高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 6.1.1 空间向量的线性运算（73张PPT）

(共73张PPT)
6.1.1　空间向量的线性运算
第6章　§6.1　空间向量及其运算
1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.
2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律.
3.掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题.
学习目标
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
导语
如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的概念
二、空间向量及其线性运算
三、共线向量(或平行向量)
内容索引
一、空间向量的概念
1.定义：在空间，把既有 又有 的量，叫作空间向量.
2.几何表示法：空间向量用 表示.
3.几类特殊的空间向量
知识梳理
大小
方向
有向线段
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量称为 ，记作0
单位向量 的向量，叫作单位向量
相反向量 与向量a长度 ，方向 的向量，叫作a的相反向量，记作－a
零向量
长度等于1个单位长度
相等
相反
注意点：
(1)平面向量是一种特殊的空间向量.
(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同.
(3)向量不能比较大小.
相同的向量 所有 相等且 的向量都看作相同的向量，向量a与b是相同的向量，也称a与b .
长度
方向相同
相等
例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是
A.单位向量都相等
B.若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
D.相同的向量其方向必相同
√
解析　A中，单位向量长度相等，方向不确定；
B中，|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定；
C中，向量不能比较大小.
(2)(多选)下列命题为真命题的是
A.若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D.任一向量与它的相反向量不相等
√
√
解析　A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；
C为真命题，向量的相等满足传递性；
D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量.
反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相同的向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.
跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
二、空间向量及其线性运算
问题1　联想平面向量的线性运算，思考空间向量的线性运算包括哪些？其相应的运算法则在空间向量中是否依然适用？
提示　易知空间向量的线性运算包括向量的加法、减法、数乘运算；
线性运算法则也是一样，如：加法满足三角形法则和平行四边形法则；
减法是加法的逆运算；数乘运算，分λ>0，λ<0和λ＝0三种情况.
问题2　你能借助向量加法的几何意义证明等式：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)吗？
提示　如图，
所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
知识梳理
a＋c
a－b
－c
λa
2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
(1)a＋b＝ ；
(2)(a＋b)＋c＝ ；
(3)λ(a＋b)＝ (λ∈R).
b＋a
a＋(b＋c)
λa＋λb
例2　如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.
解　结合加法运算，得
反思感悟　(1)向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接.
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
跟踪训练2　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.
三、共线向量(或平行向量)
问题3　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
提示　对任意两个平面向量a，b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.
知识梳理
1.定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行，记作 ，规定
与任意向量共线.
2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使 .
平行
重合
a∥b
零向量
b＝λa
例3　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
证明　方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
反思感悟　向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a，b(a≠0)共线，就是寻找实数λ，使b＝λa成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
跟踪训练3　(1)若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________.
∴C1，O，M三点共线.
1.知识清单：
(1)空间向量的概念.
(2)空间向量的线性运算.
(3)共线向量(或平行向量).
2.方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合.
3.常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线.
课堂小结
随堂演练
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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√
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A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
√
∴四边形ABCD为平行四边形.
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－3
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＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因为A，B，D三点共线，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b).
解得m＝λ＝－3.
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)下列命题中，真命题是
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相同的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共线的单位向量都相等
解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相同的向量或相反向量.
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√
√
√
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是
A.a＝b B.a＋b为实数0
C.a与b方向相同 D.|a|＝3
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解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等，方向相反，故选D.
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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析　选项A中，
选项B中，
选项C中，
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选项D中，
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A.1 B.2
C.3 D.4
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＝6e1＋6e2.
所以e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2).
因为e1，e2是不共线向量，
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A.P∈AB
B.P AB
C.点P可能在直线AB上
D.以上都不对
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解析　因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
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解析　延长DE交边BC于点F，
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9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量.
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解　因为M是BB1的中点，
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求证：E，F，B三点共线.
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所以E，F，B三点共线.
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综合运用
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11.(多选)若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是
√
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13.(多选)有下列命题，其中真命题有
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D.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
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则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错误；
所以B正确；
所以a∥b，故C正确；
若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或
|a＋b|＝||a|－|b||，故D错误.
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拓广探究
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解析　∵A，B，C三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，
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证明　∵E，H分别是边AB，AD的中点，
又∵点F不在线段EH上，
∴四边形EFGH是梯形.
本课结束