2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.3垂径定理同步达标训练（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步达标训练（附答案）
1．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）
A．4 B．6 C．2 D．8
3．如图，AB为圆O的直径，BC为圆O的一弦，自O点作BC的垂线，且交BC于D点．若AB＝16，BC＝12，则△OBD的面积为何？（　　）
A．6 B．12 C．15 D．30
4．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（　　）
A．AC＝AB B．∠C＝∠BOD C．∠C＝∠B D．∠A＝∠BOD
5．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．CE＝DE B．AE＝OE C．＝ D．△OCE≌△ODE
6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（　　）
A．3 B．3 C． D．
8．在⊙O内有一点P，已知OP＝，且圆内过点P的最短弦长为6，则⊙O的面积是（　　）
A．6π B．8π C．10π D．12π
9．在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r＝，则OA的长为（　　）
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
10．如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为　 　．
11．如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
12．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
13．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE＝4，OF＝6，求⊙O的半径和CD的长．
14．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠PBC＝22.5°，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．
17．已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE＝BF，∠EOF＝60°．
（1）求证：△OEF是等边三角形；
（2）当AE＝OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
18．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数．
19．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是的中点，连接PA，PB，PC．
（1）如图①，若∠BPC＝60°．求证：AC＝AP；
（2）如图②，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值．
20．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．
21．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度7.2m，拱顶高出水平面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过拱桥，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
参考答案
1．解：过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC＝BC＝AB＝12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC＝＝5．
故选：B．
2．解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝∠B＝60°；
在Rt△COD中，OC＝4，∠COD＝60°，
∴CD＝OC＝2，
∴AC＝2CD＝4．
故选：A．
3．解：∵OD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝×12＝6，
在Rt△BOD中，∵OB＝AB＝8，BD＝6，
∴OD＝＝2，
∴S△OBD＝OD BD＝×2×6＝6．
故选：A．
4．解：A、根据垂径定理不能推出AC＝AB，故A选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，
∴＝，
∵对的圆周角是∠C，对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD＝2∠C，故B选项正确；
C、不能推出∠C＝∠B，故C选项错误；
D、不能推出∠A＝∠BOD，故D选项错误；
故选：B．
5．解：∵⊙O的直径AB⊥CD于点E，
∴CE＝DE，弧CB＝弧BD，
在△OCE和△ODE中，
，
∴△OCE≌△ODE，
故选：B．
6．解：如图，连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3cm，
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm，
∴AC＝＝＝4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2cm，
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2cm．
故选：C．
7．解：如图所示，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵⊙O的面积为2π
∴⊙O的半径为
∵△ABC为正三角形，
∴∠BOC＝＝120°，∠BOD＝∠BOC＝60°，OB＝，
∴BD＝OB sin∠BOD＝＝，
∴BC＝2BD＝，
∴OD＝OB cos∠BOD＝ cos60°＝，
∴△BOC的面积＝ BC OD＝××＝，
∴△ABC的面积＝3S△BOC＝3×＝．
故选：C．
8．解：如图，由题意得：OP＝，OP⊥AB，且AB＝6；
∴BP＝AP＝3；由勾股定理得：
OB2＝OP2+BP2＝3+9＝12，
∴⊙O的面积＝π OB2＝12π，
故选：D．
9．解：如图，作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC＝5，
∴AD垂直平分BC，
∴点O在直线AD上，
连接OB，
在Rt△ABD中，sinB＝＝，
∵AB＝5，
∴AD＝4，
∴BD＝＝3，
在Rt△OBD中，OB＝，BD＝3，
∴OD＝＝1，
当点A与点O在BC的两侧时，OA＝AD+OD＝4+1＝5；
当点A与点O在BC的同侧时，OA＝AD﹣OD＝4﹣1＝3，
故OA的长为3或5．
故选：A．
10．解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝5，
∴OC＝＝＝3，
即圆心O到AB的距离为3．
故答案为：3．
11．解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA＝MB，连接AC，如图
∵点C的坐标为（2，），
∴OM＝2，CM＝，
