6.4三角形的中位线定理同步练习2021-2022学年青岛版八年级数学下册（word版含答案）

6.4 三角形的中位线定理
一、选择题
1．如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）
A．8 B．7 C．6 D．7.5
2．如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐变小
C．线段EF的长不变 D．无法确定
3．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的（ ）
A．中线 B．中垂线 C．中位线 D．中间线
4．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD、AC的中点，若，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．6 B．18 C．24 D．30
5．如图，在中，、分别为、的中点，平分，交于点，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．50°
8．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．对角线垂直且相等的四边形
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9．如图，矩形的对角线与相交于点，、分别为、的中点，若，则的长度为________．
10．如图，点E在平行四边形ABCD的边AD上，且AE＝2ED，M、N分别是BE、CE的中点，连接MN，已知MN＝3，则AE的长是___．
11．如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点则四边形EFGH的周长等于___cm．
12．如图所示，在中，，是斜边上的中线，、分别为、的中点，若，则______
13．如图：在中，点分别是的中点，连接，如果那么的周长是___．
14．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M、N分别为AB、BC的中点，若OM＝1.5，ON＝1，则平行四边形ABCD的周长是________．
15．如图，中，D为AC中点，E为BC上一点，连接DE，且，若，，则BC的长度为______．
16．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD．交BC于点E，连接OE．若OE⊥BC，BE＝4，则OE的长为______．
17．如图，ABC中，D是BC中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE，AB=3，AC=5，则DE=_______．
三、解答题
18．如图，△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF＝AB，连接EF．求证：四边形ADEF是平行四边形．
19．如图，点D、F分别为AC、BC的中点，，，求证：
20．如图，在□ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
21．已知：平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．E是AD的中点，连接OE并延长至F使得，连接FD，FC，FC交BD于点G．
（1）求证：四边形FOCD是平行四边形；
（2）当AB与AC的数量关系满足______时，四边形FOCD是菱形．
22．如图，ABC的中线BE，CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DF，EG，试猜想DF与EG有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的猜想．
23．如图，在中，，，是的中位线，连接，．求证：．
24．在ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．
（1）如图1，若AC＝BC，求证：四边形DECF为菱形；
（2）如图2，过C作CGAB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与ADG面积相等的平行四边形．
25．如图，BE，CF是△ABC的角平分线，AN⊥BE于N，AM⊥CF于M，求证：MN∥BC．
26．如图，四边形ABCD中，已知：A（a，0），B（0，b），C（c，0）和D（0，d）．
（1）当四边形ABCD正方形时，写出a，b，c，d满足的等式关系 ：
（2）若AB、BC、CD、DA的中点分别为E、F、G、H．
①直接写出E、F、G、H四点的坐标；
②证明：四边形EFGH是矩形；
③若矩形EFGH是正方形，则a，b，c，d满足的等式关系是 ．
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参考答案
1．A
【解析】
是的中位线，，
，
故选：A．
2．C
【解析】
解：连接AR．
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF＝AR，为定值．
∴线段EF的长不改变．
故选：C．
3．C
【解析】
解：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
故选择C．
4．C
【解析】
解：∵E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴DC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故选：C．
5．B
【解析】
解：∵、分别为、的中点，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．A
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴AB＝BC＝CD＝AD，O是AC的中点，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AD＝8，
∵E为AB边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴，
故选A．
7．A
【解析】
解：∵点P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，
∴ ，
∵AD＝BC，
∴PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∵∠EPF＝130°，
∴ ．
故选：A
8．D
【解析】
已知：如下图，四边形EFGH是正方形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
求证：四边形ABCD是对角线垂直且相等的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是正方形，即EF⊥FG，FE＝FG，
∴AC⊥BD，AC＝BD，
故选：D．
9．
【解析】
解：∵、分别为、的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴OD=2PQ=5．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=2OD=25=10．
故答案为：10．
10．4
【解析】
解：∵M、N分别是BE、CE的中点，
∴BC＝2MN＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，
∵AE＝2ED，
∴ ，
故答案为：4．
11．16．
【解析】
如图，连接AC、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=8cm，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG=EF=AC=4cm，
EH=FG=BD=4cm，
∴四边形EFGH的周长=HG+EF+EH+FG=4cm+4cm+4cm+4cm=16cm，
故答案为：16．
12．8
【解析】
解：∵，是斜边上的中线，
∴CM=AM=BM=，
∵、分别为、的中点，
∴EF为△BCM的中位线，
∴CM=2EF，
∵，
∴CM=2EF=4，
∴CM==4，
∴AB=8，
故答案为：8．
13．30
【解析】
∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，
∴DE是ΔABC的中位线，
∴ DE=AC ，
∵ DE=2.5 ，
∴ AC=5 ，
∵ AB=13 ， BC=12 ，
∴ C△ABC=AB+BC+AC=13+12+5=30．
故答案为：30.
