高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式（课件80张PPT）

(共80张PPT)
第2课时　空间向量数量积的坐标运算及空间两点间的距离公式
第6章　6.2.2　空间向量的坐标表示
1.会用坐标法计算空间向量的数量积，会判断空间向量的垂直，
会求空间两向量的夹角.
2.理解空间两点间距离公式的推导方法.
3.掌握空间两点间的距离公式及简单应用.
学习目标
对于平面内两个非零向量a＝(x1，y1)和b＝(x2，y2)，有a·b＝x1x2＋y1y2.那么，对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示
二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
内容索引
一、空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示
问题1　设空间两个非零向量为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立吗？该计算公式如何推导？
提示　a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2成立，证明推导过程如下：
设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则
a＝(x1，y1，z1)＝x1i＋y1j＋z1k，
b＝(x2，y2，z2)＝x2i＋y2j＋z2k.
a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)
＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j
＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式
a·b |a||b|cos〈a，b〉 _______________
a⊥b a·b＝0 __________________
模 ____________
夹角余弦
知识梳理
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则
x1x2＋y1y2＋z1z2
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
注意点：
(1)数量积的结果为数量.
(2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例1　(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝_____.
－4
解析　易得2a＋3b＝(4,4,5)，a－b＝(－3,2,0)，
则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.
①求证：EF⊥B1C；
证明　如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，
反思感悟　关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标.
跟踪训练1　已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c.
(1)求x，y，z的值；
解　∵a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，
且a∥b，b⊥c，
(2)求向量(a＋c)与(b＋c)所成角的余弦值.
解　由(1)知a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)，
∴a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1).
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
二、空间两点间的距离公式及线段的中点坐标
问题2　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
提示　如图，建立空间直角坐标系O－xyz，
问题3　如何用向量的方法推导出线段AB的中点坐标公式？
在空间直角坐标系中，设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
(1)AB＝ ＝_____________________________.
(2)线段AB的中点M的坐标为_______________________.
知识梳理
注意点：
(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆.
(2)空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广.动点P(x，y，z)到定点P0(x0，y0，z0)的距离等于定长r(r>0)的轨迹方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2，此方程表示以点P0为球心，以r为半径的球面.
例2　如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O－xyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求PQ的最小值.
设点Q(0,1，z)(0≤z≤1)，则
反思感悟　利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
跟踪训练2　已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：
(1)线段MN的长度；
解　根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度
(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.
解　因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等.
所以有下面等式成立：
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.
三、利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
延伸探究
1.若本例中的“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？
4c2－4c＋1＝0，
所以点Q是线段BD的中点，
2.本例中若G是A1D的中点，点H在平面AC上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.
反思感悟　(1)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解.
(2)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
跟踪训练3　已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)，若直线OA上的一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为_____________.
因为BH⊥OA，
即－x＋y－1＝0， ①
又点H在直线OA上，
1.知识清单：
(1)空间向量数量积、垂直及模、夹角的坐标表示.
(2)空间两点间的距离公式及线段的中点坐标公式.
(3)利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题.
2.方法归纳：坐标法.
3.常见误区：
(1)把两直线的夹角混淆为两个向量的夹角，导致出错.
(2)混淆空间向量平行与垂直的条件.
课堂小结
随堂演练
1.若向量a＝(4,2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(2a－3b)·(a＋2b)等于
A.－212 B.－106 C.106 D.212
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√
解析　(2a－3b)·(a＋2b)
＝(－10,13，－14)·(16，－4,0)
＝－10×16＋13×(－4)＝－212.
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3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是
√
解析　依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，
所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，
而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，
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课时对点练
基础巩固
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1.设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离CM的值为
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√
2.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ ，且λ>0，则λ等于
A.5 B.4 C.3 D.2
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解析　λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，
√
且λ>0，解得λ＝3.
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A.30° B.60° C.120° D.150°
解析　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，
得a·c＝－7，
√
所以〈a，c〉＝120°.
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4.已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
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∴BC⊥AC，
所以△ABC是直角三角形.
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5.从点P(1,2,3)出发，沿着向量v＝(－4，－1,8)方向取点Q，使PQ＝18，则Q点的坐标为
A.(－1，－2,3) B.(9,4，－13)
C.(－7,0,19) D.(1，－2，－3)
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即(x0－1，y0－2，z0－3)＝λ(－4，－1,8).
所以λ＝2，
所以(x0－1，y0－2，z0－3)＝2(－4，－1,8)，
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6.(多选)已知向量a＝(1,1，－1)，b＝(2，－1,0)，c＝(0,1，－2)，则下列结论正确的是
A.a·(b＋c)＝4
B.(a－b)·(b－c)＝－8
C.记a与b－c的夹角为θ，则cos θ＝
D.若(a＋λb)⊥c，则λ＝3
√
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解析　由题意得a·(b＋c)＝(1,1，－1)·(2,0，－2)＝2＋0＋2＝4，(a－b)·(b－c)＝(－1,2，－1)·(2，－2,2)＝－2－4－2＝－8.
因为(a＋λb)⊥c，所以(a＋λb)·c＝0，
即(1＋2λ，1－λ，－1)·(0,1，－2)＝0，
得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.
综上可知，选项ABD正确.
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7.已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝_____.
－1
解析　∵p＝a－b＝(1,0，－1)，
q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.
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8.已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是_____.
90°
解析　∵a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，
∴a＋b＝(sin α＋cos α，2，sin α＋cos α)，
a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，
∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b).
∴向量a＋b与a－b的夹角是90°.
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9.已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.
(1)求向量a，b，c；
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解得x＝2，y＝－4，
此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1).
又由b⊥c得b·c＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，
得z＝2，此时c＝(3，－2,2).
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(2)求向量a＋c与向量b＋c所成角的余弦值.
解　由(1)得，
a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
因此向量a＋c与向量b＋c所成角θ的余弦值为
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(1)求点A，B，C，P的坐标；
解　取AC的中点O，连接OB，OP.
所以AC＝4，OB＝2.
因为PA＝PB＝PC，所以点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，即点O.
故PO⊥平面ABC.
以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
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(2)求AB，PC的中点之间的距离.
解　由(1)得AB的中点坐标为(1，－1,0)，
综合运用
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11.在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1，则点P的轨迹是
A.圆 B.直线 C.球面 D.线段
√
解析　(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面，故选C.
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因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0，
若a与b的夹角为180°，
则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
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14.一束光线自点P(1,1,1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3,3,6)被吸收，那么光所走的距离是______.
解析　P关于xOy平面对称的点为P′(1,1，－1)，则光线所经过的路程为
拓广探究
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16.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点.
(1)求BM，BN的长；
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解　以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图.
则B(0,1,0)，M(1,0,1)，
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(2)求△BMN的面积.
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