在Rt△ACM中，CA＝2，
∴AM＝＝1，
∴OA＝OM﹣AM＝1，OB＝OM+BM＝3，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）将A（1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得
，
解得．
所以二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3．
12．（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，
，
∴△BED≌△CEF（ASA），
∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，
∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，
∴△AEC∽△CED，
∴＝，
∴CE2＝DE AE，
设DE＝x，
∵BC＝8，AD＝10，
∴42＝x（10﹣x），
解得：x＝2或x＝8（舍去）
在Rt△CED中，
CD＝＝＝2．
13．解：∵OE⊥AB，
∴∠OEF＝90°，
∵OC为小圆的直径，
∴∠OFC＝90°，
而∠EOF＝∠FOC，
∴Rt△OEF∽Rt△OFC，
∴OE：OF＝OF：OC，即4：6＝6：OC，
∴⊙O的半径OC＝9；
在Rt△OCF中，OF＝6，OC＝9，
∴CF＝＝3，
∵OF⊥CD，
∴CF＝DF，
∴CD＝2CF＝6．
14．（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE，
∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；
（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∴OE＝6，
∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，
∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．
15．解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8，
设OB＝x，
又∵BE＝4，
∴x2＝（x﹣4）2+82，
解得：x＝10，
∴⊙O的直径是20．
（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，
∴∠D＝∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D＝30°．
16．解：（1）∵∠PBC＝∠D，∠PBC＝∠C，
∴∠C＝∠D，
∴CB∥PD；
（2）连接OC，OD．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∵∠PBC＝∠DCB＝22.5°，
∴∠BOC＝∠BOD＝2∠C＝45°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝135°，
∴劣弧AC的长为：＝．
17．（1）证明：作OC⊥AB于点C，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∵AE＝BF，
∴EC＝FC，
∵OC⊥EF，
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝60°，
∴△OEF是等边三角形；
（2）解：∵在等边△OEF中，∠OEF＝∠EOF＝60°，AE＝OE，
∴∠A＝∠AOE＝30°，
∴∠AOF＝90°，
∵AO＝10，
∴OF＝，
∴S△AOF＝××10＝，S扇形AOD＝×102＝25π，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOF＝25π﹣．
18．解：（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，
则AE＝AC＝×2＝1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE＝r，
在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2，
即r2＝12+（r）2，
解得r＝；
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠B＝∠CDB＝65°，
∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．
19．解：（1）∵∠BPC＝60°
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠APC＝∠ABC＝60°，
而点P是的中点，
∴∠ACP＝∠ACB＝30°，
∴∠PAC＝90°，
∴tan∠PCA＝＝tan30°＝，
∴AC＝PA；
（2）过A点作AD⊥BC交BC于D，连接OP交AB于E，如图，
∵AB＝AC，
∴AD平分BC，
∴点O在AD上，
连接OB，则∠BOD＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝＝，
设OB＝25x，则BD＝24x，
∴OD＝＝7x，
在Rt△ABD中，AD＝25x+7x＝32x，BD＝24x，
∴AB＝＝40x，
∵点P是的中点，
∴OP垂直平分AB，
∴AE＝AB＝20x，∠AEP＝∠AEO＝90°，
在Rt△AEO中，OE＝＝15x，
∴PE＝OP﹣OE＝25x﹣15x＝10x，
在Rt△APE中，tan∠PAE＝＝＝，
即tan∠PAB的值为．
20．解：（1）∵∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴AC、BD是⊙O的直径，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；
（2）连接DO，延长交圆O于F，连接CF、BF．
∵DF是直径，
∴∠DCF＝∠DBF＝90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD＝90°，
∵∠FCA+∠ACD＝90°
∴∠BDC＝∠FCA＝∠BAC
∴四边形ACFB是等腰梯形，
∴CF＝AB．
根据勾股定理，得
CF2+DC2＝AB2+DC2＝DF2＝20，
∴DF＝，
∴OD＝，即⊙O的半径为．
21．解：如图，连接ON，OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝7.2m，
∴BD＝AB＝3.6m．
又∵CD＝2.4m，
设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣2.4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，解得r＝3.9．
∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB＝2m，
∴CE＝2.4﹣2＝0.4（m），
∴OE＝r﹣CE＝3.9﹣0.4＝3.5（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝3.92﹣3.52＝2.96（m2），
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2×≈3.44m＞3m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．