14．10
【解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AD＝BC，AB＝CD，
∵M、N分别为AB、BC的中点，
∴MO＝AD，NO＝CD，
∵OM＝1.5，ON＝1，
∴AD＝3，CD＝2，
∴平行四边形ABCD的周长是：3＋3＋2＋2＝10，
故答案为：10．
15．17
【解析】
如图，取BC的中点F，连接DF
则BC=2CF
∵D点是AC的中点
∴DF是△ABC的中位线
∴，DF∥AB
∴∠CFD=∠ABC
∵
∴∠CFD=2∠DEC
∵∠CFD=∠DEC+∠FDE
∴∠DEC=∠FDE
∴
∴
∴
故答案为：17
16．2
【解析】
解：在矩形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，OA=OC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠AEB=45°，
∴AB= BE＝4，
∵OE⊥BC，
∴AB，
∴OE=，
故答案为：2．
17．1
【解析】
解：延长BE交AC于F，
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE，
∴∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE与△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE=EF，AB=AF，
∵AB=3，
∴AF=3，
∵AC=5，
∴CF=AC-AF=5-3=2，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=CF=1，
故答案为：1．
18．
【解析】
证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE∥BF，DE＝AB，
∵AF＝AB，
∴DE＝AF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
19．
【解析】
证明：∵点分别为的中点，
是的中位线，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
20．
【解析】
证明：连接AC，如图所示．
∵点E是AB的中点，点F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC．
同理，可得出：HG∥AC，HG=AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
21．（1）见解析；（2）AB＝AC．
（1）解：证明：在△ACD中，点O，E分别为边AC，AD中点，
∴OE为△ACD的中位线，
∴OE∥CD，OE＝CD，
又∵OE＝OF，
∴OF∥CD，OF=CD，
∴四边形OCDF为平行四边形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形FOCD是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，OC=AC，
∵AB=AC，
∴AB=CD=OC，
由（1）得：四边形OCDF为平行四边形，
∴平行四边形FOCD是菱形，
故答案案为：AB＝AC．
22．DF∥EG，DF=EG，证明见解析
【解析】
解：DF∥EG，DF=EG，证明如下：
连接AO，
∵BE是AC的中线，
∴E是AC的中点，
又∵G是OC的中点，
∴GE是△ACO的中位线，
∴，GE∥AO，
同理可证明DF是△ABO的中位线，
∴，DF∥AO，
∴DF∥EG，DF=EG．
23．
【解析】
证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∵∠CAB＝90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF＝AD．
24．
【解析】
解：（1）∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
∴DE、DF分别是△ABC中BC边、AC边上的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，DF∥AC，DF＝AC，
∵DE∥FC，DF∥EC，
∴四边形DECF为平行四边形，
又∵AC＝BC，
∴DF＝DE，
∴为菱形；
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴与ADG面积相等的平行四边形有：
DECF，DEFB，EGCF，AEFD．
25．
【解析】
证明：如图，延长AN、AM分别交BC于点D、G．
∵BE为∠ABC的角平分线，BE⊥AG，
∴∠ABN=∠GBN，∠ANB=∠GNB=90°，
∴∠BAG=∠BGA，
∴△ABG为等腰三角形，
∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．
同理AM=DM，
∴MN为△ADG的中位线，
∴MN∥DG，
∴MN∥BC．
26．
【解析】
（1）解：四边形是正方形，
，
；
（2）①解：，，，，、、、的中点分别为、、、，
，，，，，，，；
②证明：、为、的中点，
是的中位线，
，，
同理：，，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
平行四边形是矩形；
③解：由①得：，，，，，，，，
矩形是正方形，
，
，
，
故答案为：．
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