高中数学苏教版（2022春 ）选择性必修第二册 6.2.1 空间向量基本定理（课件72张PPT）

(共72张PPT)
6.2.1　空间向量基本定理
第6章　§6.2　空间向量的坐标表示
1.掌握空间向量基本定理及其推论.
2.会选择适当的基底表示任何一个空间向量.
学习目标
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.我们把两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底.类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量e1，e2，e3表示呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、空间向量基本定理及其推论
二、用基底表示向量
三、空间向量基本定理的应用
内容索引
一、空间向量基本定理及其推论
问题1　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝ ，p 能否用i，j，k表示呢？
问题2　你能证明唯一性吗？
提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的.
知识梳理
1.空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在 的有序实数组(x，y，z)，使 .
2.基底的有关概念
定义 在空间向量基本定理中，如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个 ， 叫作基向量
正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量两两互相 ，那么这个基底叫作正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是_____
时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示
唯一
p＝xe1＋ye2＋ze3
基底
e1，e2，e3
垂直
单位
向量
{i，j，k}
3.空间向量基本定理的推论
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得 ＝ .
注意点：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
反思感悟　基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
跟踪训练1　(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有
A.{a，b，x} B.{x，y，z}
C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c}
√
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二、用基底表示向量
解　∵P是C1D1的中点，
解　∵N是BC的中点，
解　∵M是AA1的中点，
解　因为P，N分别是D1C1，BC的中点，
反思感悟　用基底表示向量时
(1)若基底确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律.
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
三、空间向量基本定理的应用
例3　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
(2)求BD1与AC所成角的余弦值.
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
反思感悟　用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤：首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个单位正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算.
跟踪训练3　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.
1.知识清单：
(1)空间向量基本定理及其推论.
(2)基底的概念以及判断.
(3)用基底表示向量.
(4)空间向量基本定理的应用.
2.方法归纳：类比法、转化化归.
3.常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错.
课堂小结
随堂演练
1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是
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可以作为空间向量的一个基底.
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A.a＋b－c B.a－b＋c
C.－a＋b＋c D.－a＋b－c
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解析　由于{a，b，c}是空间的一个基底，所以当xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0.
3.若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是___________.
x＝y＝z＝0
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4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E，FG所成的角为_____.
这三个向量不共面且两两垂直，故{a，b，c}为空间的一个单位正交基底.
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课时对点练
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1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
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解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量.
因此p q，q p.
√
2.(多选)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是
A.{a，a－2b,2a＋b}
B.{b，b＋c，b－c}
C.{2a－3b，a＋b，a－b}
D.{a＋b，b－c，c＋2a}
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解析　只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面.
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选项D中，四点M，A，B，C显然共面，故选C.
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6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB，AD的夹角都等于60°.若M是PC的中点，则
等于
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因为AB＝AD＝1，PA＝2，
所以|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
又因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，
所以a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos 60°＝1.
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9.如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.
求证：AB⊥AC1.
因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，
所以a·b＝0，a·c＝0，
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综合运用
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解析　如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，
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解析　设正方体的棱长为1，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0.
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3a＋3b－5c
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解析　设G为BC的中点，连接EG，FG(图略)，
＝3a＋3b－5c.
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14.已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为______________________.
4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)
解析　由题意知，m＝3a＋5b＋9c，
设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)，
则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为
m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c).
拓广探究
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15.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC
＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_____.
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则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，
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解　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略).
∵点D，E，F，M共面，
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