1.6.1完全平方公式（1） 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
1.6.1完全平方公式（1）
第一章
整式的乘除
2021-2022学年七年级数学下册同步（北师大版）
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用.
2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算.
　
导入新课
用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
1、多项式的乘法法则是什么？
am+an
bm+bn
+
=
(m+n)
(a+b)
　
导入新课
这是我们学校门口那个边长为a米的正方形花坛，现要进行扩建，将它的边长增加b米，你有哪些方法求出扩建后的正方形花坛的面积？比一比看谁方法多？
a
a
b
b
讲授新课
完全平方公式
a2
ab
b2
财主土地:
阿凡提土地:
S财=(a+b)2
S阿=a2+ab+b2
a
a
b
b
有一个财主家有一块边长为（a+b）的正方形土地，阿凡提有三块土地，一块是边长为a的正方形土地，一块是边长为b的正方形土地，一块是长为a、宽为b的长方形土地，阿凡提提出愿意用三块土地换财主的一块土地，财主一听，大喜过望。”请问：财主真的占了便宜吗？
讲授新课
a
a
b
b
a2
ab
b2
财主土地
阿凡提土地
a2
ab
b2
财主
多ab
通过比较得知:
财主土地面积:S财= S阿+ =
公式 : (a+b)2 =a2+2ab+b2
ab
a2+ab+b2+ab
=a2+2ab+b2
讲授新课
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9
= m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9，
( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x )
= 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2
= 4 + 12 x + 9 x2 ．
讲授新课
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
讲授新课
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（2） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
讲授新课
完全平方公式
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，乘积2倍放中间”
讲授新课
你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
思考:
讲授新课
几何解释:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
讲授新课
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释:
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
讲授新课
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a, b有什么关系？它的符号与什么有关？
讲授新课
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
讲授新课
例1 运用完全平方公式计算：
解: (2x－3)2=
=4x2
(1)(2x－3)2；
( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2
(2x)2
－2 (2x) 3
+32
－12x
+9；
讲授新课
(a + b)2= a2 + 2 ab + b2
y2
(2) ( y+ )2.
=y2
+ y
+
+ ( )2
+ 2 y
解：( y+ )2 =
讲授新课
解: (4m+n)2 =
= 16m2
(3)(4m+n)2
(a +b)2 = a2 + 2 a b + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+ 8mn
+ n2
讲授新课
例2 已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36-16＝20；
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8，
(x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy
＝20-16＝4.
小结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝(x+y)2－2xy,
(x－y)2＝(x+y)2－4xy.
讲授新课
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗
(a-b)2与(b-a)2相等吗
(a-b)2与a2-b2相等吗
为什么
(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2
(a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，
(a-b)2=a2-b2.
当堂检测
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
C．a2-4 D．a2-4a-4
A
D
当堂检测
3.(1)是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（　　）
A．ab B．（a+b）2 C．（a-b）2 D．a2﹣b2
C
当堂检测
4.（1）已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_____
52
已知 则 _____
98
（2）如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=______
18或-18
如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_____
3或-3
（3）已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为______
若题目条件不变，则a-b的值为_____
±1
1
当堂检测
5.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；
(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；
(4)(-2m-1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2-24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2-4m+1
6.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25
当堂检测
7.利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
当堂检测
8.计算
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)]
解：(1)原式=[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
=(3a)2－(b－2)2
=9a2-b2+4b-4.　
=(x-y)2-(m-n)2
=x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
当堂检测
9.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
10.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
解：因为x+y=8, 所以(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
因为x-y=4,所以(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
由①-②得
4xy=48
所以xy=12.
课堂小结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
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