2021-2022学年青岛版八年级数学下册6.3特殊的平行四边形 同步练习(word解析版)

6.3特殊的平行四边形
一、选择题
1．能够判断一个四边形是矩形的条件是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
2．已知在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，如果添加一个条件，可使该四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD
3．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB∥CD
4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当AB＝BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形
5．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）
A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
6．已知菱形两条对角线的长分别为8和10，则这个菱形的面积是（　　　）
A．20 B．40 C．60 D．80
7．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分 B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等 D．测量3个角是否为直角
8．如图，平行四边形ABCD的边BC上有一动点E，连接DE，以DE为边作矩形DEGF且边FG过点A．在点E从点B移动到点C的过程中，矩形DEGF的面积（　　）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变
二、填空题
9．若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为___________．
10．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点C在x轴正半轴上，，点B的纵坐标为1，则点A的坐标是_______．
11．如图，在菱形中，点为边的中点，且，则的大小为______度．
12．如图，菱形ABCD的周长为40，面积为80，P是对角线BC上一点，分别作P点到直线AB．AD的垂线段PE．PF，则等于______．
13．如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝_____°．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为_____cm2．
15．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__．
16．如图，ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的周长记作C1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的周长记作C2．照此规律作下去，则C2022＝___．
三、解答题
17．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB．
求证：四边形ABCD是矩形．
18．如图，平行四边形中，对角线平分．求证：平行四边形是菱形．
19．如图，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN＝BM．
20．已知：如图，矩形的对角线、相交于点，，．
（1）若，，求的长；
（2）求证：四边形是菱形．
21．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
22．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），，且．求证：四边形ABCD是正方形．
23．如图，菱形的对角线相交于点且．求证：四边形是矩形．
24．如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．
求证：四边形是矩形．
25．探索发现如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且，PE交CD于F．
(1)求证：；
(2)____________°．
(3)拓展延伸
如图，在菱形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且，，连接CE，请判断线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
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参考答案：
1．C 2．D 3．B
4．D
【解析】
解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，不符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，不符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，不符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项不正确，符合题意；
故选：D．
5．A
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，∠DBC=45°，
∵BE=AD，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：A．
6．B
【解析】
解：这个菱形的面积＝×10×8＝40．
故选：B．
7．D
【解析】
解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；
C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；
D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；
故选：D．
8．D
【解析】
解：连接AE，
∵，
∴，
故选：D．
．
9．6
【解析】
解：菱形的面积.
故答案为：6.
10．
【解析】
∵四边形OACB为菱形，
∴OC⊥AB，OD=CD，BD=AD．
∴OC=4，点B的纵坐标为1，
∴OD=4÷2=2，点A的纵坐标为 1．
故答案为：(2， 1)
11．120
【解析】
解：如图，连接BD，
在菱形中，AD=AB，
∵点为边的中点，且，
∴DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴ ，
∴．
故答案为：120．
12．8
【解析】
解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为80，
∴AB=AD=10，S△ABD=40，
∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，
∴×AB×PE+×PF×AD=40，
∴×10（PE+PF）=40，
∴PE+PF=8．
故答案为：8．
13．40
【解析】
解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D=90°，
∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°，
故答案为：40．
14．10
【解析】
解：四边形为矩形，
，，，
，
在与中，
，
阴影部分的面积最后转化为了的面积，
中，，
平分，
阴影部分的面积：，
故答案为：10．
15．6
【解析】
解：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到DA，交CD于点G，
由旋转的性质可知，AG＝AE，DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAG+∠BAF＝45°，
又∵∠BAD＝90°，
∴∠GAF＝45°，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF，
∵BE＝1，DF＝7，
∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6.
故答案为：6．
16．
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵E是BC的中点，ED∥AB，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，
∵EF∥AC，
∴四边形EDAF是菱形，
∴C1＝4×，…，
∴＝4×，
∴C2022＝4×＝，
故答案为：．
17．【解析】
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
18．【解析】
证明：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
19．【解析】
解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，
∴AC＝CM， NC ＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∠MCN＝∠NCM
∠ACN＝∠BCM ，
∴△ACN≌△MCB（SAS）
∴AN＝BM
20．（1）；（2）证明见解析．
【解析】
解：（1）四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2），，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．
21．四边形AECF是平行四边形，证明见解析．
【解析】
解：四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴∠DFA=∠BAF，
又∵∠DCE=∠BAF，
∴∠DCE=∠DFA
∴，
∴四边形AECF是平行四边形．
22．
【解析】
证明：如图，作于点，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，，∠ABC=90°
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴
∴矩形是正方形．
23．【解析】
证明：四边形为菱形
四边形为平行四边形，
平行四边形是矩形．
24．【解析】
如图：
∵是的平分线，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
即，
∵，
∴四边形是矩形．
25．(1)见解析
(2)90
(3)，理由见解析
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：90；
(3)
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
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