高中数学人教A必修四平面向量测试题(2.4～2.5 数量积、应用举例)

数学必修四平面向量测试题(2.4～2.5 数量积、应用举例)
A组
一、选择题:共6小题
1、(易 数量积)平面向量与的夹角为,,,则=( )
A. B. C.4 D.12
2、(易 数量积)已知正的边长为1,且,, 则= ( )
A. B C. D.
3、(易 投影概念)已知=5,=3,且,则向量在向量上的投影等于( )
A. B. C. D.
4、(中 应用举例)设是曲线上一点,点关于直线的对称点为,点为坐标原点,则( 　)
A.0 B.1 C.2 D.3
5、(中 数量积)在中,,,,且,则的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形
6、(中 应用举例)已知偶函数满足:,且当时,,其图象与直线在轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为,则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题:共3小题
7、(易 数量积)如图,在边长为1的棱形ABCD中,= .
8、(中 数量积)已知,,,与的夹角为.若为锐角,则的取值范围是 .
9、(中 数量积)在△ABC中,,如果不等式恒成立,则实数t的取值范围是 .
三、解答题:共2小题
10、(中 应用举例)设集合平面向量,定义在上的映射,满足对任意x,均有(x) =x(R且).若︱a︱=︱b︱且a、b不共线,则(( a) (b)) (a+b)= ;
若,且,则 .
11、(中 数量积)给定两个长度为1的平面向量和,它们的
夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动,若
,其中,则的范围是________.
B组
一、选择题:共6小题
1、(中 数量积)已知平面向量,,若,,,则的值为 ( )
A. B. C. D.
2、(中 数量积)在平面直角坐标系中作矩形,已知,则·的值为( )
A.0 B.7 C.25 D.－7
3、已知非零向量若,且,又知,则实数的值为
( )
A.6 B.3 C.－3 D.－6
4、(中 数量积)已知向量满足,,且,则等于( )
A. B. C. D.
5、(中 应用举例)如图,O,A,B是平面上的三点,向量,
,设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点,
向量,若=4,=2,则=( )
A.8 B.6 C.4 D.0
6、(中 应用举例)设向量与的夹角为,定义与的“向量积”:是一个向量,它的模
,若,,则 ( ).
A. B. C. D.
二、填空题:共3小题
7、(中 数量积)已知向量.若向量,则实数的值是 .
8、(中 应用举例)设向量满足:,,.以为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 个.
9、(中 数量积)在直角坐标系中,分别是与轴,轴平行的单位向量,若在中,=,=,则实数m= .
三、解答题:共2小题
10、(中 应用举例)已知=,=,若向量=满足0,
试求点到直线的距离的最小值.
11、(中 数量积)如图4,已知点和单位圆上半部分上的动点.
(1)若,求向量;
(2)求的最大值.
C组
解答题:共2小题
1、(难 应用举例)已知向量,.
(1)若为直角三角形,求值;
(2)若为等腰直角三角形,求值.
2、(难 数量积)在平面直角坐标系中,已知向量又点
.
(1)若,且为坐标原点),求向量;
(2)若向量与向量共线,当,且取最大值4时,求.
参考答案
A组
1. B 由已知,,
∴.
2.A 由题意知与的夹角为,且,
∴,∴.
3.D 向量在向量上的投影等于.
4.C 设,则,.
5.D 因均为非零向量,且,得,
又,∴,得,
同理,∴,得为正三角形.
6.B依题意四点共线,与同向,且与,与的横坐标都相差一个周期,所以,,.
7.4 ,,
则==
又,∴.
8.,且 ∵=.因为锐角,有,
∴,∴,解得.
9. 由题意得,,
∴,得,
得或.
10.0;2 ∵︱a︱=︱b︱且a、b不共线,∴(( a) (b))(a+b)= (a－b) (a+b)
=()=0;又,有=,,∴.
11. 由,
又,∴,得,
而点C在以O为圆心的圆弧上变动,得,于是.
B组
1.C 设的夹角为,则∴.
即共线且反向,∴∴.
2.D .
3.A =0+3k=0,∴.
4.B 由所给的方程组解得,,
,∴=.
5.B 由,知,∴,
,得,∴.
6.C ∵=,,∴,
∴.
7. =,.
∴.
8.4 可得,设该三角形内切圆的半径为,
则,
∴对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现4个交点,但不能得到5个以上的交点.
9.－2或0 把、平移,使得点A与原点重合,则、,画图可知
或.当时,,∴,得;
当时,,∴,得.
10.解:将=,代入0得,
∴,它表示以为圆心,为半径的圆.
∵圆心到直线的距离,
∴点到直线的距离的最小值为.
11.解:(1)依题意,,(不含1个或2个端点也对)
, (写出1个即可),
因为,所以,即,
解得,所以.
(2),
则,
∴,
令,则,即,
∴,有
当,即时,取得最大值.
C组
1.(1),
①若,则,∴;
②若,则,得无解;
③若,则,得,
∴.
综上所述,当时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形;当时,
是以C为直角顶点的直角三角形.
(2)①当时,,;
②当时,,,
得,,;
③当时,,,
得,,;
综上所述,当时,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形.
2.解:(1)可得,∵,∴,
得.则,又.
∴,解得,当时,;当时,.
∴或.
(2)∵向量与向量共线,∴,
.
∵,∴,故当时,取最大值,有,得.
这时,,,,得,则.
∴.