《第1章三角形的证明》单元测试题－北师大版八年级数学下册（含答案） (1)

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》
单元测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（　　）
A．22.5° B．67.5°
C．67° 50' D．22.5°或67.5°
5．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（　　）
A．48° B．36° C．30° D．24°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AC的长是（　　）
A．4 B．4 C．8 D．8
7．若a，b为等腰△ABC的两边，且满足|a﹣3|+＝0，则△ABC的周长为（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．9或15
8．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝118°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　）
A．65° B．60° C．56° D．50°
9．平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（2，0）．若在x轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，BD＝DE，若△ABC的周长为26cm，AF＝5cm，则DC的长为（　　）cm．
A．7 B．8 C．9 D．10
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝　 　．
12．如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝1，则BC的长为：　 　．
14．如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝　 　°．
15．在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的三个顶点A（0，0）、B（4，0）则其第三个顶点C的坐标是　 　．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝　 　．
17．如图，已知点D为△ABC内一点，AD平分∠CAB，BD⊥AD，∠C＝∠CBD．若AC＝10，AB＝6，则AD的长为　 　．
18．已知，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠APB的度数为 　 　．
19．如图，已知AB＝A1B1，A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠A4＝　 　．
20．等边△ABC，AB＝8，点D在直线AB上，若CD＝13，则AD的长为　 　．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．
22．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE＝AB．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝5，BC＝7，PA＝2，求线段DE的长．
24．如图，CB为∠ACE的平分线，F是线段CB上一点，CA＝CF，∠B＝∠E，延长EF与线段AC相交于点D．
（1）求证：AB＝FE；
（2）若ED⊥AC，AB∥CE，求∠A的度数．
25．（1）如图（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD+CE；
（2）如图（2）将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
26．如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB＝90°）绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF＝BG，延长CF与DG交于点H．
（1）求证：CF＝DG；
（2）求出∠FHG的度数．
27．【问题背景】
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　．
【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为＝70°．
故选：D．
2．解：设AB的中垂线与AB交于点E，
∵ED是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，
∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．
故选：C．
3．解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，故①正确；
∠EAF＝∠BAC，
∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；
EF＝BC，故③正确；
∠EAB＝∠FAC，故④正确；
综上所述，结论正确的是①③④共3个．
故选：C．
4．解：有两种情况；
（1）如图1，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
（2）如图2，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，
∵∠HFE＝45°，
∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G，
＝×（180°﹣135°），
＝22.5°．
故选：D．
5．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝24°，
∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°，
故选：A．
6．解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴∠A＝30°．
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝30°，
∴∠DCB＝60°﹣30°＝30°，
∵BD＝2，
∴CD＝AD＝4，
∴AB＝2+4＝6，
在△BCD中，由勾股定理得：CB＝2，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，
故选：B．
7．解：根据题意得a﹣3＝0，b﹣5＝0，
解得a＝3，b＝5，
（1）若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、3，
能组成三角形，
周长为5+5+3＝13；
（2）若5是底边长，则三角形的三边长为：3、3、5，
能组成三角形，
周长为3+3+5＝11．
故选：C．
8．解：等腰△ABC中，∠ABC＝118°，
∴∠A＝∠C＝31°，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，
∴EA＝EB，QB＝QC，
∴∠ABE＝∠QBC＝∠A＝∠C＝31°，
∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠QBC＝118°﹣31°﹣31°＝56°，
故选：C．
9．解：∵点A、B的坐标分别为A（1，1），B（2，0）．
∴AB＝，
①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即（0，0）、（2，0），
∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；
