高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 6.1.2 空间向量的数量积（课件63张PPT）

(共63张PPT)
6.1.2　空间向量的数量积
第6章　§6.1　空间向量及其运算
1.了解空间向量的夹角及有关概念.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法.
3.了解空间向量投影的概念及投影向量的意义.
4.会用投影向量计算空间两个向量的数量积.
学习目标
在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
导语
随堂演练
课时对点练
一、空间向量的夹角
二、空间向量的数量积
三、空间向量的投影向量
内容索引
一、空间向量的夹角
问题1　平面中两个非零向量的夹角是如何定义的？
知识梳理
定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任一点O，作 ＝a， ＝b， ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉
范围 __________________
特殊夹角 (1)如果〈a，b〉＝0，a与b ；
(2)如果〈a，b〉＝π，a与b ；
(3)如果〈a，b〉＝___，a与b互相垂直，记作a b.
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
同向
反向
⊥
例1　(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
√
解析　显然〈a，b〉＝0 a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b 〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.
解　连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
反思感悟　(1)空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角.
(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉.
√
二、空间向量的数量积
知识梳理
1.定义
设a，b是空间两个非零向量，我们把数量 叫作向量a，b的数量积，记作a·b.规定：零向量与任一向量的数量积为 .
2.数量积的运算律
|a||b|cos〈a，b〉
0
交换律 a·b＝_____
分配律 (a＋b)·c＝________
结合律 (λa)·b＝ (λ∈R)
b·a
a·c＋b·c
λ(a·b)
3.数量积的性质
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b ________
②若a与b同向，则a·b＝ ；
若反向，则a·b＝ .
特别地，a·a＝ 或|a|＝_____
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____
注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.
例2　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
反思感悟　由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
跟踪训练2　(1)已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为
A.－6 B.6 C.3 D.－3
√
解析　由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，
|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6.
A.60° B.150°
C.90° D.120°
√
三、空间向量的投影向量
问题2　平面向量中向量a同向量b的投影是如何定义的？
知识梳理
2.空间向量数量积的几何意义
空间向量m，n(n在平面α内)的数量积就是向量m在平面α上的________
与向量n的数量积.
投影向量
例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点.
解　因为A1B1⊥平面BCC1 ， PC1⊥平面BCC1，
解　因为A1B1⊥B1C1,PC1⊥B1C1，
反思感悟　利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面(或直线)上的投影向量是解题的关键所在.
解　方法一　∵A1A⊥平面ABC，
∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∴AB⊥AC.
又BC＝2AE＝2，
∴E为BC的中点，
∴A1C＝2.
方法二　∵A1A⊥平面ABC，
1.知识清单：
(1)空间向量的夹角.
(2)空间向量的数量积.
(3)空间向量的投影向量.
2.方法归纳：数形结合、转化化归.
3.常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.
(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
课堂小结
随堂演练
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是
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3.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1＋e2在向量e1上
的投影向量为____.
∴向量e1＋e2在向量e1上的投影向量为
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解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，
课时对点练
基础巩固
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A.30° B.60° C.120° D.150°
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√
2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于
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3.已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于
A.1 B.2 C.3 D.4
√
解析　∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，
∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
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4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是
√
√
5.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于
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6.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是
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7.已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投
影向量为_____.
解析　∵a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b
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8.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝___.
60°
解析　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
所以〈a，b〉＝60°.
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9.如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段，又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
解　因为CA⊥AB，BD⊥AB，
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10.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：
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综合运用
11.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是
√
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12.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝___.
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解析　∵OA，OB，OC两两垂直，
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[0,1]
拓广探究
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A.8 B.4
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16.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D两点间的距离.
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解　在平行四边形ABCD中，
∵∠ACD＝90°，
在空间四边形ABCD中，
∵AB与CD成60°角，
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此时B，D两点间的距离为2，
本课结束