1.5.2平方差公式（2） 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
1.5.2平方差公式（2）
第一章
整式的乘除
2021-2022学年七年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
灵活地运用平方差公式进行简便计算.
2. 了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.
3. 利用平方差公式解答简单问题.
　
导入新课
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？”
王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.”
你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
　
导入新课
1.平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。
3.应用平方差公式的注意事项
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
讲授新课
平方差公式的几何验证
如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
a
b
图1
讲授新课
(1)请表示图1中的阴影部分的面积.
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
a2-b2
长=a+b; 宽=a-b; 面积= (a+b)(a-b)
(3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
a
b
a
b
图1
图2
讲授新课
a
a
b
b
a+b
a-b
b
b
几何验证平方差公式
讲授新课
a
a
b
b
a2-b2
a
b
b
b
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
a-b
a-b
讲授新课
a
a
a2
b
a
a2-b2
a
b
讲授新课
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
b
a
a
b
(a+b)(a-b)
=
a2-b2
讲授新课
平方差公式的运用
想一想：
（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899
7×7=49 15×15=225 70×70=4900
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请
用字母表示这一规律，你能说明它的正确
性吗？
(a+b)(a b)=a2 b2
讲授新课
例1 计算:
(1) 103×97; (2) 118×122.
解: 103×97
=(100+3)(100－3)
= 1002－32
=10000 – 9
=9991；
解: 118×122
=(120－2)(120＋2)
= 1202－22
=14400－4
=14396.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
讲授新课
例2 计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;
(2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
讲授新课
例3 对于任意的正整数n，整式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值一定是10的整数倍吗？
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
解：原式＝9n2-1-(9-n2)
＝10n2-10.
因为(10n2-10)÷10=n2-1.
n为正整数，
所以n2-1为整数
方法总结：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
D.(a-b)2=a2-2ab+b2
A
当堂检测
2.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）
A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1）
C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）
B
当堂检测
3.计算a2-(a+1)(a-1)的结果是( )
A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1
A
4.计算20202-2019×2021=____.
1
5.已知a-b=1，a+b=2021，则a2-b2的值为_____.
2021
当堂检测
解: (1) 102×98
= 1002-22
=10000 – 4
=（100＋2）(100－2)
=9996；
6.计算:
(1) 102×98;
(2) 51×49;
(2) 原式=（50＋1）(50－1)
= 502-12
=2500 – 1
=2499；
当堂检测
7.计算:
(1) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)
（2）原式= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
= 9x2-16-6x2-5x+6
= 3x2-5x-10.
当堂检测
8.计算： 20152 － 2014×2016.
解：
20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152
－ （20152－12 )
= 20152
－ 20152+12
=1
当堂检测
9.对于任意一个正整数n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除吗？请说明理由.
解:能.理由如下：
A=(4n)2-1-(n2-1)=16n2-1-n2+1=15n2.
因为n是正整数，所以15n2一定能被15整除.
当堂检测
10.如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：（2n+1）2-(2n-1)2
=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n×2
=8n
因为8n是8的倍数，所以结论成立.
注意：逆用了平方差公式奥！
当堂检测
课堂小结
平方差公式的应用及注意事项
两个应用
四点注意
1.利用平方差公式简化一些数字计算.
2.逆用平方差公式进行化简、计算.
1.必须符合平方差公式的结构特征.
2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算.
3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化.
4.在运算过程中，有时可以反复应用公式.
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