2021-2022学年人教版数学八年级下册17.1勾股定理 课件(共24张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版数学八年级下册17.1勾股定理 课件(共24张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 556.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-02-08 20:33:21 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
第十七章 勾股定理
勾股定理的逆定理
情境引入
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
① 3，4，5； ②2.5，6，6.5 ;
探究新知
用量角器量一量，它们是什么三角形？
直角三角形
由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2
=c2，那么这个三角形是直角三角形．
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
观察
这两个命题有什么不同？
题设
结论
结论
题设
探究新知
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
小结
探究新知
练习
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（1）内错角相等，两直线平行； 成立
（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等； 不成立
探究新知
命题2正确吗？如何证明呢？
思考
A'
B'
C'
？
三角形全等
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
a
探究新知
A
B
C
a
b
c
A'
B'
C'
a
证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2，
∴ A'B' =c.
∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）.
∴ ∠C=∠C'=90°.
BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.
在△ABC和△A'B'C'中
探究新知
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2
=c2，那么这个三角形是直角三角形．
作用：判定一个三角形是否为为直角三角形．
探究新知
符号语言：
在△ABC中，
∵a2 + b2 = c2
∴ △ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理
探究新知
定理与逆定理
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
例1 判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15.
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
典型例题
（3）a：b：c=3：4：5;
（4）a= ,b=4,c=5;
（5）a= ,b=1,c= ;
解：(1)
∵ 152+82 =225+64=289，
172 =289，
∴ 152+82 =172.
∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形．
像8 ，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
典型例题
（1）a=15，b=8，c=17；
解：(2)
∵132+142 =169+196=365，
152 =225，
∴132+142 ≠152.
∴这个三角形不是直角三角形．
典型例题
（2）a=13，b=14，c=15.
例1:判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15.
典型例题
（3）a：b：c=3：4：5;
（4）a= ,b=4,c=5;
（5）a= ,b=1,c= ;
（3）（4）（5）是
例2.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，
且CF= CD.求证∠AEF=90°.
典型例题
证明：设CF=x，则EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.
由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，
AF2=AD2+DF2=25x2，
∴EF2+AE2=25x2=AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.
例3.如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.
典型例题
∴∠APB=90°+60°=150°．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
E
1.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
活学活用
解：（1）这个命题的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”；成立.
（2）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那么它们都是直角”，不成立.
（3）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形全等”；成立.
（4）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”；不成立.
活学活用
活学活用
D
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
3.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足
，试判断△ABC的形状.
当a-b=0时，△ABC为等腰三角形;
当a2+b2-c2=0时，△ABC为直角三角形.
活学活用
活学活用
4. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.根据小明的测量数据，你能算出这块菜地的面积吗？
解：如图，连接AC.在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=132=AD2.
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°.
拓展延伸
分析：
情境引入
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
第十七章 勾股定理
勾股定理的逆定理
情境引入
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm).
① 3，4，5； ②2.5，6，6.5 ;
探究新知
用量角器量一量，它们是什么三角形？
直角三角形
由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2
=c2，那么这个三角形是直角三角形．
命题1 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
命题2 如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
观察
这两个命题有什么不同？
题设
结论
结论
题设
探究新知
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
小结
探究新知
练习
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（1）内错角相等，两直线平行； 成立
（2）如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等； 不成立
探究新知
命题2正确吗？如何证明呢？
思考
A'
B'
C'
？
三角形全等
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
a
探究新知
A
B
C
a
b
c
A'
B'
C'
a
证明:画一个△A'B'C'，使∠ C'=90°，B'C'=a，C'A'=b.
∵ ∠ C'=90°，∴ A'B'2= a2+b2=c2，
∴ A'B' =c.
∴ △ ABC ≌△ A'B'C'（SSS）.
∴ ∠C=∠C'=90°.
BC=a=B'C'，CA=b=C'A'，AB=c=A'B'.
在△ABC和△A'B'C'中
探究新知
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
如果三角形ABC的三边长a，b，c满足a2+b2
=c2，那么这个三角形是直角三角形．
作用：判定一个三角形是否为为直角三角形．
探究新知
符号语言：
在△ABC中，
∵a2 + b2 = c2
∴ △ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理
探究新知
定理与逆定理
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
例1 判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15.
分析：只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
典型例题
（3）a：b：c=3：4：5;
（4）a= ,b=4,c=5;
（5）a= ,b=1,c= ;
解：(1)
∵ 152+82 =225+64=289，
172 =289，
∴ 152+82 =172.
∴以15,8,17为边长的三角形是直角三角形．
像8 ，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．
典型例题
（1）a=15，b=8，c=17；
解：(2)
∵132+142 =169+196=365，
152 =225，
∴132+142 ≠152.
∴这个三角形不是直角三角形．
典型例题
（2）a=13，b=14，c=15.
例1:判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15.
典型例题
（3）a：b：c=3：4：5;
（4）a= ,b=4,c=5;
（5）a= ,b=1,c= ;
（3）（4）（5）是
例2.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，
且CF= CD.求证∠AEF=90°.
典型例题
证明：设CF=x，则EC=BE=2x，DF=3x，AD=AB=4x.
由勾股定理得：EF2=EC2+FC2=5x2，AE2=AB2+BE2=20x2，
AF2=AD2+DF2=25x2，
∴EF2+AE2=25x2=AF2.
由勾股定理的逆定理知，∠AEF=90°.
例3.如图，已知点P是等边△ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.
典型例题
∴∠APB=90°+60°=150°．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
E
1.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？
（1）同旁内角互补，两直线平行；
（2）如果两个角是直角，那么它们相等；
（3）全等三角形的对应边相等；
（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
活学活用
解：（1）这个命题的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”；成立.
（2）这个命题的逆命题是“如果两个角相等，那么它们都是直角”，不成立.
（3）这个命题的逆命题是“对应边相等的三角形全等”；成立.
（4）这个命题的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”；不成立.
活学活用
活学活用
D
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0.
3.已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足
，试判断△ABC的形状.
当a-b=0时，△ABC为等腰三角形;
当a2+b2-c2=0时，△ABC为直角三角形.
活学活用
活学活用
4. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.根据小明的测量数据，你能算出这块菜地的面积吗？
解：如图，连接AC.在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=132=AD2.
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°.
拓展延伸
分析：
情境引入
按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。