2021-2022学年北师大版九年级数学下册 3.4圆周角与圆心角的关系 自主达标测试（word版 含解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-4圆周角与圆心角的关系》
自主达标测试（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC＝100°，则∠OCD的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
2．如图，已知BC是⊙O的直径，∠AOC＝58°，则∠A的度数为（　　）
A．28° B．29° C．32° D．42°
3．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且＝，∠E＝70°，则∠ABC的度数为（　　）
A．30° B．40° C．35° D．50°
4．如图，在⊙O中，∠C＝20°，∠B＝35°，则∠A等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．如图，⊙O的直径AB为10，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D点，交AB于E点，则DE的长为（　　）
A．7 B． C． D．
6．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝40°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（　　）
A． B． C．5 D．3
7．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，连接CO，AD．若∠BAD＝20°，则（　　）
A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以点C为圆心，BC为半径的圆与AB相交于点D，则AD的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
9．如图，已知点A，B，C依次在⊙O上，∠B﹣∠A＝40°，则∠AOB的度数为（　　）
A．70° B．72° C．80° D．84°
10．如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，则∠C的度数是（　　）
A．46° B．88° C．24° D．23°
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B是的中点，则∠D的度数是 　 　．
12．如图，OA、OB是⊙O的半径且OA＝OB＝，AB＝2，在⊙O上一点C，使BC＝，则∠BAC的度数为 　 　．
13．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠CAB＝24°，则∠ADC的度数为 　 　．
14．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB＝8，半径是5，则BE的长是 　 　．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A＝15°，弦CD＝2，那么AB的长是 　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
16．如图，AB是⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连DE，AD＝BE．
求证：（1）DE∥AB；
（2）DC＝EC．
17．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．
（1）求证：CE平分∠AEB；
（2）连接BC，若BC∥AE，求证：BC＝BE．
18．已知CA＝CB＝CD，A，C，D在⊙O上，AB交⊙O于E，连结CE．求证：CE平分∠BCD．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，交BC于点D，交AC于点E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．
20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余．
（1）求证：＝；
（2）若CD＝4，BC＝8，求AD的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，∠AOC＝100°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，
则∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠BDC＝25°．
故选：B．
2．解：∵∠AOC＝58°，
∴∠B＝AOC＝29°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝29°，
故选：B．
3．解：如图，连接OD，BD．
∵＝，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，
∴∠OBD＝∠ODB＝20°，
∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，
故选：B．
4．解：设AC交OB于点F．
∵∠AFB＝∠B+∠C，∠C＝20°，∠B＝35°，
∴∠AFB＝20°+35°＝55°，
∵∠AOB＝2∠ACB＝40°，∠AFB＝∠A+∠AOB，
∴∠A＝55°﹣40°＝15°，
故选：B．
5．解：过点E作EG⊥AC于点G，EJ⊥CB于J，连接OD．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝8，
∵CD平分∠ACB，EG⊥AC，EJ⊥CB，
∴EG＝EJ，
∴＝＝＝，
∴AE＝×10＝，
∵OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣＝，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴OD⊥AB，
∴DE＝＝＝，
故选：C．
6．解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN＝40°，
∴∠AON＝80°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠AOB＝∠BON＝40°，
根据垂径定理得＝，
∴∠CON＝∠BON＝40°，
∴∠AOC＝120°，
∵MN＝2，
∴OA＝OC＝1，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴AC＝．
故选：B．
7．解：∵AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，＝，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°．
故选：D．
8．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，
∵CB＝CD，
∴△CBD是等边三角形，
∴BD＝BC＝2，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
故选：A．
9．解：∵∠O+∠A＝∠C+∠B，
∴∠O﹣∠C＝∠B﹣∠A＝40°，
∵∠C＝∠O，
∴∠O﹣∠O＝40°，
∴∠O＝80°．
故选：C．
10．解：连接OE．
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
∴∠CDE＝∠COE＝46°，
∵OA∥DE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，
∴∠C＝∠AOD＝23°，
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，∠AOC＝140°，
∴∠AOB＝∠AOC＝70°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝35°，
故答案为：35°．
12．解：如图，作OH⊥BC于H．连接AC．
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH＝，
∴cos∠OBH＝＝，
∴∠OBH＝30°，
∵OA＝OB＝，AB＝2，
∴AB2＝OA2+OB2，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°，
∵∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝45°+30°＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
作点C关于直线OB的对称点C′，连接AC′，BC′，CC′，
∵∠OBC＝∠OBC′＝30°，
∴∠CBC′＝60°，
∵BC＝BC′，
∴△BCC′是等边三角形，
∴∠BCC′＝60°，
∴∠BAC′＝180°﹣60°＝120°，
故答案为60°或120°．
13．解：连接BD，如图：
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠CAB＝∠BDC＝24°，
∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝24°+90°＝114°．
故答案为：114°．
14．解：∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵半径是5，
∴AE＝10，
∴BE＝＝＝6，
故答案为：6．
15．解：∵CD⊥AB，
∴CD＝DE＝CD＝1，∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝2∠A＝2×15°＝30°，
∴OC＝2CE＝2，
∴AB＝2OC＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共5小题，满分40分）
16．证明：（1）连接BD，AE，
∵AD＝BE，
∴＝，
∴∠ABD＝∠EAB，
∵∠ABD＝∠AED，
∴∠AED＝∠EAB，
∴DE∥AB．
（2）∵四边形ABED是⊙O的内接四边形，
∴∠EDA+∠ABE＝180°，
又∵∠EDA+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABE，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠ABE，
∴∠CED＝∠CDE，
∴DC＝EC．
17．（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径，
∴＝，
∴∠AEC＝∠BEC，
∴CE平分∠AEB；
（2）证明：∵BC∥AE，
∴∠AEC＝∠BCE，
又∠AEC＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BE＝BC．
18．证明：∵CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD．
∵∠D＝∠CEA，
∴∠CAD＝∠CEA．
∵∠CEA＝∠B+∠ECB，
∴∠CAE+∠EAD＝∠B+∠ECB．
∵CA＝CB，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠EAD＝∠ECB，
∵∠EAD＝∠ECD，
∴∠ECB＝∠ECD，
∴CE平分∠BCD．
19．（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：连接OE，OD．
∵的度数＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠DAC＝∠DOE＝25°，
∵AD⊥BC，
∴∠C＝90°﹣25°＝65°．
20．（1）证明：连接BD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠DAC＝∠BCD，
∴＝；
（2）解：连接DO延长DO交BC于点T．
∵＝，
∴DT⊥BC，
∴BT＝CT＝4，
∴DT＝＝＝8，
设OD＝OC＝r，
在Rt△OTC中，r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴AC＝10，
∴AD＝＝＝2．