2021-2022学年鲁教版（五四制）八年级数学下册6.2矩形的性质与判定自主提升训练（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-2矩形的性质与判定》自主提升训练（附答案）
1．如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（　　）
A．12.5 B．12 C．10 D．10.5
2．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥BG交CD于点E，CB＝CE，连接CG交BE于点F，则∠ECF的度数为（　　）
A．30° B．22.5° C．25° D．15°
3．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作 EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中， EFGH的面积（　　）
A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小
4．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（　　）
A．2或 B．6或 C．2或6 D．1或
5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为（　　）
A． B．5 C． D．3
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．2
7．如图，P点为矩形ABCD两对角线的交点，将P点分别以AD、BC为对称轴画出对称点Q、R，形成六边形QABRCD．若AB＝2，AD＝4，则六边形QABRCD的周长为何？（　　）
A．12 B．4+2 C．4+4 D．4+4
8．如图，要使 ABCD为矩形，则可以添加的条件是（　　）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．∠AOB＝60° D．AB＝BC
9．下列说法中，正确的是（　　）
A．当x≠﹣1时，有意义
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
D．若a＜b，则m2a＜m2b一定成立
10．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC
11．如图，在矩形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP．
（1）如图1，以CD为底向内作等腰△CDE，延长DE恰好交CB延长线于点P，交AB于点F，若AF＝5BF，EC＝6，求EF的长；
（2）如图2，若∠APB＝60°，AB＝AD，以CD为边向外作等边△CDF，连接AF，DE平分∠ADC交AF于点E，连接PE．求证：PA+PC＝PE．
12．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE＝AD，DF⊥AE于点F．
（1）求证：CE＝FE；
（2）若FD＝5，CE＝1，求矩形的面积．
13．如图1，在矩形ABCD中，E是CB延长线上一个动点，F、G分别为AE、BC的中点，FG与ED相交于点H．
（1）求证：HE＝HG；
（2）如图2，当BE＝AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接BP，求的值；
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（2）求证：PC⊥CF．
15．如图，E是矩形ABCD边AD上一点，BE⊥CE，延长CD至F使CF＝AD，连接FE并延长交BC于点G．
（1）若BE＝4，CE＝3，求EF的长；
（2）若EG平分∠BEC，求证：点C到FG的距离为BE．
16．已知：如图，在四边形ABCD中，点G在边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若点O为CD的中点，求证：四边形DECF是矩形．
17．如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
18．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作 AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
19．已知：如图，点E为 ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF＝BE，线段EF与边CD相交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
参考答案
1．解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故选：D．
2．解：取BE的中点O，连接OG，OC，
∵O，G为中点，
∴OG为四边形ADEB的中位线，
∴AB∥OG∥DE，
∴∠OGC＝∠ECF，
∵CE＝BC，∠BCE＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠BEC＝45°，
∵∠BCE＝90°，O为BE的中点，
∴OC＝OE＝BE，
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，
∵GE⊥BG，O为BE的中点，
∴OG＝BE，
∴OG＝OC，
∴∠OGC＝∠OCG，
∴∠OCG＝∠ECF＝∠OCE＝22.5°，
故选：B．
3．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△CGF，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
方法二：连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
∴DG＝BE＝CD＝AE，
∴四边形AEGD为平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴ AEGD为矩形，
同理四边形EBCG为矩形，
∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFG＝EG DG+EG GC＝EG DG＝EG CD＝S矩形ABCD．
故选：C．
4．解：∵长方形ABCD，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵点E为AD的中点，AD＝8cm，
∴AE＝4cm，
设点Q的运动速度为xcm/s，
①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，
，
解得，，
即点Q的运动速度cm/s时能使两三角形全等．
②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，
，
解得：，
即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．
综上所述，点Q的运动速度或6cm/s时能使两三角形全等．
故选：B．
5．解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，
则AF⊥CF，得矩形ADHF，延长CA交x轴于点G，
∴HF＝AD，AF＝HD，
∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，
∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB（AAS），
∴CF＝BE，AF＝OE＝，
∵HF＝AD＝1，HC＝4，
∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，
OH＝OD﹣DH＝OD﹣AF＝2﹣＝，
∴HE＝OH+OE＝+＝2，
∴矩形AOBC的面积为：
S梯形BCHE+S梯形ADHC﹣S△BEO﹣S△ADO
＝（BE+CH）×EH+（AD+CH）×DH﹣×OE BE﹣AD OD
＝（3+4）×2+（1+4）×﹣×3﹣1×2
＝4+﹣﹣1
＝．
故选：A．
6．解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．
故选：C．
7．解：如图，连接PQ交AD于点E，
根据题意可知：
QP和AD互相垂直平分，
∴AE＝DE＝2，PE＝QE＝1，AQ＝DQ，
∴AQ＝＝，
∴AQ＝DQ＝，
同理可得，BR＝CR＝，
则六边形QABRCD的周长为4AQ+2AB＝4+4．
故选：D．
8．解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，
故选：B．
9．解：A、∵当x＞﹣1时，有意义，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴选项C符合题意；
