF＝∠DAE，∠ADC＝∠AFE＝90°，∠EAF＝＝＝15°，
在△AEF中∠AFE＝90°，∠EAF＝15°，
∠AEF＝180°﹣∠AFE﹣∠EAF＝180°﹣90°﹣15°＝75°．
故选：C．
8．解：∵AE平分∠BAD交BC于E，
∴∠AEB＝45°，AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACB＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝60°，
又∵OA＝OB，
∴△BOA是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB，
即OB＝AB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，且∠OBE＝∠OCB＝30°，
∴∠BOE＝∠BEO＝75°，
∴∠AEO＝∠BEO﹣∠ABE＝75°﹣45°＝30°，
故选：A．
9．解：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH∥FG∥BD，EF＝FG＝BD；EF∥HG∥AC，EF＝HG＝AC，
故四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF＝90°
∴边形EFGH是矩形．
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∵OE＝6，
∴BC＝2OE＝12，
∵AB＝5，
∴AC＝＝13，
故选：D．
11．解：∵有一个直角的平行四边形是矩形，
∴只要四边形ABCD是平行四边形，即可判定四边形ABCD是矩形，
∴添加AC与BD互相平分
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
12．解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝＝5
∴AO＝BO＝
∴△AOB的周长＝AB+AO+BO＝3+5＝8
故答案为：8
13．解：连接CP，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ACB＝90°，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EF＝CP，
即EF表示C与边AB上任意一点的距离，
根据垂线段最短，
过C作CD⊥AB，
当EF＝DC最短，
根据三角形面积公式得：AC×BC＝AB×CD，
∴CD＝，
故答案为：．
14．解：当DF⊥BC时，DF取得最小值，
∵DE⊥DF，∠C＝90°，
∴此时四边形DECF是矩形，
∴DE⊥AC，DE∥BC，DF∥AC，DE＝CF，
∴此时DE也取得最小值，
当DE、DF取得最小值时，斜边EF取得最小值，
∵D是AB中点，
∴E是AC中点，F是BC中点，
∴AE＝CE＝DF＝，CF＝，
∴EF＝＝，
故线段EF的最小值为，
故答案为：．
15．解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB CM＝BC AC，
∴CM的最小值＝＝，
∴线段DE的最小值为；
故答案为：．
16．解：因为OA＝5，AC＝10，AB＝6
所以BC＝8，
故AD＝BC＝8．
故答案为8．
17．解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE＝；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'＝，
∴DE'＝＝＝，
综上所述：DE＝或，
故答案为：或．
三．解答题（共6小题，满分52分）
18．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC＝∠ECA，∠AFE＝∠CEF，
∵O是对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（AAS）；
（2）证明：∵∠OAF＝∠OFA，
∴OA＝OF，
∵△AOF≌△COE，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF为平行四边形，AC＝EF，
∴四边形AECF为矩形．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AEO和△DFO中，，
∴△AEO≌△DFO（AAS），
∴OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAE：∠EAD＝2：3，
∴∠BAE＝36°，
∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°，
∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CE＝DC，
∴AB＝EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BF＝BC；
（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，
∴FA＝FE，FB＝FC．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D．
又∵∠AFC＝2∠ADC，
∴∠AFC＝2∠ABC．
∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴FA＝FB，
∴FA＝FE＝FB＝FC，
∴AE＝BC，
∴四边形ABEC是矩形．
21．（1）证明：在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，
∴∠ADE＝∠FBC，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA）；
（2）解：AD＝BD，四边形DEBF是矩形．理由如下：
∵△ADE≌△CBF，
∴DE＝BF，AE＝CF，
又∵AB＝CD，
∴BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AD＝BD，DE平分∠ADB，
∴DE⊥AB，
∴平行四边形DEBF是矩形．
22．证明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°
∵AF＝BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB＝90°，
∴四边形AFBD是矩形．
23．解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，AB＝CD，
∴∠AFE+∠AEF＝90°
∵F在AD上，∠EFC＝90°，
∴∠AFE+∠DFC＝90°，
∴∠AEF＝∠DFC，
∵BE：EA＝5：3
设BE＝5k，AE＝3k
∴AB＝DC＝8k，
∴DF＝6k
∴BC＝AD＝10k
在△EBC中，根据勾股定理得BE2+BC2＝EC2
∵CE＝15，BE＝5k，BC＝10k
∴
∴k＝3
∴AB＝8k＝24，BC＝10k＝30