2021-2022学年青岛版八年级数学下册6.2 平行四边形的判定 同步练习(word解析版)

6.2平行四边形的判定
一、选择题
1．下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行，另一组对边相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行，一组对角相等
2．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图所示，AB＝CD，AD＝BC，则图中的全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．如图，中，，则图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．11个
5．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　）
A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝AE D．AF＝EC
6．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，EF＝AB＝6，则四边形EFCD的周长是（　　）
A．16 B．20 C．22 D．26
7．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN, EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1、S2、S3、S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（ ）
A．S1= S4 B．S1 + S4 = S2 + S3 C．S1 + S3 = S2 + S4 D．S1·S4 = S2·S3
8．如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
图2A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
二、填空题
9．如图，当AO＝OC，BD＝6cm，那么OB＝_____cm时，四边形ABCD是平行四边形．
10．如图，木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形，判断的依据是____．
11．在四边形中，如果，那么这个四边形__________是平行四边形，(填“一定”或“一定”或“一定不”)
12．在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为________________个．
13．如图，点P为平行四边形ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．若四边形AEPH的面积为2，四边形PGCF的面积为4，则△PBD的面积＝___．
14．如图，在 中，对角线AC、BD相交于点O，已知点E、F分别是BD上的点，请你添加一个条件_______________ ，使得四边形AFCE是一个平行四边形．
15．如图，在△ABC中，∠A=∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC=4cm，则四边形DECF的周长是________．
16．如图，在四边形中，，且，点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由向C运动B，则_____秒后四边形成为一个平行四边形．
三、解答题
17．已知：如图，E在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，AE=CF，求证：BE=DF．
19．如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC垂足分别是E、F．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
20．已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且．求证：四边形BFDE是平行四边形．
21．如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，连接，分别与，交于点，，．求证：．
22．在中，，，将饶点顺时针旋转一定的角度得到，点、的对应点分别是、．
（1）当点恰好在上时，如图1，求的大小；
（2）若时，点是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形．
23．如图，在中，，，垂足分别为，两点，点，分别为，的中点，连接交于点．求证：和互相平分．
24．如图，在平行四边形中，是对角线上的一点，过点作，且，连接、、．求证：．
25．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EM∥BC交CA延长线于M，连接BM．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）若∠ABC＝30°，求∠MEC的度数；
（3）求证：四边形MBDE是平行四边形．
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参考答案：
1．B
【解析】
解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故本选项符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．B
【解析】
解：根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，则B选项正确，
故选：B．
3．D
【解析】
解：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形为平行四边形
∴，，，
∴、
又∵，
∴、
∴图中的全等三角形共有4对
故选：D
4．C
【解析】
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
则图中的四边形AEOG、ABHG、AEFD、ABCD、
GOFD、GHCD、EBHO、EBCF和OHCF都是平行四边形，
共9个，
故选：C．
5．C
【解析】
解：A、在 ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故A可以使AE＝CF，不符合题意；
B、∵AE∥CF，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故B可以使AE＝CF，不符合题意；
C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，
故C符合题意；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故D可以使AE＝CF，不符合题意；
故选C．
6．C
【解析】
解：∵线段EF与AC交于点O且互相平分，∴OA＝OC，OE＝OF．
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，
∴AD∥BC．
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
∴四边形EFCD的周长＝CD+DE+EF+CF＝CD+AB+DE+AE＝CD+AB+AD＝6+6+10＝22．
故选：C．
7．D
【解析】
解：∵MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，
∴四边形ABCD，四边形ADEF，四边形BCEF，红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，
∴AB=CD，DE=AF，EC=BF．
