2.1平面向量的实际背景及基本概念
1、下列说法中，正确的个数有( )
①零向量可以与任何向量平行，也可以与任何向量垂直；
②若向量的模等于1，则为单位向量；
③所有的单位向量都相等；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、设O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量相等的向量的个数有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、如图，已正方形ABCD边长为2，O为其中心，则
4、把同一平面内所有不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，
则这些向量的终点构成的图形的面积等于 .
5、如图的方格纸由若干个边长为1的小方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A、B.
点C为小正方形的顶点，且.
(1)画出所有的向量；
(2)求的最大值与最小值.
参考答案
1.C 因为零向量的方向是任意的，所以它可以与任何向量(包括零向量)平行、垂直，知①正确；②正确；③错.
2.B 与的向量有，共3个.
3. 正方形的对角线长为，∴.
4. 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为.
5.解：(1)画出所有的向量如图所示；
(2)由(1)所画的图知，
①当点C在于点C1或C2时，
取得最小值；
②当点C在于点C5或C6时，
取得最大值；
∴的最大值为，最小值为.
2.2平面向量的线性运算
1、已知，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
2、下列等式错误的是( )
A． B． C． D．
3、如图,向量等于 .
4、已知向量，不共线，且与共线，
则实数 .
5、如图，在平行四边形ABCD，，，M
为AB的中点，点N在DB上，且.
(1)当时，证明：M、N、C三点共线；
(2)若M、N、C三点共线，求实数的值.
参考答案
1.B 由，得，由，得.
2.A 由“向量－向量=向量”，知A错，其余均正确.
3. 设连接起点的向量为,则,
∴,又得,∴=.
4. 由=，∴，
由，不共线，得，且，解得.
5.(1)证明：当时，，有，
又，∴；
，
则，与有公共点N，于是M、N、C三点共线；
(2)解：由，得，，
，
，
由M、N、C三点共线，得，∴，
得，且，解得或(舍去)；
∴.
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
1、已知向量，则用表示为( )
A． B． C． D．
2、已知向量，，，，且，则( )
A． B． C． D．
3、若，则 ； .
4、已知在梯形ABCD中，，且A、B、D三点的坐标分别为、、
，则顶点C的横坐标的取值范围是 .
5、如图,在□OABP中,过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N,若,
.
(1)求的解析式;
(2)令，判断的单调性，
并给出你的证明.
参考答案
1.C 设，则，
∴，解得，∴.
2.D 可得，，由，得，
解得.
3. 由，解得.
4. 当ABCD为平行四边形，则，故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是.
5.解:(1),则，
=
又,有x－y(1＋x)＝0,即;
(2)由(1)得，设，
则=
==，
由，得，，，得，
即.
∴在上为减函数.
2.4.1数量积的物理背景及其含义
1、设为非零向量，下列等恒成立的个数有( )
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，在等腰中，AB=AC=1，，则向量
在向量上的投影等于( )
A． B． C． D．
3、若向量满足，且，则向量的夹角的大小为 .
4、设向量满足，，，，则 .
5、已知两个向量满足，的夹角为，，，
.
(1)若的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)设函数，求在上的最大值与最小值.
参考答案
1.C ，()，方向可能不同，①不恒成立；
,②恒成立;可验证③④也恒成
立.
2.D 可得，∴在向量上的投影.
3. 由，得，∴，
又，∴.
4. 可得，而，有，∴，
又，得，而，∴，即.
5.解：(1)，
的夹角为钝角，得，
∴
=
=
解得，
∴的取值范围是；
(2)由(1)得，
在上单调递增，
∴，
2.4.2数量积的坐标表示、模、夹角
1、在等腰中，，，则( )
A．或 B．或 C． D．
2、定义向量的外积为，其中为与的夹角，若
，则( )
A． B． C． D．
3、点，动点满足，则点P的轨迹方程为 .
4、已知，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 .
5、已知三点、、.
(1)证明：；
(2)若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值.
参考答案
1.A 由，得，又，得，两式联立解得
或，∴或，有或.
2.D可得，而，∴，
有.
3. 由，得，即.
4. 与的夹角为锐角，且，
而，∴且，即且.
5.(1)证明：可得，，，
∴；
(2)由(1)及四边形ABCD为矩形，得，设，
则，∴，得，即；
∴，得，，
设与夹角为，则，
∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值.
2.5平面向量的应用举例
1、经过点，且平行于向量的直线方程是( )
A． B． C． D．
2、一质点受到平面上的三个力(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知成角,且的大小分别为２和４,则的大小为( )
A. B. C. D.
3、已知直线与圆相交于A、B两点，且，
则 .
4、已知，且，
则 .
5、如图，菱形ABCD的边长为1，有，点E、F
分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC交于点M、N.
(1)求的值；
(2)求的值.
参考答案
1.A 在直线上任取一点，则，
由，得，即.
2.D 可知,所以,
==28.
所以,力的大小为=.
3. 可知是边长为1的正三角形，∴.
4. 由，得，∴，即，
∴，有，即.
5.解：(1)连接BD交AC于点O，由，得，
而，，得，，∴；
(2)设，，则，而B、M、E三点共线，
∴，即，∴，
即，有，解得，，
∴，即，同理，得
由(1)得，∴.
即.