D、∵0＜a＜b，
若m＝0时，则m2a＝m2b，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又∵AD＝DE，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A、∵AB＝BE，DE＝AD，
∴BD⊥AE，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B、∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
C、∵∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D、∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
故选：D．
11．（1）解：∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠DPC+∠PDC＝90°，
∠ECP+∠ECD＝90°，
∴∠EPC＝∠ECP，
∴PE＝CE＝6，
∴PD＝12，
∵PB∥AD，
∴，
∴PF＝2，DF＝10，
∴EF＝4；
（2）证明：连接CE，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∵△CDF是等边三角形，
∴∠CDF＝60°，AD＝DF，
∴∠DAF＝15°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠AED＝120°，
又∵DE＝DE，
在△ADE和△CDE中，
，
△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠AED＝∠CED＝∠AEC＝120°，AE＝CE，
∵∠APB＝60°，
∴∠APB+∠AEC＝120°，
∴点A、P、C、E四点共圆，
∴∠APE＝∠EPC＝30°，
∴∠PEC＝∠PCE＝75°，
∴PE＝PC，
设PB＝a，则PA＝2a，AB＝BC＝，
∴PA+PC＝2a+a+＝（）＝（BC+PB）＝PC，
∴PA+PC＝PE．
12．解：（1）连结DE，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
在△ABE和△DFA中，
，
△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB＝CD＝DF，
在Rt△DFE和Rt△DCE中，
，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL）．
∴CE＝FE．
（2）∵△DEF≌△DEC，
∴FE＝CE＝1，DC＝DF＝5，
设AD＝x，
则AF＝AE﹣EF＝AD﹣1＝x﹣1，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF2+DF2＝AD2，
∴（x﹣1）2+52＝x2，
∴x＝13，
即AD＝13，
∴S矩形ABCD＝AD DC＝65．
13．（1）证明：连接AG，并延长AG交DC的延长线于M，连接EM，
∵G为BC的中点，
∴BG＝CG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABG＝∠DCB＝90°，
∴∠ABG＝∠MCG＝90°，
在△ABG和△MCG中，
，
∴△ABG≌△MCG（ASA），
∴GA＝GM，
∵F为AE的中点，
∴FA＝FE，
∴FG是△AEM的中位线，
∴FG∥EM，
∴∠HGE＝∠MEC，
在△DCE和△MCE中，
，
∴△DEC≌△MEC（SAS），
∴∠DEC＝∠MEC，
∵∠HGE＝∠MEC，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴HE＝HG；
（2）过点B作BQ⊥BP交DE于Q，则∠QBP＝90°，
∵AP⊥DE，四边形ABCD是矩形，
∴∠APE＝∠ABE＝90°，
∵∠APO+∠AOP+∠BAP＝180°，∠EOB+∠ABE+∠BEP＝180°，∠AOP＝∠EOB，
∴∠BEQ＝∠BAP，
∵∠QBP＝∠ABE＝90°，
∴∠EBQ＝∠ABP＝90°﹣∠ABQ，
在△ABP和△EBQ中，
，
∴△BEQ≌△BAP（ASA），
∴BQ＝BP，PA＝QE，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PB，
∴＝＝＝．
14．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD DC＝AC DQ，
∴DQ＝，
∴CQ＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP＝4或5或；
（2）如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，
∴OC＝ED，
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴PC⊥CF．
15．（1）解：∵BE⊥CE，BE＝4，CE＝3，
∴BC＝＝5，
在矩形ABCD中，AD＝BC＝5，
∴CF＝AD＝5，
如图，过点E作EH⊥BC于点H，
则EH＝，BH＝，
∴AE＝BH＝，CD＝EH＝，
∴DE＝AD﹣AE＝5﹣＝，DF＝CF﹣CD＝5﹣＝，
∴EF＝＝＝，
答：EF的长为；
（2）证明：如图，连接FB，
∵BC＝CF＝AD，
∴∠CBF＝∠CFB＝45°，
∴∠EFB+∠EFC＝45°，
∵EG平分∠BEC，
∴∠BEG＝∠CEG＝BEC＝45°，
∴∠EFB+∠EBF＝45°，
∴∠EBF＝∠EFC，
同理：∠ECF＝∠EFB，
∴BE＝EF＝×EC＝2EC，
如图，作CM⊥FG于点M，
∵∠CEM＝45°，
∴EC＝CM，
∴BE＝2EC＝2CM，
∴CM＝BE，
答：点C到FG的距离为BE．
16．证明：
（1）∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠BCE＝∠DCE，∠DCF＝∠GCF，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FEC，∠EFC＝∠GCF，
∴∠DCE＝∠FEC，∠EFC＝∠DCF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）∵点O为CD的中点，
∴OD＝OC，
又OE＝OF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD，
∴∠DCE＝∠BCD，∠DCF＝∠DCG
∴∠DCE+∠DCF＝（∠BCD+∠DCG）＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵AB＝BE，
∴BE＝DC，
又∵AE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）证明：由（1）知，四边形BECD为平行四边形
∴OD＝OE，OC＝OB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，
∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，
∴平行四边形BECD为矩形．
18．（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，
∵EC⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，
∴∠AEC＝∠CFD＝90°，
即△AEC是直角三角形，
∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，
∴EO＝AO，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴OB＝AE，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵∠OAE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵EF＝BE，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）解：∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠GCE，
∵∠BEA＝∠GEC，
∴∠GEC＝∠GCE，
∴GE＝CG，
∵DF∥AC，
∴＝，
∵DG＝CG，
∴FG＝GE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DG＝CG，FG＝GE，GE＝CG，
∴DG＝CG＝FG＝GE，
∴DC＝EF，
∴四边形DECF是矩形．
20．解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：（cm2）．