2021—2022学年人教版数学八年级下册17.1勾股定理 课件 (共31张PPT)

(共31张PPT)
这个图案就是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”
17.1勾股定理
1
1
学习目标：
1．通过对直角三角形三边关系的猜想验证，经历 从特殊到一般的探索过程，发展合情推理，体会数形结合的思想；
2． 理解勾股定理的证明方法，应用勾股定理解决简单的直角三角形三边计算问题；
3．在勾股定理的探索过程中感受数学文化的内涵，增强民族自豪感，增进数学学习的信心。
复习提问
1、任意三角形三边满足怎样的关系？
2、对于等腰三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？等边三角形呢？
3、对于直角三角形，三边之间存在怎样的特殊关系？
探索勾股定理
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．
你也来观察一下右图中的地面，看看有什么发现？
1.三个正方形的面积有什么关系
2.三个正方形围成的等腰直角三角形
的三边有什么关系？
思考：
情景引入
C
B
A
情景引入
1．观察图1（图中每个小正方形的边长均为1）
A
B
C
图1
正方形A中含有 个
小方格，即正方形A的面积
是 个单位面积．
(2)正方形B的面积是 个单位面积．
(3)正方形C的面积是 个
单位面积．
9
9
18
9
怎样求正方形C的面积？
一、等腰直角三角形
SA+SB=SC
探究
方法1
方法2
方法3
图1
把正方形C分割成4个直角三角形。
C
A
B
方法1：“割”
正方形C的面积等于边长为6的正方形面积减去4个直角三角形的面积。
C
A
B
图1
方法2： “补”
探究
C
A
B
图1
方法3： “拼”
将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色可拼成一个小正方形。
= 18
探究
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图 1
图 2
（2）在图2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
（3）你能发现图1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
即：以等腰直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
A
B
C
图2
A
B
C
图3
2.观察右边两个图并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图2
图3
16
9
25
4
9
13
二、一般的直角三角形
3．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
a
b
c
探究
命题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一个更一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们来证明这个命题．
证法1
证法2
证法3
猜想
一、赵爽弦图的证法
看左边的图案，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形 （黄色）．
c
b
a
黄实
朱实
朱实
朱实
朱实
定理证明
赵爽弦图的证法
化简得： c2 =a2+ b2
c
b
a
(
b
-
a
)
2
黄实
朱实
S大正方形
大正方形面积怎么求？
= S小正方形+4S直角三角形
定理证明
a
b
c
a
b
c
b
a
c
a
b
c
S大正方形
化简得： c2 = a2+ b2
大正方形面积怎么求？
= S小正方形+4S直角三角形
二、毕达哥拉斯证法
定理证明
二、勾股定理的其他证法:
1.刘徽证法
2.总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法，被称为“总统证法”
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？
定理证明
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
a
b
c
表示为：Rt△ABC中，∠C=90°
则
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么
【文字语言】 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
在直角三角形中才能用勾股定理.
注：
a2 + b2 = c2
【符号语言】
【图形语言】
描述定理
议一议：判断下列说法是否正确,并说明理由：
(1)在△ABC中,若a=6,b=8,则c=10
(2)在Rt△ABC中，如果a=6，b=8,则c=10.
(3)在Rt△ABC中，∠C=90° , 如果a=6，b=8,则c=10.
例1：求出下列直角三角形中未知边的长度.
∠C=90° ：
= 100
= AB2 + BC2
∴ AB =
8
A
C
B
6
= 62 + 82
解： ∵
∴ AB2
10
例题讲解
解：
在Rt△ABC中,由勾股定理得：
AB2 = AC2 - BC2
= 132 + 52
= 144
∴ AB =
12
巩固练习
B
C
A
5
13
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
做一做
625
576
144
169
比一比看看谁算得快！
2.求下列直角三角形中未知边的长:
可用勾股定理建立方程.
方法小结:
8
x
17
16
20
x
12
5
x
做一做
C
A.8 米 B.9 米 C.10米 D.14米
１、如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的顶点间加一条小路,则小路的长为 ( )
8m
6m
别踩我,我怕疼!
如果直角三角形两直角边分别为a,b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的用途：
（1）在纯数学领域中的应用：直角三角形的三边中已知任意两边求第三边；
（2）在生活中的应用：先构建直角三角形模型，再用勾股定理解决问题。
3.
数学思想：1. 特殊到一般的思想；
2. 数形结合思想.
方法：1. 面积法；
2. 割补法.
1.勾股定理的内容：
小 结
作
业
1.习题17.1:1、30页总统证法；
2.练习册19-21（第一课时）；
3.预习课本25页勾股定理的应用。
课外提高：
查找勾股定理证明的其他方法
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