设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，
则S1=DE h1，S2=AF h2，S3=EC h1，S4=FB h2，
因为DE，h1，FB，h2的关系不确定，所以S1与S4的关系无法确定，故A错误；
S1+S4=DE h1+FB h2=AF h1+FB h2，S2+S3=AF h2+EC h1=AF h2+FB h1，故B错误；
S1+S3=CD h1，S2+S4=AB h2，又AB=CD，而h1不一定与h2相等，故C错误；
S1·S4=DE h1 FB h2=AF h1 FB h2，S2·S3=AF h2 EC h1=AF h2 FB h1，所以S1·S4=S2·S3，
故D正确；
故选：D．
8．A
【解析】
连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形
四边形为平行四边形．
乙方案：
四边形是平行四边形
，，
又
(AAS)
四边形为平行四边形．
丙方案:
四边形是平行四边形
，，，
又分别平分
， 即
（ASA）
四边形为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
9．
【解析】
∵BD＝6cm，根据题意，当时，
∴ ，
∴ ，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：
10．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】
解：木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是平行四边形，
判断的依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
11．不一定
【解析】
解：如果，则，
那么这个四边形不一定是平行四边形；
故答案为：不一定．
12．3
【解析】
如下图所示，
图中平行四边形有ABEC，BDEC，BEFC共3个，
故答案为：3．
13．1
【解析】
解：∵点P为平行四边形ABCD内一点（点P不在BD上），EF∥AD，HG∥AB，
∴四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，
∴S四边形EBGP＝2S△EBP，S四边形HPFD＝2S△HPD，
∴S△ABD＝S平行四边形ABCD＝（2+4+2S△EBP+2S△HPD）＝（2+4）+S△EBP+S△HPD，
∴S△PBD＝S△ABD﹣（2+S△EBP+S△HPD）＝（4﹣2）＝1．
故答案为：1．
14．DE=BF
【解析】
解：使四边形AECF也是平行四边形，则要证四边形的两组对边相等，或两组对边分别平行，可添加条件DE=BF，
∵AD∥BC，
∴∠EDA=∠FBC，
∵AD=BC，DE=BF，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=FC，
同理，△ABF≌△CED，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
故答案为：DE=BF．
15．8cm
【解析】
∵∠A=∠B，
∴，
∵DF∥AC，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴四边形DECF的周长为：，
．
故答案为．
16．2
【解析】
解：如图，设t秒后，四边形APQB为平行四边形，
则AP=t，QC=2t，BQ=6-2t，
∵AD∥BC，
∴AP∥BQ，
当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=6-2t，
∴t=2，
当t=2时，AP=BQ=2＜BC＜AD，符合．
综上所述，2秒后四边形ABQP是平行四边形．
故答案为：2．
17．【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴且AD=BC，
又∵，
∴AD=CE，
又∵，即，
∴四边形是平行四边形．
18．【解析】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AE=CF，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BE=DF．
19．【解析】
解：∵AC是平行四边形ABCD的一条对角线，
∴ ， ，
∴ ，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴ ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形DEBF是平行四边形．
20．【解析】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
21．【解析】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH，
∴．
22．（1）∠ADE=15° （2）证明见解析
【解析】
解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，
∴∠ACB＝∠DCE＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，
∵CA＝CD，
∴∠ADC＝∠DAC＝ （180° 30°）＝75°，
∴∠ADE=90°-75°=15°；
（2）证明：如图2，∵点F是边AC中点，
∴CF＝AC，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝AC，
∴CF＝AB，
∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BCE＝60°，BC＝EC，
∴△BEC为等边三角形，
∴BE＝BC=EC，
在△CFD和△CBA中，
∴DF⊥AC，易证得△AFD≌△CBA，
∴DF＝BA，
∴DF＝BE，而BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
23．【解析】
证明：连接，，如图，
四边形是平行四边形，
，，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF
∵，分别是，的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴．
∴，
又∵，
∴和互相平．
24．【解析】
证明：且，
四边形为平行四边形．
，．
四边形为平行四边形，
，，
，．
四边形为平行四边形，
．
25．（1）见解析；（2）120°；；（3）见解析
【解析】
（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠BAC=180°-2∠ABC，
∵以AD、AE为腰做等腰三角形ADE，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DAE=180°-2∠ADE，
∵∠ADE=∠ABC，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE＝30°，
∴∠ACB＝∠ACE＝30°，
∴∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝60°，
∵EM∥BC，
∴∠MEC+∠ECD＝180°，
∴∠MEC＝180°﹣60°＝120°；
（3）证明：∵△BAD≌△CAE，
∴DB＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，
∴∠ABD＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACE，
∵EM∥BC，
∴∠EMC＝∠ACB，
∴∠ACE＝∠EMC，
∴ME＝EC，
∴DB＝ME，
又∵EM∥BD，
∴四边形MBDE是平行四边形．
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