③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；
综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个．
故选：C．
10．解：∵△ABC的周长为26cm，
∴AB+BC+AC＝26cm，
∵EF垂直平分AC，AF＝5cm，
∴AC＝2AF＝10（cm），EA＝EC，
∴AB+BC＝16cm，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC，
∴AB+BD＝EC+DE＝8（cm），
∴DC＝8cm，
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵AD⊥BC，∠AOC＝125°，
∴∠C＝∠AOC﹣∠ADC＝125°﹣90°＝35°，
∵D为BC的中点，AD⊥BC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C＝35°，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠OBC＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．
12．解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
13．解：连接AF，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴FA＝FB＝1，
∴∠FAB＝∠B＝30°，
∴∠FAC＝∠BAC﹣∠FAB＝90°，
在Rt△FAC中，∠C＝30°，
∴FC＝2FA＝2，
∴BC＝BF+FC＝3，
故答案为：3．
14．解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵∠3＝∠1＝40°，
∴∠4＝60°+40°＝100°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠4＝100°．
故答案为：100．
15．解：如图，
∵A（0，0）、B（4，0），
∴AB＝4，
作CD⊥AB于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AD＝BD＝2，
∴CD＝2，
∴第三个顶点C的坐标为：（2，2）、（2，﹣2）．
16．解：∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠A＝30°，
∴BD＝AD＝6，
∴CD＝BD＝6×＝3．
故答案为：3．
17．解：如图，延长BD交AC于E，
∵BD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADB＝90°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠EAD＝∠BAD，
∴∠AED＝∠ABD，
∴AE＝AB＝6，
∴DE＝BD，
∵AC＝10，
∴CE＝10﹣6＝4，
∵∠C＝∠CBD，
∴BE＝CE＝4，
∴BD＝BE＝2，
由勾股定理得：AD＝＝＝4．
故答案为：4．
18．解：如图1，∵在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
∴∠APB＝＝75°；
如图2，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠C＝30°，
∵BP＝AB，
∴∠APB＝∠ABC＝15°．
综上所述：∠APB的度数为75°或15°．
故答案为：75°或15°．
19．解：∵AB＝A1B，∠B＝20°，
∴∠A＝∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝×（180°﹣20°）＝80°．
∵A1C＝A1A2，A2D＝A2A3，A3E＝A3A4，
∴∠A1CD＝∠A1A2C，
∵∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠BA1A＝2∠CA2A1＝4∠DA3A2＝8A4，
∴∠A4＝10°．
故答案为：10°．
20．解：如图，
作CE⊥AB于点E，延长AB或BA到D′、D″，连接CD′、CD″，
∵△ABC是等边三角形，AB＝8，
∴AE＝BE＝4，CE＝4，
CD′＝CD″＝13，
设BD′＝AD″＝x，
则D′E＝4+x，
在Rt△CED′中，根据勾股定理，得
（4+x）2+（4）2＝132
解得x＝7或﹣15（负值舍去）
∴BD′＝AD″＝7，
AD′＝AB+BD′＝8+7＝15．
所以AD的长为7或15．
故答案为7或15．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2．
22．（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°，
又∵CD为高，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°
30°；
（2）证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝AB．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝EC＝AB，
∴AE＝BE，即点E是AB的中点．
∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB．
23．解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，
设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝7﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴32+（7﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝，则DE＝．
24．证明：（1）∵CB为∠ACE的角平分线，
∴∠ACB＝∠FCE，
在△ABC与△FEC中，
，
∴△ABC≌△FEC（AAS），
∴AB＝FE；
（2）∵AB∥CE，
∴∠B＝∠FCE，
∴∠E＝∠B＝∠FCE＝∠ACB，
∵ED⊥AC，即∠CDE＝90°，
∴∠E+∠FCE+∠ACB＝90°，
即3∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∴∠B＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
25．证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE．
26．（1）证明：∵在△CBF和△DBG中，
，
∴△CBF≌△DBG（SAS），
∴CF＝DG；
（2）解：∵△CBF≌△DBG，
∴∠BCF＝∠BDG，
又∵∠CFB＝∠DFH，
又∵△BCF中，∠CBF＝180°﹣∠BCF﹣∠CFB，
△DHF中，∠DHF＝180°﹣∠BDG﹣∠DFH，
∴∠DHF＝∠CBF＝60°，
∴∠FHG＝180°﹣∠DHF＝180°﹣60°＝120°．
27．（1）解：如图1，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，
在△AEB与△CGB中，
∵，
∴△AEB≌△CGB（SAS），
∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．
∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝45°，
∴∠CBF+∠CBG＝45°．
在△EBF与△GBF中，
∵，
∴△EBF≌△GBF（SAS），
∴EF＝GF，
∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．