2021——2022学年人教版九年级数学下册27.1 图形的相似课后练习（word版、含答案）

2021——2022学年度人教版九年级数学下册 第二十七章 相似 27.1 图形的相似课后练习
一、选择题
1．若，且，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知线段，点C是线段AB的黄金分割点（），则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点是线段的黄金分割点，，则的值为（ ）
A． B． C．0.618 D．
5．下列各线段的长度成比例的是（ ）
A．2、5、6、8 B．1、2、3、4 C．3、6、7、9 D．3、6、9、18
6．下列图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．有一组角相等的两个等腰三角形
C．有一组对应角相等的两个菱形 D．两边对应成比例且有一组角相等的三角形
7．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16
8．如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
9．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．已知点G是ABC的重心，连结BG，过点G作GDAB交BC于点D，若BDG的面积为1，则ABC的面积为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
二、填空题
11．已知，那么（a﹣b）：a＝___．
12．已知线段AB＝2cm，点P是AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么AP的长度是_______cm（结果保留根号）
13．如图，，，，，则__．
14．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕EF与AC相交于点O，连接BO．若AB＝4，CF＝5，则OB的长为_______________．
15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上，点A的坐标为，点C的坐标为．一条直线经过点．且将平行四边形分割成面积相等的两部分，则此直线的表达式是____________．
三、解答题
16．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为 E，ED的延长线与AC 的延长线交于点F，
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，∠F =30°，求DE的长．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连接OE，过点D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF与⊙O相切；
（2）填空：
①若△CDF的面积为3，则△CDE的面积为 　 　．
②当∠CDF的度数为 　 　时，OEBC，此时四边形ODCE的形状是：　 　．
18．如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．
（2）若DF＝4，求线段ED的值．
19．如图，在中，，
求证：；
若，，，求和长．
20．△ABC中，点D是BC边上的一点，点F在AD上，连接BF并延长交AC于点E；
（1）如图1，若D为BC的中点，，求证：AF＝FD；
（2）尺规作图：在图2中，请利用圆规和无刻度的直尺在AC上找一点E，使得；
（3）若F为AD的中点，设，请求出m、n之间的等量关系．
21．如图1，在中，，，的平分线交于．
（1）求证：；
（2）如图（2），过点作交于，将绕点逆时针旋转角得到，连接，，求证：；
（3）若在（2）的旋转过程中，则相应的旋转角__________．
22．如图1，在 ABCD中，AC、BD相交于O，过O作OG⊥AC交BC于G，连接AG．
（1）求证：AC平分∠DAG；
（2）如图2，把△AOB沿OA翻折得到△AOE，连接DE，求证：ED∥AC；
（3）如图3，连接CE交AD于F点，交BD于H点，若∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，求EH的长．
23．如图①，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图②），则直线CD是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）在（1）中的中，研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线，交AC于点F，连接EF（如图③），则直线EF也是的黄金分割线．请你说明理由；
（4）如图④，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．
【参考答案】
1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．B 8．D 9．C 10．C
11．1：3
12．
13．
14．2
15．##
16．(1)证明：连接AD、OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°即AD⊥BC，又AB=AC，
∴∠BAD=∠OAD，
∴∠EAD=∠ODA，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，又OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△ODF中，OD=4，∠F=30°，
∴OF=2OD=8，DF= OD= ，
∵OD∥AB，
∴即，
∴．
17．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴ODAC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；
（2）解：①∵∠ABC＋∠AED＝180°，∠DEC＋∠AED＝180°，
∴∠ABC＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∵DF⊥AC，
∴CE＝2CF，
∴S△CDE＝2S△CDF＝2×3＝6，
故答案为：6；
②∵OEBC
∴
∵O点是AB中点
∴E点是AC中点
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C＝60°，
∵DE＝DC，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
∵DF⊥AC，
∴∠CDF＝12∠CDE＝12×60°＝30°，
∵OECD，ODCE，
∴四边形ODCE为平行四边形，
∵OD＝OE，
∴平行四边形ODCE为菱形，
故答案为：30；菱形．
18．（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4，
∴OF＝=6，
∵OD∥AE，
∴，即：
∴DE=．
19．解：（1），
.
，
，
．
（2）设，则．
由（1）得：，
，，
，．
20．（1）证明：作DG∥BE交AC于G，
∵DG∥BE，BD＝CD，
∴＝＝1，
∴EG＝CG，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵，EG＝GC，
∴＝1，
∴＝1．
∴AF＝FD；
（2）作△ABC的中线AD，再作AD中点，连接BF并延长交AC于点E，点E即是所求；
（3）作DG∥BE交AC于G．
∵DG∥BE，
∴＝＝，
∵，设AC＝a，AE＝an，EC＝a-an，EG＝m (a-an)，
∵EF∥DG，
∴＝，
∵F为AD的中点，
∴即．
21．（1）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠BEC＝180°﹣∠C﹣∠CBE＝72°，
∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，
∴AE＝BE，BE＝BC，
∴AE＝BC．
（2）证明：∵AC＝AB且，
∴AE＝AF；
由旋转的性质可知：，
∵在和中
，
∴，
∴．
（3）由（1）可知AE＝BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，
如图：①当点E与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，
∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∠BAC＝36°，
∴α＝∠CAM＝36°．
②当点E与点N重合时，
由得，∠AMN＝∠BAM＝72°，
∵AM＝AN，
∴∠ANM＝∠AMN＝72°，
∴∠MAN＝180°﹣2×72°＝36°，
∴α＝∠CAN＝∠CAM+∠MAN＝72°．
∴旋转角为36°或72°．
22．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，AB∥CD，
又∵OG⊥AC，
∴AG＝GC，
∴∠GAC＝∠GCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠GAC，
∴AD平分∠DAG；
（2）∵把△AOB沿OA翻折得到△AOE，
∴AB＝AE，BO＝EO，∠AOB＝∠AOE，∠BAC＝∠EAC，
∴EO＝DO，
∴∠ODE＝∠OED，
∵∠ODE+∠OED+∠EOD＝180°，∠AOB+∠AOE+∠EOD＝180°，
∴∠AOB＝∠EDO，
∴DE∥AC；
（3）如图3，过点A作AN⊥BC于N，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAN＝30°，
∴BN＝AB＝2，AN＝BN＝2，
∴NC＝BC﹣BN＝4，
∵AG2＝NG2+AN2，
∴GC2＝（4﹣GC）2+12，
∴GC＝，
∴NG＝，BG＝，
∵AB＝AE，∠BAC＝∠EAC，AC＝AC，
∴△BAC≌△EAC（SAS），
∴BC＝EC＝6，∠ACB＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACF＝∠FAC＝∠GAC，
∴AG∥CF，
又∵AF∥GC，
∴四边形AFCG是平行四边形，
又∵AG＝GC，
∴四边形AFCG是菱形，
∴AF＝CF＝AG＝GC＝，
∴DF＝AD﹣AF＝，
∵AD∥BC，
∴，
∴＝＝，
∴HC＝，
∴EH＝EC﹣CH＝6﹣＝．
23．（1）解：直线CD是的黄金分割线．理由如下：
设的边AB上的高为h．
则，
∴．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴，
∴．
故直线CD是的黄金分割线；
（2）解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴，即
故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线；
（3）解：∵，
∴和的公共边DF上的高也相等，
∴，
∴，
．
又∵，
∴．
因此，直线EF也是的黄金分割线；
（4）解：画法不唯一，现提供两种画法；
画法一：如解图①，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如解图②，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．